高考数学一轮复习精品学案课件：第5章不等式—应用.ppt

学案5不等式的应用 返回目录 1 利用基本不等式求最值 若p k为常数 且a b R 则 1 a b k 当且仅当a b时 a b有最值 2 a b p 当且仅当a b时 a b有最值 运用以上结论求最值 要注意以下三个问题 小 大 考点分析 返回目录 1 要求各数均为 2 要求和或积为 3 要注意是否具备成立的条件 2 不等式的解法及证法的基本应用 1 求函数的定义域 值域和最大值 最小值问题 2 判断函数的单调性及其相应的单调区间 3 利用不等式讨论方程的实根个数 分布范围和解含参数的方程 等号 正数 定值 4 将不等式同数学其他分支结合起来 解决一些有实际应用价值的综合题 3 解不等式应用问题的几个主要步骤 1 审题 必要时画出示意图 2 建模 建立不等式模型 即根据题意找出常量与变量的不等关系 注意文字语言 符号语言 图形语言的转换 3 求解 利用不等式的有关知识解题 返回目录 返回目录 若关于x的方程4x a 2x a 1 0有实数解 求实数a的取值范围 分析 换元后转化为一元二次方程在区间 0 上有实数解的问题 也可分离参数转化为函数求值域问题 考点一不等式在函数方程中的应用 题型分析 返回目录 解析 解法一 令t 2x t 0 则原方程化为t2 at a 1 0 问题转化为方程在 0 上有实数解 0a2 4 a 1 0方程较大根大于0 0 a 2 2 评析 不等式在方程 函数中的应用 主要是利用不等式的解或者均值不等式求最值 或函数求最值 返回目录 解法二 令t 2x t 0 则原方程化为t2 at a 1 0 变形得a t 1 t 1 2 2 2 2 2 对应演练 已知函数f x x 0 1 判断f x 在 0 上的增减性 并证明你的结论 2 解关于x的不等式f x 0 3 若f x 2x 0在 0 上恒成立 求a有取值范围 返回目录 1 f x 在 0 上为减函数 证明 设0f x2 f x 在 0 上为减函数 返回目录 2 不等式f x 0 即 0 即 0 整理成 x 2a ax0时 不等式x x 2a 0 不等式解为x 0或x0时 不等式解为 0 2a 当a 0时 不等式解为 0 返回目录 3 若f x 2x 0在 0 上恒成立 即 2x 0 2 x 2 x 的最小值为4 4 解得a 0或a 返回目录 返回目录 经过长期观测得到 在交通繁忙的时段内 某公路段汽车的车流量y 千辆 小时 与汽车的平均速度v 千米 小时 之间的函数关系为 v 0 1 在该时段内 当汽车的平均速度v为多少时 车流量最大 最大车流量为多少 精确到0 1千辆 小时 2 若要求在该时段内车流量超过10千辆 小时 则汽车的平均速度应在什么范围内 分析 直接对y求最大值即可 可对解析式中分子 分母同除以v 为运用均值不等式创造条件 考点二不等式在实际问题中的应用 返回目录 解析 1 依题意 当且仅当v 即v 40时 上式等号成立 所以ymax 11 1 千辆 小时 2 由条件得 整理得v2 89v 1600 0 即 v 25 v 64 0 解得25 v 64 答 当v 40千米 小时时 车流量最大 最大车流量约为11 1千辆 小时 如果要求在该时段内车流量超过10千辆 小时 则汽车的平均速度应大于25千米 小时且小于64千米 小时 返回目录 评析 在应用基本不等式解决实际问题时 要注意以下4点 先理解题意 设变量 设变量时一般把要求最值的变量定为函数 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数的最值问题 在定义域内 求出函数的最值 正确写出答案 返回目录 设计一幅宣传画 要求画面面积4840cm2 画面的宽和高的比为 1 画面的上 下各留8cm的空白 左右各留5cm的空白 怎样确定画面的高与宽的尺寸 能使宣传画所用纸张最小 如果要使 那么 为何值时 能使宣传画所用纸张最小 对应演练 设高为xcm 则宽为 xcm 依题意有 x2 4840cm2 则x 宣传画所用纸张的总面积为 y x 16 x 10 x2 16 10 x 160 5000 16 10 5000 44 8 5 5000 88 6760 当且仅当8 5 即 时等号成立 返回目录 当 时 上面解题过程中等号不可能成立 设g 8 5 8 显然函数在 即 时单调递减 在 时单调递增 当 时单调递增 即 时取最小值 返回目录 返回目录 已知点P x y 在曲线y 上运动 作PM垂直x轴于M 则 OPM O为坐标原点 的周长的最小值为 分析 根据题意 表示出周长 求其最值 考点三不等式在几何中的应用 解析 如图 设 OMP的周长为l x 2 当且仅当 x 即x 1时取等号 评析 在用不等式解决几何问题时 首先要几何问题代数化 再用不等式的相关知识来解决 本题中用两次均值不等式 要注意等号是在 x 1时同时取得 返回目录 返回目录 对应演练 如图所示 设矩形ABCD AB AD 的周长为24 把它关于AC折起来 AB折过去后 交DC于点P 设AB x 求 ADP的最大面积及相应的x值 如题图所示 因为AB x 所以AD 12 x 又DP PB AP AB PB AB DP x DP 由勾股定理得 12 x 2 DP2 x DP 2 整理得DP 12 因此 ADP的面积S AD DP 12 x 12 108 6x x 0 6x 2 72 S 108 6x 108 72 当且仅当6x 时 即当x 6时 S有最大值108 72 返回目录 已知函数f x 的定义域为R 值域为 0 2 求m n的值 分析 由函数定义域 值域转化为一元二次不等式问题 考点四一元二次不等式的应用 返回目录 解析 令y 函数f x 的定义域为R 对任意实数x R y 0恒成立 即mx2 8x n 0恒成立 当m 0时 不等式化为8x n 不可能恒成立 m 0 64 4mn 0 由y 得 m y x2 8x n y 0 返回目录 当m 0时 必须有 返回目录 评析 根据一元二次不等式 组 研究有关值域 最值等问题 0是常常用到的 返回目录 某摩托车生产企业 上年度生产摩托车的投入成本为1万元 辆 出厂价为1 2万元 辆 年销售量为1000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品档次 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应的提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 问投入成本增加的比例x应在什么范围内 对应演练 返回目录 1 由题意得y 1 2 1 0 75x 1 1 x 1000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 60 x2 20 x 200 0 x 1 2 要保证本年度的利润比上年度有所增加 当且仅当y 1 2 1 1000 0 60 x2 20 x 00 x 1 0 x 1 解不等式得0 x 答 为保证本年度的年利润比上年度有所增加 投入成本增加的比例x应满足0 x 即 返回目录 列方程或列不等式解应用题是各类应用题中的重