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类比归纳专题 三角形中内 外角的有关计算 全方位求角度 类型一 已知角的关系 直接利用内 角和或结合方程思想 1 在 ABC 中 A B 35 C 55 则 B 等于 A 50 B 55 C 45 D 40 2 在 ABC 中 已知 A 2 B 3 C 则 ABC 是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 形状无法确定 3 如图 在 ABC 中 C ABC 2 A BD 是 AC 边上的高 求 DBC 的度 数 4 如图 ABC 中 B 26 C 70 AD 平分 BAC AE BC 于 E EF AD 于 F 求 DEF 的度数 类型二 综合内外角的性质 5 如图 BD CD 分别平分 ABC 和 ACE A 60 则 D 的度数是 A 20 B 30 C 40 D 60 第 5 题图 第 6 题图 6 如图 B 20 A C 40 则 CDE 的度数为 7 如图 AD 平分 BAC EAD EDA 1 求证 EAC B 2 若 B 50 CAD E 1 3 求 E 的度数 类型三 在三角板或直尺中求角度 8 2015 2016 瑶海区期末 将一副三 角板按如图所示摆放 图中 的度数是 A 120 B 105 C 90 D 75 9 将两个含 30 和 45 的直角三角板如 图放置 则 的度数是 A 10 B 15 C 20 D 25 10 一副三角板如图所示叠放在一起 则图中 的度数是 11 如图 将三角板的直角顶点放在直 尺的一边上 若 1 55 则 2 的度数为 类型四 与平行线结合 12 2015 南充中考 如图 已知 B C E 在同一直线上 且 CD AB 若 A 75 B 40 则 ACE 的度数为 A 35 B 40 C 115 D 145 13 如图 AB CD 直线 PQ 分别交 AB CD 于点 F E EG 是 DEF 的平分线 交 AB 于点 G 若 PFA 40 那么 EGB 等 于 A 80 B 100 C 110 D 120 14 如图 BD 是 ABC 的角平分线 DE BC 交 AB 于点 E A 45 BDC 60 则 BDE 15 如图 在 ABC 中 点 D 在 BC 上 点 E 在 AC 上 AD 交 BE 于 F 已知 EG AD 交 BC 于 G EH BE 交 BC 于 H HEG 55 1 求 BFD 的度数 2 若 BAD EBC C 44 求 BAC 的度数 类型五 与截取或折叠相关 16 如图 把 ABC 纸片沿 DE 折叠 当点 A 落在四边形 BCDE 的外部时 则 A 与 1 和 2 之间有一种数量关系始终保持 不变 请试着找一找这个规律 你发现的规 律是 A A 1 2 B 2 A 1 2 C 3 A 2 1 2 D 3 A 2 1 2 17 如图 Rt ABC 中 ACB 90 A 52 将其折叠 使点 A 落在边 CB 上 A 处 折痕为 CD 则 A DB 第 17 题图 第 18 题图 18 在 ABC 中 B 70 若沿图中 虚线剪去 B 则 1 2 等于 19 如图 1 将 ABC 纸片沿 DE 折叠 成图 此时点 A 落在四边形 BCDE 内部 则 A 与 1 2 之间有一种数量关系保持 不变 请找出这种数量关系并说明理由 2 若折成图 或图 即点 A 落在 BE 或 CD 上时 分别写出 A 与 2 A 与 1 之间的关系式 不必证明 3 若折成图 写出 A 与 1 2 之 间的关系式 不必证明 参考答案与解析 1 C 2 C 3 解 设 A x 则 C ABC 2x 根据三角形内角和为 180 知 C ABC A 180 即2x 2x x 180 x 36 C 2x 72 在 Rt BDC 中 DBC 90 C 90 72 18 方法点拨 三角形中给出的条件含比例 且不易直接求出时 一般需要设未知数 根 据三角形的内角和列方程求解 4 解 ABC 中 B 26 C 70 BAC 180 B C 180 26 70 84 AD 平分 BAC DAC 1 2 BAC 1 2 84 42 在 ACE 中 CAE 90 C 90 70 20 DAE DAC CAE 42 20 22 DEF AEF AEF DAE 90 DEF DAE 22 5 B 6 80 7 1 证明 AD 平分 BAC BAD CAD 又 EAD EDA EAC EAD CAD EDA BAD B 2 解 设 CAD x 则 E 3x 由 1 知 EAC B 50 EAD EDA x 50 在 EAD 中 E EAD EDA 180 3x 2 x 50 180 解 得 x 16 E 48 8 B 9 B 10 75 11 35 12 C 13 C 14 15 15 解 1 EH BE BEH 90 HEG 55 BEG BEH HEG 35 又 EG AD BFD BEG 35 2 BFD BAD ABE BAD EBC BFD EBC ABE ABC 由 1 可知 BFD 35 ABC 35 C 44 BAC 180 ABC C 180 35 44 101 16 B 17 14 18 250 19 解 1 延长 BE CD 交于点 P 则 BCP 即为折叠前的三角形 由折叠的性 质知 DAE DPE 连接AP 由三角形的外 角 性质知 1 EAP EPA 2 DAP DPA 则 1 2 DAE DPE 2 DAE 即 1 2 2 A 2 图 中 2 2 A 图 中 1 2 A 3 图 中 2 1 2 A 类比归纳专题 与三角形的类比归纳专题 与三角形的 高 角平分线有关的计算模高 角平分线有关的计算模 型型 模型 1 求同一顶点的角平分线与高线 的夹角的度数 1 如图 AD AE 分别是 ABC 的高和 角平分线 1 已知 B 40 C 60 求 DAE 的度数 2 设 B C 请用含 的代数式表示 DAE 并证明 模型 2 求两内角平分线的夹角的度数 2 如图 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分线交于点 O 若 BOC 120 则 A 3 如图 ABC 中 点 P 是 ABC ACB 的平分线的交点 1 若 A 80 求 BPC 的度数 2 有位同学在解答 1 后得出 BPC 90 1 2 A 的规律 你认为正确吗 请给出 理由 模型 3 求一内角平分线与一外角平分 线的夹角的度数 4 如图 在 ABC 中 BA1平分 ABC CA1平分 ACD BA1 CA1相交于点 A1 1 求证 A1 1 2 A 2 如图 继续作 A1BC 和 A1CD 的平 分线交于点A2 得 A2 作 A2BC和 A2CD 的平分线交于点 A3 得 A3 依此得到 A2017 若 A 则 A2017 模型 4 求两外角平分线的夹角的度数 方法 5 5 1 如图 BO 平分 ABC 的外角 CBD CO 平分 ABC 的外角 BCE 则 BOC 与 A 的关系为 2 请就 1 中的结论进行证明 参考答案与解析 1 解 1 B 40 C 60 BAC 180 B C 180 40 60 80 AE 是角平分线 BAE 1 2 BAC 1 2 80 40 AD 是高 BAD 90 B 90 40 50 DAE BAD BAE 50 40 10 2 DAE 1 2 证明如下 B C BAC 180 AE 是角平分线 BAE 1 2 BAC 90 1 2 AD 是高 BAD 90 B 90 DAE BAD BAE 90 90 1 2 1 2 2 60 3 解 1 BP CP 为角平分线 PBC PCB 1 2 ABC ACB 1 2 180 A 1 2 180 80 50 BPC 180 PBC PCB 180 50 130 2 正确 理由如下 BP CP 为角平 分 线 PBC PCB 1 2 ABC ACB 1 2 180 A 90 1 2 A BPC 180 PBC PCB 180 90 1 2 A 90 1 2 A 4 1 证 明 CA1平 分 ACD A1CD 1 2 ACD 1 2 A ABC 又 A1CD A1 A1BC A1 A1BC 1 2 A ABC BA1 平 分 ABC A1BC 1 2 ABC 1 2 ABC A1 1 2 A ABC A1 1 2 A 2 22017 5 1 BOC 90 1 2 A 2 证明 如图 BO CO 分别是 ABC 的外角 DBC ECB 的平分线 DBC 2 1 ACB A ECB 2 2 ABC A 2 1 2 2 2 A ABC ACB A 180 1 2 1 2 A 90 又 1 2 BOC 180 BOC 180 1 2 90 1 2 A 解题技巧专题 利用全等解决问题的模型与技巧 明模型 先观察 再猜想 后证明 类型一 全等三角形的基本模型 1 如图 AC AD BC BD A 50 B 90 则 C 第 1 题图 第 2 题图 2 如图 锐角 ABC 的高 AD BE 相 交于 F 若 BF AC BC 7 CD 2 则 AF 的长为 3 如图 点 A D C E 在同一条直 线上 AB EF AB EF B F AE 10 AC 6 则 CD 的长为 A 2 B 4 C 4 5 D 3 4 如图 在 ABC ADE 中 BAC DAE 90 AB AC AD AE 点 C D E 在同一直线上 连接 BD 交 AC 于点 F 1 求证 BAD CAE 2 猜想 BD CE 有何特殊位置关系 并 说明理由 类型二 证明线段间的等量关系 一 等线段代换 5 如图 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 直线 l 为经过点 A 的任一直线 BD l 于 D CE l 于 E 若 BD CE 试问 1 AD 与 CE 的大小关系如何 请说明 理由 2 线段 BD DE CE 之间的数量关系 如何 请说明理由 二 截长补短法 6 如图 在四边形 ABDE 中 C 是 BD 边的中点 若AC平分 BAE ACE 90 猜想线段 AE AB DE 的长度满足的数量关 系 并证明 三 倍长中线法 7 在 ABC 中 AB 8 AC 6 则 BC 边上的中线 AD 的取值范围是 A 6 AD 8 B 2 AD 14 C 1 AD 7 D 无法确定 参考答案与解析 1 110 2 3 3 A 4 1 证明 BAC DAE 90 BAC CAD DAE CAD 即 BAD CAE 在 BAD 和 CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE BAD CAE SAS 2 解 BD CE 理由如下 由 1 可知 BAD CAE ABD ACE BAC 90 ABD AFB 90 又 AFB DFC ACE DFC 90 BDC 90 即 BD CE 5 解 1 AD CE 理由如下 BD l 于 D CE l 于 E BDA AEC 90 CAE ACE 90 BAC 90 BAD CAE 90 BAD ACE 又 AB AC ABD CAE AAS AD CE 2 BD DE CE 理由如下 由 1 可知 ABD CAE BD AE AD CE 又 AE DE AD BD DE CE 6 解 AE AB DE 证明如下 如图 在 AE 上截取 AF AB 并连接 CF AC 平 分 BAE BAC CAF 又 AC AC BAC FAC SAS BC FC ACB ACF ACE 90 ACF FCE 90 ACB DCE 90 FCE DCE 又 C 为 BD 的中点 BC DC DC FC 又 CE CE FCE DCE SAS DE FE AE AF FE AB DE 7 C 难点探究专题 动态变化 中的三角形全等 以 静 制 动 不离其宗 类型一 动点变化 1 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 3 PQ AB 点 P 与点 Q 分别在 AC 和 AC 的垂线 AD 上移动 则当 AP 时 ABC 和 APQ 全等 2 如图 ABC 中 AB AC 12cm B C BC 8cm 点 D 为 AB 的中点 如 果点 P 在线段 BC 上以 2cm s 的速度由 B 点 向 C 点运动 同时 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点Q 的运动速度为 vcm s 则当 BPD 与 CQP 全等时 v 的值为 提示 三角形中有两个角相 等 则这两个角所对的边相等 3 2016 达州中考 ABC 中 BAC 90 AB AC ABC ACB 45 点 D 为直线 BC 上一动点 点 D 不与 B C 重 合 以AD为边在AD右侧作正方形ADEF 连接 CF 方法 11 1 观察猜想 如图 当点 D 在线段 BC 上时 BC 与 CF 的位置关系为 线段 BC CD CF 之间的数量关系 为 将结论直接写在横线上 2 数学思考 如图 当点 D 在线段 CB 的延长线上时 结论 是否仍然成 立 若成立 请给予证明 若不成立 请你 写出正确结论再给予证明 类型二 图形变换 4 如图甲 已知 A E F C 在一条直 线上 AE CF 过 E F 分别作 DE AC BF AC 且 AB CD 连接 BD 1 试问 OE OF 吗 请说明理由 2 若 DEC 沿 AC 方向平移到如图乙 的位置 其余条件不变 上述结论是否仍成 立 请说明理由 5 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 点 D F 分别在 AB AC 上 CF CB 连接 CD 将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 后得 CE 连接 EF 1 求证 BCD FCE 2 若 EF CD 求 BDC 的度数 参考答案与解析 1 3 或 6 解析 ABC 和 APQ 全 等 AB PQ 有 ABC QPA 或 ABC PQA 当 ABC QPA 时 则有 AP BC 3 当 ABC PQA 时 则有 AP AC 6 当 AP 3 或 6 时 ABC 和 APQ 全等 故答案为 3 或 6 2 2 或 3 解析 当 BD PC 时 BPD 与 CQP 全等 点 D 为 AB 的中点 BD 1 2A AB 6cm PC 6cm BP 8 6 2 cm 点 P 在线段 BC 上以 2cm s 的速度 由 B 点向 C 点运动 运动时间为 1s DBP PCQ CQ BP 2cm v 2 1 2 cm s 当 BD CQ 时 BDP QCP PB PQ B CQP 又 B C C CQP PQ PC PB PC BD 6cm BC 8cm PB PC QC 6cm BP 4cm 运动时间为4 2 2 s v 6 2 3 cm s 故答案为 2 或 3 3 解 1 垂直 BC CD CF 2 CF BC 成立 BC CD CF 不成立 正确结论 CD CF BC 证明如下 正方形 ADEF 中 AD AF DAF BAC 90 BAD CAF 在 DAB 与 FAC 中 AD AF BAD CAF AB AC DAB FAC SAS ABD ACF DB CF ACB ABC 45 ABD 180 45 135 BCF ACF ACB ABD ACB 90 CF BC CD DB BC DB CF CD CF BC 4 解 1 OE OF 理由如下 DE AC BF AC DEC BFA 90 AE CF AE EF CF EF 即 AF CE 在 Rt ABF 和 Rt CDE 中 AB CD AF CE Rt ABF Rt CDE HL BF DE 在 BFO 和 DEO 中 BFO DEO BOF DOE BF DE BFO DEO AAS OE OF 2 结论依然成立 理由如下 AE CF AE EF CF EF AF CE 同 1 可得 BFO DEO FO EO 即结论依然 成立 5 1 证明 将线段 CD 绕点 C 按顺 时针方向旋转 90 后得 CE CD CE DCE 90 ACB 90 BCD 90 ACD FCE 在 BCD 和 FCE 中 CB CF BCD FCE CD CE BCD FCE SAS 2 解 由 1 可 知 DCE 90 BCD FCE BDC E EF CD E 180 DCE 90 BDC 90 易错易混专题 等腰三角 形中易漏解或多解的问题 易错归纳 各个击破 类型一 求长度时忽略三边关系 1 2016 贺州中考 一个等腰三角形的 两边长分别是 4 8 则它的周长为 A 12 B 16 C 20 D 16 或 20 2 学习了三角形的有关内容后 张老师 请同学们交流这样一个问题 已知一个等 腰三角形的周长是 12 其中一条边长为 3 求另两条边的长 同学们经过片刻思考和 交流后 小明同学举手说 另两条边长为 3 6 或 4 5 4 5 你认为小明的回答是否正 确 理由是 3 已知等腰三角形中 一腰上的中线将 三角形的周长分成 6cm 和 10cm 两部分 求 这个三角形的腰长和底边的长 类型二 当腰或底不明求角度时没有分 类讨论 4 已知等腰三角形的一个内角为 40 则这个等腰三角形的顶角为 A 100 B 40 C 40 或 100 D 60 5 等腰三角形的一个外角等于 100 则与这个外角不相邻的两个内角的度数分 别为 A 40 40 B 80 20 C 80 80 D 50 50 或 80 20 6 已知一个等腰三角形两内角的度数 之比为 1 4 则这个等腰三角形顶角的度数 为 类型三 三角形的形状不明时没有 分类讨论 7 等腰三角形的一个角是 50 则它一 腰上的高与底边的夹角是 A 25 B 40 C 25 或 40 D 不能确定 8 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直 平分线与 AC 所在的直线相交所得到的锐角 为 50 则 B 等于 9 如果两个等腰三角形的腰长相等 面 积也相等 那么我们把这两个等腰三角形称 为一对合同三角形 已知一对合同三角形的 底角分别为 x 和 y 则 用含 x 的 代数式表示 10 已知等腰三角形一腰上的高与另一 腰的夹角的度数为 20 求顶角的度数 类型四 一边确定 另两边不确定 求等腰三角形个数时漏解 11 2016 武汉中考 平面直角坐标系 中 已知 A 2 2 B 4 0 若在坐标轴上 取点 C 使 ABC 为等腰三角形 则满足条 件的点 C 的个数是 A 5 B 6 C 7 D 8 12 如图 在 4 5 的点阵图中 每两 个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1 该点 阵图中已有两个阵点分别标为 A B 请在 此点阵图中找一个阵点 C 使得以点 A B C 为顶点的三角形是等腰三角形 则符合条 件的 C 点有 个 参考答案与解析参考答案与解析 1 C 2 不正确 没考虑三角形三边关系 3 解 设腰长为 xcm 腰长与腰长的 一半是 6cm 时 x 1 2x 6 解得 x 4 底 边长 10 1 2 4 8 cm 4 4 8 4cm 4cm 8cm 不能组成三角形 腰长与腰长 的一半是 10cm 时 x 1 2x 10 解得 x 20 3 底边长 6 1 2 20 3 8 3 cm 三角形的 三边长为20 3 cm 20 3 cm 8 3 cm 能组成三角 形 综上所述 三角形的腰长为20 3 cm 底边 长为8 3cm 4 C 5 D 6 120 或 20 7 C 8 70 或 20 9 x 或 90 x 解析 两个等腰三角 形的腰长相等 面积也相等 腰上的高相 等 当这两个三角形都是锐角或钝角三角 形时 y x 当两个三角形一个是锐角三 角形 一个是钝角三角形时 y 90 x 故答 案为 x 或 90 x 10 解 此题要分情况讨论 当等腰三 角形的顶角是钝角时 腰上的高在其外 部 如图 所示 得顶角 ACB D DAC 90 20 110 当等腰三角形的 顶角是锐角时 腰上的高在其内部 如图 所示 故顶角 A 90 ABD 90 20 70 综上所述 顶角的度数为 110 或 70 11 A 12 5 解题技巧专题 等腰三角 形中辅助线的作法 形成精准思维模式 快速解题 类型一 利用 三线合一 作辅助线 一 已知等腰作垂线 或中线 角平分线 1 如图 在 ABC 中 AB AC AE BE 于点 E 且 BE 1 2BC 若 EAB 20 则 BAC 2 如图 在 ABC 中 AB AC D 为 BC边的中点 过点D作DE AB DF AC 垂足分别为 E F 1 求证 DE DF 2 若 A 90 图中与 DE 相等的有哪 些线段 不说明理由 3 如图 ABC 中 AC 2AB AD 平分 BAC 交 BC 于 D E 是 AD 上一点 且 EA EC 求证 EB AB 二 构造等腰三角形 4 如图 ABC 的面积为 1cm2 AP 垂 直 ABC 的平分线 BP 于 P 则 PBC 的面 积为 A 0 4cm2 B 0 5cm2 C 0 6cm2 D 0 7cm2 5 如图 已知 ABC 是等腰直角三角 形 A 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D CE BD 求证 BD 2CE 类型二 巧用等腰直角三角形构造 全等 6 2016 铜仁中考 如图 在 ABC 中 AC BC C 90 D 是 AB 的中点 DE DF 点 E F 分别在 AC BC 上 求 证 DE DF 类型三 等腰 边 三角形中截长补短 或作平行线构造全等 7 如图 已知 AB AC A 108 BD 平分 ABC 交 AC 于 D 求证 BC AB CD 8 如图 过等边 ABC 的边 AB 上一点 P 作 PE AC 于 E Q 为 BC 延长线上一 点 且 PA CQ 连 PQ 交 AC 边于 D 1 求证 PD DQ 2 若 ABC 的边长为 1 求 DE 的长 参考答案与解析 1 40 2 1 证明 如图 连接 AD AB AC D 是 BC 的中点 EAD FAD 又 DE AB DF AC DE DF 2 解 若 BAC 90 图中与 DE 相等 的有线段 DF AE AF BE CF 3 证明 如图 作 EF AC 于 F EA EC AF FC 1 2AC AC 2AB AF AB AD 平分 BAC BAD CAD 又 AE AE ABE AFE SAS ABE AFE 90 EB AB 4 B 5 证明 如图 延长 BA 和 CE 交于点 M CE BD BEC BEM 90 BD平分 ABC MBE CBE 又 BE BE BME BCE ASA EM EC 1 2MC ABC 是等腰直角三角形 BAC MAC 90 BA AC ABD BDA 90 BEC 90 ACM CDE 90 BDA EDC ABE ACM 又 AB AC ABD ACM ASA DB MC BD 2CE 6 证明 如图 连接 CD AC BC D 是 AB 的中点 CD 平分 ACB CD AB CDB 90 ACB 90 BCD ACD 45 B 180 CDB BCD 45 ACD B BCD CD BD ED DF EDF EDC CDF 90 又 CDF BDF 90 EDC BDF ECD FBD ASA DE DF 7 证明 如图 在线段 BC 上截取 BE BA 连接 DE BD 平分 ABC ABD EBD 又 BD BD ABD EBD SAS BED A 108 DEC 180 DEB 72 又 AB AC A 108 ACB ABC 1 2 180 108 36 CDE DEB ACB 180 36 72 CDE DEC CD CE BC BE EC AB CD 8 1 证明 如图 过 P 作 PF BC 交 AC 于点 F AFP ACB FPD Q PFD QCD ABC 为等边三角形 A ACB 60 AFP 60 APF 是等边三角形 AP PF AP CQ PF CQ PFD QCD ASA PD DQ 2 解 APF 是等边三角形 PE AC AE EF PFD QCD CD DF DE EF DF 1 2AC 又 AC 1 DE 1 2 模型构建专题 共顶点的等模型构建专题 共顶点的等 腰三角形腰三角形 明模型 悉结论 类型一 共直角顶点的等腰直角三角形 1 如图 已知 ABC 和 DBE 均为等 腰直角三角形 1 求证 AD CE 2 猜想 AD和CE是否垂直 若垂直 请说明理由 若不垂直 则只要写出结论 不用写理由 类型二 共顶点的等边三角形 2 如图 等边 ABC 中 D 是 AB 边 上的动点 以CD为一边 向上作等边 EDC 连接 AE 1 DBC 和 EAC 会全等吗 请说明 理由 2 试说明 AE BC 的理由 3 如图 将 1 中动点 D 运动到边 BA 的延长线上 所作仍为等边三角形 请问是 否仍有 AE BC 证明你的猜想 参考答案与解析参考答案与解析 1 1 证明 ABC 和 DBE 均为等 腰直角三角形 AB BC BD BE ABC DBE 90 ABC DBC DBE DBC 即 ABD CBE ABD CBE SAS AD CE 2 解 垂直 理由如下 如图 延长 AD 分别交BC和CE于G和 F ABD CBE BAD BCE BAD ABC BGA BCE AFC CGF 180 BGA CGF AFC ABC 90 AD CE 2 解 1 DBC 和 EAC 全等 理由 如下 ABC 和 EDC 为等边三角形 BC AC DC EC ACB DCE 60 ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE DBC EAC SAS 2 DBC EAC EAC B 60 又 ACB 60 EAC ACB AE BC 3 仍有 AE BC 证明如下 ABC EDC 为等边三角形 BC AC DC CE BCA DCE 60 BCA ACD DCE ACD 即 BCD ACE 在 DBC 和 EAC 中 BC AC BCD ACE CD CE DBC EAC SAS EAC B 60 又 ACB 60 EAC ACB AE BC 类比归纳专题 证明线段相 等的基本思路 理条件 定思路 几何证明也容 易 类型一 已知 边的关系 或 边 角关系 用全等 1 如图 已知 AB AE BC ED B E AF CD F 为垂足 求证 1 AC AD 2 CF DF 2 如图 C 90 BC AC D E 分 别在 BC 和 AC 上 且 BD CE M 是 AB 的 中点 求证 MDE 是等腰三角形 类型二 已知角度关系或线与线之 间的位置关系用 等角对等边 3 如图 在 ABC 中 CE CF 分别平 分 ACB 和 ACB 的外角 ACG EF BC 交 AC 于点 D 求证 DE DF 4 2015 2016 孝南区期末 如图 在 ABC 中 ACB 2 B BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D 过 C 作 CN AD 交 AD 于 H 交 AB 于 N 1 求证 AN AC 2 试判断 BN 与 CD 的数量关系 并说 明理由 类型三 已知角平分线 垂直或垂直 平分用相应的性质 5 如图 ABC 中 CAB 的平分线 与 BC 的垂直平分线 DG 相交于 D 过点 D 作 DE AB DF AC 求证 BE CF 6 如图 在 ABC 中 C 90 AD 是 BAC 的平分线 DE AB 于 E F 在 AC 上 BD DF 求证 1 CF EB 2 AB AF 2EB 参考答案与解析参考答案与解析 1 证明 1 在 ABC 和 AED 中 AB AE B E BC ED ABC AED AC AD 2 在 Rt ACF 和 Rt ADF 中 AC AD AF AF ACF ADF CF DF 2 证明 连接 CM 则 BM CM 且 CM MB B MCE 45 BM AM CM 在 MBD和 MCE中 BM CM B MCE BD CE MBD MCE DM EM MDE 是等腰三角形 3 证明 CE 是 ABC 的角平分线 ACE BCE CF 为 ABC 外 角 ACG的 平 分 线 ACF GCF EF BC GCF F BCE CEF ACE CEF F DCF CD ED CD DF DE DF 4 1 证明 CN AD AHN AHC 90 又 AD 平分 BAC NAH CAH 又 在 ANH 和 ACH 中 AHN NAH ANH 180 AHC CAH ACH 180 ANH ACH AN AC 2 解 BN CD 理由如下 连接 ND 在 AND 和 ACD 中 AN AC NAD CAD AD AD AND ACD SAS DN DC AND ACD 又 ACB 2 B AND 2 B 又 BND 中 AND B NDB B NDB NB ND BN CD 5 证明 连接 BD CD AD 是 FAE 的平分线 DE AB DF AC DE DF DG 是 BC 的垂直平分线 BD CD Rt CDF Rt BDE BE CF 6 证明 1 AD 是 BAC 的平分线 DE AB DC AC DE DC 又 BD DF Rt CFD Rt EBD HL CF EB 2 在 Rt ADC 和 Rt ADE 中 AD AD DC DE Rt ADC Rt ADE AC AE AB AE BE AC EB AF CF EB AF 2EB 解题技巧专题 乘法公式的解题技巧专题 乘法公式的 灵活运用灵活运用 计算技巧多 先观察 再计算 事半功倍 类型一 利用乘法公式进行简便运算 1 计算 102 98 的结果是 A 9995 B 9896 C 9996 D 9997 2 计算 20152 2014 2016 的结果是 A 2 B 1 C 0 D 1 3 计算 1 512 2 298 302 4 运用公式简便计算 1 401 3 39 2 3 2 10002 2522 2482 5 阅读下列材料 某同学在计算 3 4 1 42 1 时 把3 写 成 4 1 后 发现可以连续运用平方差公式 计算 3 4 1 42 1 4 1 4 1 42 1 42 1 42 1 162 1 请借鉴该同学的 经验 计算下面式子的值 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 类型二 利用乘法公式的变式求值 6 若 a b 1 2 且 a 2 b2 1 4 则 a b 的值为 A 1 2 B 1 2 C 1 D 2 7 若 a b 1 ab 2 则 a b 2的值 为 A 9 B 9 C 9 D 3 8 已知 x 1 x 5 那么 x 2 1 x2的值为 A 10 B 23 C 25 D 27 9 若 m n 1 则代数式 m2 n2 2n 的值为 1 10 2016 巴中中考 若 a b 3 ab 2 则 a b 2 11 阅读 已知 a b 4 ab 3 求 a2 b2的值 解 a b 4 ab 3 a2 b2 a b 2 2ab 4 2 2 3 10 请你根据上述解题思路解答下面问题 1 已知 a b 3 ab 2 求 a b a2 b2 的值 2 已知 a c b 10 a b c 12 求 a b 2 c2的值 参考答案与解析 1 C 2 D 3 1 2601 2 89996 4 解 1 原式 40 1 3 40 1 3 402 1 3 2 15998 9 2 原式 10002 250 2 2 250 2 2 错误错误 错误错误 500 5 解 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 2 1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 2 1 1 216 1 215 2 1 215 1 215 2 6 B 7 B 8 B 9 1 10 1 11 解 1 a b 3 ab 2 a b a2 b2 a b 2 a b a b 2 4ab a b 3 2 4 2 3 3 2 a c b 10 a b c 12 a b 2 c2 a b c 2 2 a b c 10 2 2 12 76 解题技巧专题 选择合适的解题技巧专题 选择合适的 方法因式分解方法因式分解 学会选择最优方法 类型一 一步 提公因式或套公式 分 解因式 1 2016 宁德中考 下列分解因式正确 的是 A ma m m a 1 B a2 1 a 1 2 C a2 6a 9 a 3 2 D a2 3a 9 a 3 2 2 分解因式 1 3x3y3 x2y3 2x4y 2 2 x y 2 y x 3 类型二 两步 先提后套或二次分解 分解因式 2 3 2016 梅州中考 分解因式 a2b b3 结果正确的是 A b a b a b B b a b 2 C b a2 b2 D b a b 2 4 分解因式 1 2a3 12a2 18a A 2 x2 1 2 4x2 类型三 特殊的因式分解法 分组分 解法 十字相乘法 配方法 5 阅读下列材料并解答问题 将一个多项式适当分组后 可提公因式 或运用公式继续分解的方法是分组分解 法 例如 am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n 1 试完成下面填空 x2 y2 2y 1 x2 y2 2y 1 2 试用上述方法分解因式 a2 2ab ac bc b2 6 阅读与思考 将式子 x2 x 6 分解 因式 这个式子的常数项 6 2 3 一 次项系数 1 2 3 这个过程可用十字 相乘的形式形象地表示 先分解二次项系数 分别写在十字交叉线的左上角和左下角 再 分解常数项 分别写在十字交叉线的右上角 和右下角 然后交叉相乘 求代数和 使其 等于一次项系数 如图所示 这种分解二次 三项式的方法叫 十字相乘法 请同学们认真观察 分析理解后 解答 下列问题 1 分解因式 x2 7x 18 方法 22 2 填空 若 x2 px 8 可分解为两个一 次因式的积 则整数 p 的所有可能值是 7 阅读 分解因式 x2 2x 3 解 原式 x2 2x 1 1 3 x2 2x 1 4 x 1 2 4 x 1 2 x 1 2 x 3 x 1 上述因式分解的方法可以称之为配方 法 请体会配方法的特点 然后用配方法分 解因式 1 x2 4x 3 2 4x2 12x 7 参考答案与解析参考答案与解析 1 C 2 解 1 原式 x2y 3xy2 y2 2x2 2 原式 x y 2 2 x y x y 2 2 x y 3 A 4 解 1 原式 2a a2 6a 9 2a a 3 2 2 原式 x2 1 2x x2 1 2x x 1 2 x 1 2 5 解 1 x2 y 1 2 x y 1 x y 1 2 原式 a2 2ab b2 ac bc a b 2 c a b a b a b c 6 解 1 原式 x 9 x 2 2 7 7 2 2 解析 若 x2 px 8 可分解为两个一次因式的积 则整数 p 的 所有可能值分别是 8 1 7 1 8 7 2 4 2 4 2 2 7 解 1 原式 x2 4x 4 4 3 x2 4x 4 1 x 2 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 3 2 原式 4x2 12x 9 9 7 4x2 12x 9 16 2x 3 2 16 2x 3 4 2x 3 4 2x 7 2x 1 易错专题 分式中常见的陷易错专题 分式中常见的陷 阱阱 易错全方位归纳 各个击破 类型一 分式值为 0 时求值 忽略分母不 为 0 1 分式x 2 4 x 2 的值等于 0 时 x 的值为 A 2 B 2 C 2 D 2 2 要使 m2 9 m2 6m 9的值为 0 则 m 的值 为 A 3 B 3 C 3 D 不存在 3 若分式3 x x 3 的值为零 则 x 的值为 类型二 自主取值再求值时 忽略分 母或除式不能为 0 4 2016 安顺中考 先化简 再求值 1 1 x 1 x 2 x 1 从 1 2 3 中选择一个 适当的数作为 x 值代入 5 2016 巴中中考 先化简 x2 x x2 2x 1 2 x 1 1 x 然后再从 2 x 2 的范围内 选取一个合适的 x 的整数值代入求值 类型三 无解时忽略分式方程化为 一次方程后未知数系数为 0 的情况 6 若关于 x 的分式方程2m x x 3 1 2 x无解 则 m 的值为 A 3 2A A A A A A A A A A A A B 1 C 3 2或 2 D 1 2或 3 2 7 已知关于 x 的分式方程 a x 1 2a x 1 x2 x 0 无解 求 a 的值 类型四 已知方程根的情况求参数 的取值范围 应舍去公分母为 0 时参数的值 8 2016 齐齐哈尔中考 若关于 x 的分 式方程 x x 2 2 m 2 x的解为正数 则满足 条件的正整数 m 的值为 A 1 2 3 B 1 2 C 1 3 D 2 3 9 已知关于 x 的分式方程a x x 1 1 的解 为负数