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第十二章微分方程 第八节 上页下页返回结束 常系数齐次线性微分方程 常系数齐次线性微分方程的解 掌握通解与特征根的关系 特征方程的根 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式 因子r 上页下页返回结束 如何求解 分析 和它的导数相差常数 可能是微分方程的解 将 代入微分方程 得 因此 函数 是微分方程的解 常数r满足 1 当 时 特征方程有两个相异实根 微分方程有两个线性无关的特解 微分方程的通解为 上页下页返回结束 称 为微分方程 的特征方程 特征方程的根称为微分方程的特征根 三种情形 2 当 时 特征方程有两个相等实根 微分方程有一个特解 设另一特解为 u x 待定 代入微分方程得 是特征方程的重根 取u x 则得 因此原方程的通解为 上页下页返回结束 3 当 时 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解 利用解的叠加原理 可得原方程的线性无关特解 因此原方程的通解为 上页下页返回结束 小结 求解微分方程 特征方程 实根 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 上页下页返回结束 的步骤 第一步写出 第二步求出 第三步依据下表写出微分方程的通解 若特征方程含k重复根 若特征方程含k重实根r 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程 推广 上页下页返回结束 对n阶常系数齐次线性微分方程 例1 的通解 解特征方程 特征根 因此原方程的通解为 例2 求解初值问题 解特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 上页下页返回结束 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 上页下页返回结束 例4 求以 为通解的微分方程 解由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 例5 的通解 解特征方程 特征根 因此原方程通解为 例6 解特征方程 特征根 原方程通解 不难看出 原方程有特解 上页下页返回结束 内容小结 特征根 1 当 时 通解为 2 当 时 通解为 3 当 时 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程 上页下页返回结束 思考与练习 求方程 的通解 答案 通解为 通解为 通解为 作业P28943 1 3 5 6 44 2 4 上页下页返回结束 附加例题1 为特解的4阶常系数线性齐次微分方程 并求其通解 解根据给定的特解知特征方程有根 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 上页下页返
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