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文档简介
3 6 2空间平面与平面所成的角 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法 解题时 可用定量的计算代替定性的分析 从而避免了一些繁琐的推理论证 求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题 也是高考的热点之一 我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题 直线与平面所成角的范围 思考 结论 复习 线面角 观察这两个图形 你有什么发现 注意法向量的方向 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 一进一出 二面角等于法向量夹角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 如图 向量 则二面角的大小 新课 二面角 若二面角的大小为 则 法向量法 例1正三棱柱中 d是ac的中点 当时 求二面角的余弦值 解 以c为原点建立空间直角坐标系c xyz 在坐标平面yoz中 设面的一个法向量为 同法一 可求b 0 1 0 由得 解得 所以 可取 即二面角的余弦值为 方向朝面外 方向朝面内 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 注 由于两条直线所成的角 线面角都是锐角或直角 因此可直接通过绝对值来表达 故可直接求出 而二面角的范围是 0 有时比较难判断二面角是锐角还是钝角 因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断 故这是求二面角的难点 这里给出一种简明的判断方法 供参考 例2如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f 例2如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f 平面pbc的一个法向量为 解如图所示建立空间直角坐标系 设dc 1 平面pbd的一个法向量为 g 练习 的棱长为1 解1建立直角坐标系 平面pbd1的一个法向量为 平面cbd1的一个法向量为 二面角的范围 关键 观察二面角的范围 1 异面直线所成角 2 直线与平面所成角 3 二面角 关键 观察二面角的范围 1 已知正方体的边长为2 o为ac和bd的交点 m为的中点 1 求证 直线面mac 2 求二面角的余弦值 课后作业 2 如图 已知 直角梯形oabc中 oa
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