高等数学函数的极值与最值-第2节.ppt

A B C D y o x y f x a b 函数的极值 1 极值定义 设函数f x 在点x0的某邻域内有定义 且对该邻域内任意的x值 x x0 若恒有 1 f x0 f x 则称f x 在点x0取得极大值f x0 2 f x0 f x 则称f x 在点x0取得极小值f x0 注意 1 极值是一个局部的概念 2 极大值并不一定比极小值大 3 极值与极值点是两个不同的概念 极值是指函数的一个值 而极值点是指函数达到极值的一个点 应有横坐标和纵坐标 2 费马 Fermat 引理 极值的必要条件 如果函数y f x 在点x0取得极值 且f x0 存在 则f x0 0 A B C D y o x a b 例如 注1 注2 极值点有可能是导数不存在的点 又如 极小值 x y O x0 x0是极大值点 f x0 是极大值 f x0 0 f x 0 f x 0 x y O x0 x0是极小值点 f x0 是极小值 f x0 0 f x 0 f x 0 极值第一充分条件 设函数f x 在点x0的邻域内可导 且f x0 0或f x0 不存在 当x由小变大经过x0时 1 f x 符号由正变负 则f x 在x0点处有极大值f x0 2 f x 符号由负变正 则f x 在x0点处有极小值f x0 3 f x 符号不变 则f x 在x0点无极值 换言之 利用极值判定的第一充分条件 求可导函数y f x 极值的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求出函数的一阶导数f x 3 并求出全部驻点及导数不存在的点 4 考察f x 在每个点左 右邻近的符号 从而确定此点是否是极值点 5 求出相应的极值 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 函数的定义域为 例2 解 函数的定义域为 因此 遇到一阶导数不存在的点 或驻点的二阶导数为零 只能用极值判定的第一充分条件来判断 例4 极小值点 极大值点 极小值点 例4 总结可得求函数极值的一般方法 2 求出一阶导数等于零或不存在的点 3 用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点 是极大值点还是极小值点 4 求出极大值点和极小值点的函数值 即得函数的极大值和极小值 1 确定函数y f x 的定义域 综合可得判断函数单调区间及极值的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点 以这些特殊点为端点 把定义域划分为若干个互不重叠的开区间 4 按讨论结果 写出函数的单调区间 并求出函数的极大值和极小值 3 利用一阶导数的符号 判断函数的单调性 利用第一充分条件或第二充分条件来判别上述特殊点 驻点或一阶导数不存在的点 是否为极值点 是极大值点还是极小值点 四 最值问题 在很多学科领域与实际问题中 经常遇到在一定条件下 如何用料最省 成本最低 时间最短 效益最高等问题 这类问题我们称为最优化问题 在数学上 它们常归结为 求某一个函数 称为目标函数 在某个范围内的最大值 最小值问题 简称为最值问题 我们来看一下下面的几幅图 1 求出函数f x 在 a b 上的所有驻点及一阶导数不存在的点处的函数值 2 求出区间端点的函数值f a 和f b 3 以上函数值中最大的就是最大值 最小的就是最小值 求最值的方法 例5 注意 1 在闭区间上单调增加的连续函数 最小值必在区间的左端点取得 最大值必在区间的右端点取得 如果函数是单调减少的 则与此相反 2 如果连续函数在闭区间内只有一个极值 则它若是极大值便是最大值 若是极小值便是最小值 内容小结 1 连续函数的极值 1 极值可疑点 使导数为0或不存在的点 2 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过