2013年中考数学复习_第1章数与式_第3课_因式分解课件.ppt

第3课因式分解 1 因式分解 把一个多项式化成几个的形式 叫做因式分解 因式分解与是互逆运算 2 基本方法 1 提取公因式法 ma mb mc 2 公式法 运用平方差公式 a2 b2 运用完全平方公式 a2 2ab b2 要点梳理 整式积 整式乘法 m a b c a b a b a b 2 3 因式分解的一般步骤 1 如果多项式的各项有公因式 那么先提取公因式 2 如果各项没有公因式 那么尽可能尝试用公式来分解 3 分解因式必须分解到不能再分解为止 每个因式的内部不再有括号 且同类项合并完毕 若有相同因式写成幂的形式 这些统称分解彻底 4 注意因式分解中的范围 如x4 4 x2 2 x2 2 在实数范围内分解因式 x4 4 x2 2 x x 题目不作说明的 表明是在有理数范围内因式分解 1 正确理解因式分解的意义理解因式分解的意义 应注意 1 因式分解与整式乘法是个相反的过程 因式分解的左边是多项式 右边是几个因式的积 不含其它运算 2 因式分解不含非整式的式子 3 因式分解是个恒等变形的过程 从左到右的变形不能改变原式的大小 难点正本疑点清源 2 注意提取公因式法 运用公式法的要点多项式因式分解往往需要对一些隐含的公因式 如互为相反数的因式 进行调整变形 其依据是乘方的符号法则 变形时一般要进行观察 需要调整项的标准有两个 1 使需要调整的项尽量少 2 尽量调整指数为偶数的项 这样可以减少符号变化带来的麻烦及错误 平方差公式主要运用于二项式的因式分解 完全平方公式主要运用于三项式的因式分解 分解因式必须分解到不能再分解为止 特别是一些比较隐晦的 或者在解答过程中新出现的公因式要引起重视 解题结果的简单明了是解题的基本要求之一 这样才可能使解题的答案具有唯一性 所以因式分解的结果中的每一个因式必须是最简形式 1 2011 河北 下列分解因式正确的是 A a a3 a 1 a2 B 2a 4b 2 2 a 2b C a2 4 a 2 2D a2 2a 1 a 1 2解析 a2 2a 1 a2 2 a 1 12 a 1 2 是完全平方公式 基础自测 D 2 2011 天门 把代数式ax2 4ax 4a分解因式 下列结果中正确的是 A a x 2 2B a x 2 2C a x 4 2D a x 2 x 2 解析 ax2 4ax 4a a x2 4x 4 a x 2 2 A 3 2011年北京四中模拟 把a3 ab2分解因式的正确结果是 A a ab a ab B a a2 b2 C a a b a b D a a b 2解析 a3 ab2 a a2 b2 a a b a b C 4 2011 金华 下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 A x2 1B x2 2x 1C x2 x 1D x2 4x 4解析 只有x2 4x 4 x2 2 2x 22 x 2 2是完全平方式 D 5 2011 天津 若实数x y z满足 x z 2 4 x y y z 0 则下列式子一定成立的是 A x y z 0B x y 2z 0C y z 2x 0D z x 2y 0解析 左边 x y y z 2 4 x y y z x y 2 2 x y y z y z 2 x y y z 2故 x y y z 0 x 2y z 0 D 题型一因式分解的意义 例1 下列各式从左到右的变形是因式分解的是 A a b 2 a2 2ab b2B a2 2a 1 a a 1 1C a2 1 aD a2 b2 a b a b 解析 a2 b2 b2 a2 b a b a 平方差公式分解因式 题型分类深度剖析 D 探究提高熟练地掌握因式分解的意义 因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形 若结果不是积的形式 则不是因式分解 知能迁移1下列多项式的分解因式 正确的是 A 8abx 12a2x2 4abx 2 3ax B 6x3 6x2 12x 6x x2 x 2 C 4x2 6xy 2x 2x 2x 3y D 3a2y 9ay 6y 3y a2 3a 2 解析 6x x2 x 2 6x3 6x2 12x 因式分解是恒等变形 B 题型二提取公因式法分解因式 例2 1 多项式6xy 2xy2 4xyz中各项的公因式是 解析 6xy 2xy 3 2xy2 2xy y 4xyz 2xy 2z 各项的公因式是2xy 2xy 2 分解因式 4x3y2 28x2y 2xy 6a2 x y 2 3a y x 3 解析 4x3y2 28x2y 2xy 4x3y2 28x2y 2xy 2xy 2x2y 14x 1 6a2 x y 2 3a y x 3 6a2 x y 2 3a x y 3 3a x y 2 2a x y 3a x y 2 2a x y 2xy 2x2y 14x 1 3a x y 2 2a x y 探究提高1 当某项正好为公因式时 提取公因式后 该项应为1 不可漏掉 2 首项系数为负数时 一般公因式的系数取负数 使括号内首项系数为正 3 公因式也可以是多项式 知能迁移2 1 把多项式 m 1 m 1 m 1 提公因式 m 1 后 余下的部分是 A m 1B 2mC 2D m 2解析 提取公因式后 前项余下m 1 后项余下1 m 1 1 m 2 2 分解因式 x y 2 3 x y 答案 x y 2 3 x y x y x y 3 D 题型三运用公式法分解因式 例3 1 下列多项式中 能用公式法分解因式的是 A x2 xyB x2 xyC x2 y2D x2 y2解析 x2 y2 x y x y 符合平方差公式 选C C 2 分解以下各多项式 9x2 16y2解 原式 3x 2 4y 2 3x 4y 3x 4y x 1 2 9解 原式 x 1 3 x 1 3 x 2 x 4 16x4 72x2y2 81y4解 原式 4x2 9y2 2 2x 3y 2x 3y 2 2x 3y 2 2x 3y 2 探究提高1 用平方差公式分解因式 其关键是将多项式转化为a2 b2的形式 需注意对所给多项式要善于观察 并作适当变形 使之符合平方差公式的特点 公式中的 a b 也可以是多项式 可将这个多项式看作一个整体 分解后注意合并同类项 2 用完全平方公式分解因式时 其关键是掌握公式的特征 知能迁移3分解因式 1 4a2 1 解 原式 4a2 1 2a 1 2a 1 2 25 x y 2 9 x y 2 解 原式 5 x y 3 x y 5 x y 3 x y 8x 2y 2x 8y 4 4x y x 4y 3 a2 a 1解 原式 2 2 1 12 2 4 x3 6x2 9x解 原式 x x2 6x 9 x x 3 2 题型四综合运用多种方法分解因式 例4 给出三个多项式 x2 x 1 x2 3x 1 x2 x 请你选择其中两个进行加法运算 并把结果分解因式 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 x2 x 1 x2 3x 1 x2 4x x x 4 x2 x 1 x2 x x2 1 x 1 x 1 x2 3x 1 x2 x x2 2x 1 x 1 2 探究提高1 具有一定的开放性 2 灵活运用多种方法分解因式 其一般顺序是 首先提取公因式 然后再考虑用公式 最后结果一定要分解到不能再分解为止 知能迁移4因式分解 1 a5 a解 原式 a a4 1 a a2 1 a2 1 a a2 1 a 1 a 1 2 x 2 x 4 x2 4解 原式 x2 6x 8 x2 4 2x2 6x 4 2 x2 3x 2 2 x 1 x 2 或原式 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 2x 2 2 x 2 x 1 3 2011 芜湖 因式分解 x3 2x2y xy2 解析 原式 x x2 2xy y2 x x y 2 4 在实数范围内分解因式 x4 4 解 原式 x2 2 x2 2 x2 2 x x x x y 2 题型五因式分解的应用 例5 1 若a b 4 则a2 2ab b2的值是 A 8B 16C 2D 4解析 a2 2ab b2 a b 2 42 16 选B B 2 已知a2 b2 6a 10b 34 0 求a b的值 解 a2 b2 6a 10b 34 0 a2 6a 9 b2 10b 25 0 a 3 2 b 5 2 0 a 3 0且b 5 0 a 3 b 5 a b 3 5 2 3 如果多项式2x3 x2 26x k有一个因式是2x 1 求k的值 解 2x 1是2x3 x2 26x k的因式 可设2x3 x2 26x k 2x 1 R 令2x 1 0 x 得2 3 2 26 k 0 13 k 0 k 13 探究提高1 利用因式分解 将多项式分解之后整体代入求值 2 一个问题有两个未知数 只有一个条件 考虑到已知式右边等于0 若将左边转化成两个完全平方式的和 而它们都是非负数 要使和为0 则每个完全平方式都等于0 从而使问题得以求解 3 逆向思维 推出多项式分解后的几个因式 采用系数求等的方法列方程组求解 或者利用恒等变形的性质 设2x 1 0 x 代入原式 可求得k 知能迁移5 1 2011 衡阳 若m n 2 m n 5 则m2 n2的值为 解析 m2 n2 m n m n 5 2 10 2 若 ABC的三边长分别为a b c 且a 2ab c 2bc 判断 ABC的形状 解 a 2ab c 2bc a c 2ab 2bc 0 a c 2b a c 0 1 2b a c 0 1 2b 0 a c 0 a c ABC是等腰三角形 10 3 分解方法不熟练致误试题分解因式 1 20m3n 15m2n2 5m2n 2 4x2 16y2 3 m a b n b a 4 3x2 18x 27 学生答案展示 1 20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n 4m 3n 2 4x2 16y2 2x 4y 2x 4y 3 m a b n b a a b m n 4 3x2 18x 27 3 x2 6x 9 易错警示 剖析学习因式分解 若对分解因式的方法不熟练 理解不透彻 可能会出现形形色色的错误 正解 1 20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n 4m 3n 1 2 4x2 16y2 4 x 2y x 2y 3 m a b n b a m a b n a b a b m n 4 3x2 18x 27 3 x2 6x 9 3 x 3 2 批阅笔记因式分解提公因式后 括号内的项一定要与原来的项数一样多 错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的 提公因式还有符号方面的错误 分解因式时 应先观察是否有公因式可提 公因式包括系数 错解忽视提系数的最大公约数4 分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解 方法与技巧1 多项式的因式分解有许多方法 但对于一个具体的多项式 有许多方法是根本不适用的 因此 拿过一道题目 先试试这个方法 再试那个办法 对于迅速解出题目意义十分重大 2 先从大的方面着手 安排合理的思考程序 建议如下 1 提取公因式 2 看几项 3 分解彻底 在分解出的每个因式化简整理后 把它作为一个新的多项式 再重复以上程序进行思考 试探分解的可能性 直至不可能