2015-2016学年《章末小结》导学案.pptx

第三章章末小结 平行四边形 三角形 三角形 交换律 结合律 分配律 共线 平行 b a p xa yb 共面向量 平行于 基向量 基底 xa yb zc a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 x1x2 y1y2 z1z2 0 x1 x2 y1 y2 z1 z2 R a kb a b a b 0 a u a u 0 a u u v u kv u v u v 0 a u 法向量 或其补角 余角 题型一 空间向量与平行关系 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D是AC的中点 求证 AB1 平面DBC1 解析 以A为坐标原点建立空间直角坐标系 设正三棱柱的底面边长为a a 0 侧棱长为b b 0 则A 0 0 0 B 32a 12a 0 B1 32a 12a b C1 0 a b D 0 12a 0 1 32a 12a b 32a 0 0 1 0 12a b 设平面DBC1的法向量为n x y z 则 32ax 0 1 12ay bz 0 0 2 y 不妨令y 2b 则n 0 2b a 由于 1 n ab ab 0 因此 1 n 又AB1 平面DBC1 AB1 平面DBC1 题型二 空间向量与垂直关系 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC AB BC 2 BB1 1 E为BB1的中点 求证 平面AEC1 平面AA1C1C 解析 由题意 得AB BC BB1两两垂直 故以B为原点 分别以BA BC BB1所在的直线为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 2 0 0 A1 2 0 1 C 0 2 0 C1 0 2 1 E 0 0 12 1 0 0 1 2 2 0 1 2 2 1 2 0 12 设平面AA1C1C的法向量为n1 x1 y1 z1 则 1 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 0 令x1 1 得y1 1 n1 1 1 0 设平面AEC1的法向量为n2 x2 y2 z2 则 2 1 0 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 12 2 0 令z2 4 得x2 1 y2 1 n2 1 1 4 n1 n2 1 1 1 1 0 4 0 n1 n2 平面AEC1 平面AA1C1C 题型三 空间向量与线面角正四棱锥S ABCD中 O为顶点S在底面上的射影 P为侧棱SD的中点 且SO OD 求直线BC与平面PAC所成的角 1 2014年 辽宁卷 如图 ABC和 BCD所在平面互相垂直 且AB BC BD 2 ABC DBC 120 E F分别为AC DC的中点 1 求证 EF BC 2 求二面角E BF C的正弦值 解析 1 由题意 以B为坐标原点 在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴 BC所在直线为y轴 在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴 建立如图所示空间直角坐标系 易得B 0 0 0 A 0 1 3 D 3 1 0 C 0 2 0 E 0 12 32 F 32 12 0 所以 32 0 32 0 2 0 因此 0 从而 所以EF BC 2 在图中 平面BFC的一个法向量为n1 0 0 1 设平面BEF的法向量为n2 x y z 又 32 12 0 0 12 32 则 2 0 2 0 得n2 1 3 1 设二面角E BF C大小为 且由题意知 为锐角 则cos cos 1 2 1 2 15 因此sin 25 255 即所求二面角E BF C的正弦值为255 2 2014年 北京卷 如图 正方形AMDE的边长为2 B C分别为AM MD的中点 在五棱锥P ABCDE中 F为棱PE的中点 平面ABF与棱PD PC分别交于点G H 1 求证 AB FG 2 若PA 底面ABCDE 且AF PE 求直线BC与平面ABF所成角的大小 并求线段PH的长 解析 1 在正方形AMDE中 因为B是AM的中点 所以AB DE 又因为AB 平面PDE 所以AB 平面PDE 因为AB 平面ABF 且平面ABF 平面PDE FG 所以AB FG 2 因为PA 底面ABCDE 所以PA AB PA AE 如图 建立空间直角坐标系Axyz 则A 0 0 0 B 1 0 0 C 2 1 0 P 0 0 2 F 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 设平面ABF的法向量为n x y z 则 0 0 即 0 0 令z 1 则y 1 所以n 0 1 1 设直线BC与平面ABF所成角为 则sin cos 12 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为 6 设点H的坐标为 u v w 因为点H在棱PC上 所以可设 0 1 即 u v w 2 2 1 2 所以u 2 v w 2 2 因为n是平面ABF的法向量 所以n 0 即 0 1 1 2 2 2 0 解得 23 所以点H的坐标为 43 23 23 所以PH 43 2 23 2 43 2 2 3 一 选择题 1 已知A 2 4 1 B 1 5 1 C 3 4 1 令a b 则a b为 A 5 9 2 B 5 9 2 C 5 9 2 D 5 9 2 解析 a 1 0 2 b 4 9 0 a b 5 9 2 B 2 已知 ABC的三个顶点为A 3 3 2 B 4 3 7 C 0 5 1 则BC边上的中线长为 A 2B 3C 4D 5 解析 设BC的中点为D 则D 2 1 4 1 2 2 1 2 2 2 22 3 即BC边上的中线长为3 B 3 过空间上一点P 1 2 3 作平面xOy的垂线 垂足为Q 则 的坐标为 A 1 2 3 B 1 2 0 C 0 0 3 D 0 0 3 解析 易知点Q的坐标为 1 2 0 于是 0 0 3 故选D D C C 6 已知向量a b是平面 内的两个不相等的非零向量 非零向量c在直线l上 则 c a 0 且c b 0 是 l 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 若l 则l垂直于 内的所有直线 从而有c a 0 c b 0 反之由于a b是否共线没有确定 若共线 则结论不成立 若不共线 则结论成立 B 7 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O 则下列结论中 与 1 1是一对相反向量 与 1 1是一对相反向量 与 1 1 1 1是一对相反向量 1 与 1是一对相反向量 正确结论的个数为 A 1B 2C 3D 4 B 解析 结合图形 知 与 1 1是一对相反向量 故 与 1 1不是一对相反向量 所以 不正确 由于 1 1 1 1 而 1 1不是一对相反向量 故 不正确 与 1 1 1 1是一对相反向量 故 正确 由于 1 1 1 1C 而 1与 1C是一对相反向量 故 正确 故选B 8 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为A1B1 CC1的中点 P为AD上一动点 记 为异面直线PM与D1N所成的角 则 的集合是 A 2 B 6 2 C 4 2 D 3 2 解析 分别以DA DC DD1所在的直线为x y z轴 D为原点建立直角坐标系 连接AM DM 可以证明 1N 1N 故D1N 平面ADM D1N PM 即 2 A B D C C 二 填空题 14 如图 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD是边长为1的正方形 S到A B C D的距离都等于2 给出以下结论 0 0 0 0 其中正确结论的序号是 解析 容易推出 0 所以 正确 又因为底面ABCD是边长为1的正方形 SA SB SC SD 2 所以 2 2cos ASB 2 2cos CSD 而 ASB CSD 于是 因此 正确 其余三个都不正确 故正确结论的序号是 90 三 解答题 17 四棱锥P ABCD的底面是正方形 PD 底面ABCD 点E在棱PB上 1 求证 平面AEC 平面PDB 2 当PD 2AB 且E为PB的中点时 求AE与平面PDB所成的角的大小 解析 如图 以D为原点建立空间直角坐标系 设AB a PD h 则A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 D 0 0 0 P 0 0 h 1 a a 0 0 0 h a a 0 0 0 AC DP AC DB 又DP DB D AC 平面PDB 又AC 平面AEC 平面AEC 平面PDB 2 当PD 2AB 且E为PB的中点时 P 0 0 2a E 2 2 2a2 设AC BD O O 2 2 0 连接OE 由 1 知AC 平面PDB于点O AEO为AE与平面PDB所成的角 2 2 2a2 0 0 2a2 cos AEO 22 AEO 45 即AE与平面PDB所成的角的大小为45 18 在四棱锥P ABCD中 AB AD CD AD PA 底面ABCD PA AD CD 2AB 2 M为PC的中点 1 求证 BM 平面PAD 2 平面PAD内是否存在一点N 使MN 平面PBD 若存在 确定N的位置 若不存在 说明理由 解析 以A为原点 以AB AD AP分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则B 1 0 0 D 0 2 0 P 0 0 2 C 2 2 0 M 1 1 1 1 0 1 1 平面PAD的一个法向量为n 1 0 0 n 0 即 n 又BM 平面PAD BM 平面PAD 2 1 2 0 1 0 2 假设平面PAD内存在一点N 使MN 平面PBD 设N 0 y z 则 1 y 1 z 1 从而MN BD MN PB 0 0 即1 2 1 0 1 2 1 0 12 12 N 0 12 12 在平面PAD内存在一点N 0 12 12 使MN 平面PBD 19 如图 DA 平面ABC DA PC ACB 90 AC AD BC 1 PC 2 E为PB的中点 1 求证 DE 平面ABC 2 求二面角E CD B的余弦值 解析 由DA 平面ABC DA PC 得PC 平面ABC 又 ACB 90 故分别以CA CB CP所在直线为x y z轴 C为原点建立如图直角坐标系 则A 1 0 0 B 0 1 0 D 1 0 1 P 0 0 2 E 0 12 1 1 1 12 0 0 0 2 为平面ABC的一个法向量且 0 又DE 平面ABC DE 平面ABC 2 设平面ECD的法向量为n1 x y z 由 1 0 1 0 12 1 得 0 2 z 0 令z 1 则x 1 y 2 故n1 1 2 1 设平面BCD的法向量为n2 x y z 由 1 0 1 0 1 0 得 0 0 令z 1 则x 1 故n2 1 0 1 cos 26 2 33 由图知二面角E CD B为锐角 故二面角E CD B的余弦值为33 21 如图 AB是圆的直径 PA垂直圆所在的平面 C是圆上的点 1 求证 平面PAC 平面PBC 2 若AB 2 AC 1 PA 1 求二面角C PB A的余弦值 解析 1 由AB是圆的直径 得AC BC 由PA 平面ABC BC 平面ABC 得PA BC 又PA AC A PA 平面PAC 所以BC 平面PAC 因为BC 平面PBC 所以平面PBC 平面PAC 2 过C作CM AP 则CM 平面ABC 如图 以点C为坐标原点 分别以直线CB CA CM为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 因为AB 2 AC 1 所以BC 3 因为PA 1 所以A 0 1 0 B 3 0 0 P 0 1 1 故 3 0 0 0 1 1 设平面BCP的法向量为n1 x y z 则 1 0 1 0 所以3x 0 0 不妨令y 1 则n1 0 1 1 因为 0 0 1 3 1 0 设平面ABP的法向量为n2 x y z 则 2 0 2 0 所以 0 3x y 0 不妨令x 1 则n2 1 3 0 于是cos 322 64 因为由图可知所求二面角为锐角 所以二面角C PB A的余弦值为64 22 如图所示 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是等腰梯形 DAB 60 AB 2CD 2 M是线段AB的中点 CD1 平面ABCD 1 求证 D1M 平面BCC1B1 2 若平面C1D1M和平面ABCD所成的角 锐角 的余弦值等于1313 求CD1的长 解析 1 因为四边形ABCD是等腰梯形 且AB 2CD 所以AB DC 又M是AB的中点 所以CD MB且CD MB 连接BC1 因为在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 CD C1D1 CD C1D1 所以C1D1 MB C1D1 MB 所以四边形BMD1C1为平行四边形 所以D1M C1B 又D1M 平面B1BCC1 C1B 平面B1BCC1 所以D1M 平面BCC1B1 2 连接AC MC 易知四边形AMCD为平行四边形 所以BC AD MC 由题意 ABC DAB