高等数学第六章定积分.ppt

高等数学AdvancedMathematics 第六章定积分 一 定积分问题举例 二 定积分的定义 三 定积分的几何意义 四 定积分的性质 第一节定积分的概念与性质 1 曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的 求由连续曲线 一 定积分问题举例 用矩形面积 梯形面积 五个小矩形 十个小矩形 思想 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边 近似取代曲边梯形面积 采取下列四个步骤来求面积A 1 分割 2 取近似 长度为 为高的小矩形 面积近似代替 3 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形 面积A的近似值 4 求极限 为了得到A的精确值 取极限 形的面积 分割无限加细 极限值就是曲边梯 二 定积分的定义 设函数f x 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入 定义 若干个分点 把区间 a b 分成n个小区间 各小区间长度依次为 在各小区间上任取 一点 作乘积 并作和 记 如果不论对 1 2 3 4 被积函数 被积表达式 记为 积分和 怎样的分法 也不论在小区间 上点 怎样的取法 只要当 和S总趋于确定的 极限I 称这个极限I为函数f x 在区间 a b 上的 定积分 积分下限 积分上限 积分变量 a b 积分区间 2 的结构和上 下限 今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理 定积分是一个数 定积分数值只依赖于被积函数 有关 无关 而与积分变量的记号无关 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 1 几何意义 三 定积分的几何意义 几何意义 各部分面积的代数和 取负号 它是介于x轴 函数f x 的图形及两条 直线x a x b之间的 在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积 例 解 定理1 定理2 或 记为 黎曼德国数学家 1826 1866 可积 且只有有限个间 可积 当函数 的定积分存在时 可积 黎曼可积 断点 充分条件 四 定积分的存在定理 解 例用定义计算由抛物线 和x轴所围成的曲边梯形面积 直线 小区间 的长度 取 对于任一确定的自然数 积分和 当n取不同值时 近似值精度不同 n取得越大 近似程度越好 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 第二节定积分的性质 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 性质2 性质1和性质2称为 线性性质 补充 例 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 假设 的相对位置如何 上式总成立 不论 证 性质4 性质5 如果在区间 则 解 令 于是 比较积分值 和 的大小 例 性质5的推论1 证 如果在区间 则 于是 性质5 如果在区间 则 证 说明 性质5的推论2 性质5 如果在区间 则 可积性是显然的 由推论1 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 分别是函数 最大值及最小值 则 解 估计积分 例 解 估计积分 例 证 由闭区间上连续函数的介值定理 性质7 定积分中值定理 如果函数 在闭区间 连续 则在积分区间 至少存在一点 使下式成立 积分中值公式 至少存在一点 使 即 定理用途 无论从几何上 还是从物理上 都容易理解 平均值公式 求连续变量的平均值要用到 如何去掉积分号来表示积分值 积分中值公式的几何解释 至少存在一点 在区间 使得以区间 为底边 以曲线 为曲边的曲边梯形的 面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积 例 证 由积分中值定理有 a为常数 证明 证 夹逼定理 即得 3 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 4 典型问题 1 估计积分值 2 不计算定积分比较积分大小 小结 1 定积分的实质 特殊和式的极限 2 定积分的思想和方法 以直代曲 以匀代变 四步曲 分割 取近似 求和 取极限 思想 方法 解 例 定积分几何意义 求电动势 在一个周期上的 平均值 讨论定积分的近似计算问题 存在 用分点 长度 取 有 每个小区间 对任一确定的自然数 将分成n个长度相等的小区间 将n等分 取 如取 矩形法 公式 矩形法的几何意义 第三节微积分基本公式 一 问题的提出 二 积分上限函数及其导数 三 牛顿 莱布尼茨公式 v t 和s t 的关系 通过定积分的物理意义 例 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 v t 和s t 的关系 设某物体作直线运动 已知速度 的一个连续函数 求物体在这段时间内所经过的路程 是时间间隔 一 问题的提出 其中 积分的有效 简便的方法 找到一个计算定 如果能从v t 求出s t 这正是第四章已经解决了的微分运算的 定积分的计算是否有捷径可寻 进行一般性的讨论 运算 定积分 运算就可化为减法 启发 不定积分问题 逆运算 定积分 积分上限函数 一定要分清函数的 如果上限x在区间 a b 上任意变动 每一个取定的x值 则对于 定积分有一个对应值 所以它 在 a b 上定义了一个函数 设f x 在 a b 中可积 则对任一点 与 自变量x 积分变量t 二 积分上限函数及其导数 这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性 是如图红色部分 的面积函数 证 定理1 原函数存在定理 因为 从而 积分中值定理 定积分性质3 故 定理1指出 积分联结为一个有机的整体 2 连续函数f x 一定有原函数 就是f x 的一个原函数 1 积分运算和微分运算的关系 它把微分和 所以它是微积分学基本定理 函数 微积分 推论 例 解 例 解 推论 例 例 解 例 解 这是型不定式 分析 应用洛必达法则 证 令 为单调增加函数 证明 只有一个解 例 所以原方程 只有一个解 证 例 证明函数 为单调增加函数 为单调增加函数 故 分析 求 必须先化掉 积分号 只要对所给积分方程两边求导即可 解 对所给积分方程两边关于x求导 得 练习 需先求出 即 变上限函数 微积分学基本定理 例 解 这是型不定式 分析 应用洛必达法则 证 令 为严格单调增加函数 证明 只有一个解 例 所以原方程 只有一个解 定理2 牛顿 莱布尼茨公式 证 牛顿 英 1643 1727 莱布尼茨 德 1646 1716 如果 是连续函数 的一个原函数 则 都是f x 在 a b 因为 上的原函数 故有 C是待定常数 即有 三 牛顿 莱布尼茨公式 牛顿 Newton 莱布尼茨 Leibniz 公式 微积分基本公式 特别 微积分基本公式表明 求定积分问题转化为求原函数的问题 一个连续函数在区间 a b 上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间 a b 上的增量 仍成立 例 原式 解 面积 例 解 平面图形的面积 所围成的 例 解 例 解 由图形可知 如被积函数是分段函数 应分段分成几个 再用牛 莱公式 积分 解 例 例 解 如被积函数有绝对值 再用 去掉后 N L公式 应分区间将绝对值 例 已知函数 求积分上限的函数 解 分段函数 错 已知函数 求积分上限的函数 正确做法 例 解 则 例 解 此极限实为一积分和的极限 定积分是代数和的推广 无穷小的无限项的代数和 即它表示每项为 用定积分求极限时 需将 1 式中的两个 任意量 用特殊的值处理 例 解 计算定积分 令 微积分基本公式 积分上限函数 变上限积分 积分上限函数的导数 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系 小结 例 利用闭区间上连续函数的性质 证明存在一点 证 最值定理 有最大值M 和最小值m 介值定理 即证 技巧 例求 解 原式 证 例 证明函数 为单调增加函数 为单调增加函数 故 解 原式 例 已知两曲线 在点 处的切线相同 写出此切线方程 并求极限 解 故所求切线方程为 例 例 解 求极限 分析 求 必须先化掉 积分号 只要对所给积分方程两边求导即可 解 对所给积分方程两边关于x求导 得 练习 需先求出 即 对吗 错 分析 其中的x对积分过程 是常数 而积分结果 是x的函数 若被积函数是积分上限 或下限 的函数中的 注意 变量x及积分变量t的函数时 应注意x与t的区别 对x求导时 绝不能用积分上限 或下限 的变量x替 换积分变量 练习 问 对吗 故 正确解答 因为 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 广义积分 推广 无界域的面积 电容器放电问题等等 反常积分 一 无穷限的广义积分 二 无界函数的广义积分 第五节广义积分 定义1 即 当极限存在时 称广义积分 当极限不存在时 称广义积分 如果极限 存在 则称这个极限值为 广义积分 1 收敛 发散 一 无穷限的广义积分 即 当极限存在时 称广义积分 当极限不存在时 称广义积分 存在 如果极限 则称这个极限值 广义积分 2 收敛 发散 如果广义积分 和 都收敛 则称上述两广义积分之和为函数 称广义积分 上的广义积分 即 收敛 记作 发散 否则称广义积分 3 为了方便起见 规定 对反常积分可用如下的简记法使用N L公式 例计算广义积分 解 广义积分的积分值 的几何意义 例计算广义积分 解 证 因此 收敛 其值为 发散 例证明广义积分 定义2 即 当极限不存在时 称广义积分 则称此极限为 仍然记为 如极限 存在 也称广义积分 函数 二 无界函数的广义积分 瑕积分 广义积分 收敛 发散 瑕点 1 否则 则定义 如极限 存在 2 称广义积分 发散 点为瑕点 若等号右边两个广义积分 如果 则定义 否则 就称广义积分 发散 都收敛 3 广义积分 如瑕点在区间内部 分别讨论各段瑕点积分 通常用瑕点将区间分开 点为瑕点 连续 例计算广义积分 解 为瑕点 这个广义积分值的 直线x 0与x a 位于曲线 x轴之上 之间的图形面积 几何意义 之下 为了方便起见 由N L公式 则广义积分 规定 例计算广义积分 解 故原广义积分发散 为瑕点 证 广义积分收敛 其值为 广义积分发散 例证明广义积分 例求 正解 发散 也发散 解 错 积分的瑕点是哪几点 解 积分 不是瑕点 的瑕点是 可能的瑕点是 又 例 无界函数的广义积分 瑕积分 无穷限的广义积分 注意 小结 1 不要与常义积分混淆 2 不能忽略内部的瑕点 练习 1