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新人教版八年级下册数学 教学设计 2018 12 22 1 新人教版新人教版八年级八年级下册下册数学数学教案教案 目目 录录 第十六章 二次根式 16 1 二次根式 16 2 二次根式的乘除 16 3 二次根式的加减 数学活动 小结 复习题 16 第十七章 勾股定理 17 1 勾股定理 17 2 勾股定理的逆定理 数学活动 小结 复习题 17 第十八章 平行四边形 18 1 平行四边形 18 2 特殊的平行四边形 数学活动 小结 复习题 18 第十九章 一次函数 19 1 函数 19 2 一次函数 14 3 课题学习 选择方案 数学活动 小结 复习题 19 第二十章 数据的分析 20 1 数据的集中趋势 20 2 数据的波动程度 20 3 课题学习 体质健康测试 中的数据分析 数学活动 小结 复习题 20 八年级数学下学期教学工作计划 一 指导思想 在教学中努力推进九年义务教育 落实新课改 体现新理念 培养创新精 神 通过数学课的教学 使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科 学技术所必需的数学基本知识和基本技能 努力培养学生的运算能力 逻辑思维 能力 以及分析问题和解决问题的能力 二 学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期 学生基础的好坏 直接影响到将来是 否能升学 我班优生稍少 学生非常活跃 有少数学生不求上进 思维不紧跟老 师 有的学生思想单纯爱玩 缺乏自主学习的习惯 有部分同学基础较差 厌学 无目标 要在本期获得理想成绩 老师和学生都要付出努力 查漏补缺 充分发 挥学生是学习的主体 教师是教的主体作用 注重方法 培养能力 三 教材分析 本学期教学内容共计五章 知识的前后联系 教材的教学目标 重 难点分 析如下 义务教育教科书 数学 八年级下册包括二次根式 勾股定理 平行四边形 一次函数 数据的分析等五章内容 学习内容涉及到了 义务教育数学课程标准 2013 年版 以下简称 课程标准 中 数与代数 图形与几何 统 计与概率 综合与实践 全部四个领域 其中对于 综合与实践 领域的内容 本册书在第十九章 第二十章分别安排了一个课题学习 并在每一章的最后安排 了两个数学活动 通过这些课题学习和数学活动落实 综合与实践 的要求 第 16 章 二次根式 主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子 二次根式的加 减 乘 除运算 通过本章学习 学生将建立起比较完善的代数 式及其运算的知识结构 并为勾股定理 一元二次方程 二次函数等内容的学习 做好准备 第 17 章 勾股定理 主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理 包括它们的发 现 证明和应用 第 18 章 平行四边形 主要研究一般平行四边形的概念 性质和判定 还研 究了矩形 菱形和正方形等几种特殊的平行四边形 第 19 章是 一次函数 其主要内容包括 常量与变量的意义 函数的概念 函数的三种表示法 一次函数的概念 图象 性质和应用举例 一次函数与二元 一次方程等内容的关系 以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题 学习 第 20 章 数据的分析 主要研究平均数 主要是加权平均数 中位数 众 数以及方差等统计量的统计意义 学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势 和离散情况 并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差 进一步体会用样本估计总体的思想 本学期全书共需约 62 课时 具体分配如下 第十六章 二次根式 约 9 课时 第十七章 勾股定理 约 9 课时 第十八章 平行四边形 约 15 课时 第十九章 一次函数 约 17 课时 第二十章 数据的分析 约 12 课时 四 提高学科教育质量的主要措施 1 认真做好教学六认真工作 把教学六认真作为提高成绩的主要方法 认真 研读新课程标准 钻研新教材 根据新课程标准 扩充教材内容 认真上课 批 改作业 认真辅导 认真制作测试试卷 也让学生学会认真学习 2 兴趣是最好的老师 爱因斯坦如是说 激发学生的兴趣 给学生介绍数学 家 数学史 介绍相应的数学趣题 给出数学课外思考题 激发学生的兴趣 3 引导学生积极参与知识的构建 营造民主 和谐 平等 自主 探究 合 作 交流 分享发现快乐的高效的学习课堂 让学生体会学习的快乐 享受学习 引导学生写学后总结 写复习提纲 使知识来源于学生的构造 4 引导学生积极归纳解题规律 引导学生一题多解 多解归一 培养学生透 过现象看本质 提高学生举一反三的能力 这是提高学生素质的根本途径之一 培养学生的发散思维 让学生处于一种思如泉涌的状态 5 运用新课程标准的理念指导教学 积极更新自己脑海中固有的教育理念 不同的教育理念将带来不同的教育效果 6 培养学生良好的学习习惯 陶行知说 教育就是培养习惯 有助于学生稳 步提高学习成绩 发展学生的非智力因素 弥补智力上的不足 7 开展分层教学 布置作业设置 A B C 三类分层布置分别适合于差 中 好三类学生 课堂上的提问照顾好好 中 差三类学生 使他们都等到发展 8 进行个别辅导 优生提升能力 扎实打牢基础知识 对差生 一些关键知 识 辅导差生过关 为差生以后的发展铺平道路 9 培养学生学习数学的良好习惯 这些习惯包括 认真做作业的习惯包括作 业前清理好桌面 作业后认真检查 预习的习惯 认真看批改后的作业并及 时更正的习惯 认真做好课前准备的习惯 在书上作精要笔记的习惯 妥 善保管书籍资料和学习用品的习惯 认真阅读数学教材的习惯 16 1 二次根式二次根式 第第 1 课时课时 二次根式的概念二次根式的概念 1 能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系 体会研究二次根式的必要性 难点 2 能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质 会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围 重点 一 情境导入 问题 1 你能用带有根号的式子填空吗 1 面 积 为 3 的 正 方 形 的 边 长 为 面积为 S 的正方形的边长为 2 一个长方形围栏 长是宽的 2 倍 面 积为 130m2 则它的宽为 m 3 一个物体从高处自由落下 落到地面 所用的时间 t 单位 s 与落下的高度 h 单位 m 满足关系 h 5t2 如果用含有 h 的式子表 示 t 则 t 问题 2 上面得到的式子 3 S 65 h 5分别表示什么意义 它们有什么共同 特征 二 合作探究 探究点一 二次根式的定义 下列各式中 哪些是二次根式 哪 些不是二次根式 1 11 2 5 3 7 2 4 313 5 1 5 1 6 6 3 x x 3 7 x x 0 8 a 1 2 9 x2 5 10 a b 2 ab 0 解析 要判断一个根式是不是二次根式 一是看根指数是不是 2 二是看被开方数是 不是非负数 解 因为 11 7 2 1 5 1 6 1 30 3 x x 3 a 1 2 a b 2 ab 0 中的根指数都是 2 且被 开方数为非负数 所以都是二次根式 313的 根指数不是 2 5 x x 0 x2 5 的被开方数小于 0 所以不是二次根式 方法总结 判断一个式子是不是二次根 式 要看所给的式子是否具备以下条件 1 带二次根号 2 被开方数是非负数 探究点二 二次根式有意义的条件 类型一 根据二次根式有意义求字 母的取值范围 求使下列式子有意义的 x 的取值 范围 1 1 4 3x 2 3 x x 2 3 x 5 x 解析 根据二次根式的性质和分式的意 义 被开方数大于或等于 0 且分母不等于 0 列不等式 组 求解 解 1 由题意得 4 3x 0 解得 x 4 3 当 x 4 3时 1 4 3x有意义 2 由题意得 3 x 0 x 2 0 解得 x 3 且 x 2 当 x 3 且 x 2 时 3 x x 2 有意义 3 由题意得 x 5 0 x 0 解得 x 5 且 x 0 当 x 5 且 x 0 时 x 5 x 有意义 方法总结 含二次根式的式子有意义的 条件 1 如果一个式子中含有多个二次根式 那么它们有意义的条件是各个二次根式中 的被开方数都必须是非负数 2 如果所给式 子中含有分母 则除了保证二次根式中的被 开方数为非负数外 还必须保证分母不为零 类型二 利用二次根式的非负性求 解 1 已知 a b 满足 2a 8 b 3 0 解关于 x 的方程 a 2 x b2 a 1 2 已知 x y 都是实数 且 y x 3 3 x 4 求 yx的平方根 解析 1 根据二次根式的非负性和绝对 值的非负性求解即可 2 根据二次根式的非 负性即可求得 x 的值 进而求得 y 的值 进 而可求出 yx的平方根 解 1 根据题意得 2a 8 0 b 3 0 解得 a 4 b 3 则 a 2 x b2 a 1 即 2x 3 5 解得 x 4 2 根据题意得 x 3 0 3 x 0 解得 x 3 则 y 4 故 yx 43 64 64 8 yx的平 方根为 8 方法总结 二次根式和绝对值都具有非 负性 几个非负数的和为 0 这几个非负数 都为 0 探究点三 和二次根式有关的规律探究 性问题 先观察下列等式 再回答下列问 题 1 1 12 1 22 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 22 1 32 1 1 2 1 2 1 1 1 6 1 1 32 1 42 1 1 3 1 3 1 1 1 12 1 请你根据上面三个等式提供的信息 写出1 1 42 1 52的结果 2 请你按照上面各等式反映的规律 试 写出用 含 n 的式子表示的等式 n 为正整数 解析 1 从三个等式中可以发现 等号 右边第一个加数都是 1 第二个加数是个分 数 设分母为 n 第三个分数的分母就是 n 1 结果是一个带分数 整数部分是 1 分 数部分的分子也是 1 分母是前项分数的分 母的积 2 根据 1 找的规律写出表示这个 规律的式子 解 1 1 1 42 1 52 1 1 4 1 4 1 1 1 20 2 1 1 n2 1 n 1 2 1 1 n 1 n 1 1 1 n n 1 n 为正整数 方法总结 解答规律探究性问题 都要 通过仔细观察找出字母和数之间的关系 通 过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示 出来 三 板书设计 1 二次根式的定义 一般地 我们把形如 a a 0 的式子叫 做二次根式 2 二次根式有意义的条件 被开方数 式 为非负数 a有意义 a 0 通过将新知识与旧知识进行联系与对 比 随后由学生熟悉的实际问题出发 用已 有的知识进行探究 由此引入二次根式 在 教学过程中让学生感受到研究二次根式是 实际的需要 体会到数学与实际生活间的紧 密联系 以此充分激发学生学习的兴趣 第第 2 课时课时 二次根式的性质二次根式的性质 1 经历二次根式的性质的发现过程 体 验归纳 猜想的思想方法 重点 2 了解并掌握二次根式的性质 会运用 其进行有关计算 重点 难点 一 情境导入 a2等于什么 我们不妨取 a 的一些值 如 2 2 3 3 分别计算出对应的 a2的值 看看有 什么规律 22 4 2 2 2 4 2 32 9 3 3 2 9 3 你能概括一下 a2的值吗 二 合作探究 探究点一 二次根式的性质 类型一 利用 a2 a a 2 a 进 行计算 化简 1 5 2 2 52 3 5 2 4 5 2 解析 根据二次根式的性质进行计算即 可 解 1 5 2 5 2 52 5 3 5 2 5 4 5 2 5 方法总结 利用 a2 a 进行计算与化 简 幂的运算法则仍然适用 同时要注意二 次根式的被开方数要为非负数 类型二 a 2 a a 0 的有关应用 在实数范围内分解因式 1 a2 13 2 4a2 5 3 x4 4x2 4 解析 由于任意一个非负数都可以写成 一个数的平方的形式 利用这个即可将以上 几个式子在实数范围内分解因式 解 1 a2 13 a2 13 2 a 13 a 13 2 4a2 5 2a 2 5 2 2a 5 2a 5 3 x4 4x2 4 x2 2 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 方法总结 一些式子在有理数的范围内 无法分解因式 可是在实数范围内就可以继 续分解因式 这就需要把一个非负数表示成 平方的形式 探究点二 二次根式性质的综合应用 类型一 结合数轴利用二次根式的 性质求值或化简 已知实数 a b 在数轴上的位置如 图所示 化简 a 1 2 2 b 1 2 a b 解析 根据数轴确定a和b的取值范围 进而确定 a 1 b 1 和 a b 的取值范围 再根据二次根式的性质和绝对值的意义化 简求解 解 从数轴上 a b 的位置关系可知 2 a 1 1 b 2 且 b a 故 a 1 0 b 1 0 a b 0 原式 a 1 2 b 1 a b a 1 2 b 1 a b b 3 方法总结 结合数轴利用二次根式的性 质求值或化简 解题的关键是根据数轴判断 字母的取值范围和熟练运用二次根式的性 质 类型二 二次根式的化简与三角形 三边关系的综合 已知 a b c 是 ABC 的三边长 化 简 a b c 2 b c a 2 c b a 2 解析 根据三角形的三边关系得出 b c a b a c 根据二次根式的性质得出含 有绝对值的式子 最后去绝对值符号合并即 可 解 a b c 是 ABC 的三边长 b c a b a c 原式 a b c b c a c b a a b c b c a b a c a b c b c a b a c 3a b c 方法总结 解答本题的关键是根据三角 形的三边关系得出不等关系 再进行变换后 结合二次根式的性质进行化简 类型三 利用分类讨论的思想对二 次根式进行化简 已知 x为实数时 化简 x2 2x 1 x2 解析 根据 a2 a 结合绝对值的性质 将 x 的取值范围分段进行讨论解答 解 x2 2x 1 x2 x 1 2 x2 x 1 x 当 x 0 时 x 1 0 原式 1 x x 1 2x 当 0 x 1 时 x 1 0 原式 1 x x 1 当 x 1 时 x 1 0 原式 x 1 x 2x 1 方法总结 利用二次根式的性质进行化 简时 要结合具体问题 先确定出被开方数 的正负 对于式子 a2 a 当 a 的符号无 法判断时 就需要分类讨论 分类时要做到 不重不漏 类型四 二次根式的规律探究性问 题 细心观察 认真分析下列各式 然 后解答问题 1 2 1 2 S1 1 2 2 2 1 3 S2 2 2 3 2 1 4 S3 3 2 1 请用含 n n 是正整数 的等式表示上 述变化规律 2 推算出 OA10的长 3 求出 S21 S22 S23 S210的值 解析 利用直角三角形的面积公式 观 察上述结论 会发现第 n 个三角形的一直角 边长就是 n 另一条直角边长为 1 然后利 用面积公式可得 解 1 n 2 1 n 1 Sn n 2 n 是正 整数 2 OA1 1 OA2 2 OA3 3 OA10 10 3 S21 S22 S23 S210 1 2 2 2 2 2 3 2 2 10 2 2 1 4 1 2 3 10 55 4 方法总结 解题时通过分析找到各部分 的变化规律后直接利用规律求解 探寻规律 要认真观察 仔细思考 善用联想 探究点三 代数式的定义及简单应用 按照下列程序计算 表格内应输 出的代数式是 n 立方 n n n 答案 解析 根据程序所给的运算 用代数式 表示即可 根据程序所给的运算可得输出的代数 式为n 3 n n n 故答案为n 3 n n n 方法总结 根据实际问题列代数式的一 般步骤 1 认真审题 对语言或图形中所代 表的意思进行仔细辨析 2 分清语言和图形 表述中各种数量的关系 3 根据各数量间的 运算关系及运算顺序写出代数式 三 板书设计 1 二次根式的性质 1 a 2 a a 0 2 二次根式的性质 2 a2 a a 0 3 代数式的定义 用基本运算符号 基本运算符号包括加 减 乘 除 乘方和开方 把数或表示数的字 母连接起来的式子叫做代数式 新的教学理念要求教师在课堂教学中 注意引导学生进行探究学习 在课堂教学中 对学生探索求知作出了引导 并且鼓励学生 自由发言 但在师生互动方面做得还不够 小组间的合作不够融洽 今后的教学中应多 培养学生合作交流的意识 这样有助于他们 今后的学习和生活 16 2 二次根式的二次根式的 乘除乘除 第第 1 课时课时 二次根式的乘法二次根式的乘法 1 掌握二次根式乘法法则和积的算术 平方根的性质 重点 2 会用积的算术平方根的性质对二次 根式进行化简 难点 一 情境导入 计算 1 4 25与 4 25 2 16 9与 16 9 思考 对于 2 3与 2 3呢 从计算的结果我们发现2 3 2 3 这是什么道理呢 二 合作探究 探究点一 二次根式的乘法 类型一 二次根式的乘法法则成立 的条件 式 子x 1 2 x x 1 2 x 成立的条件是 A x 2 B x 1 C 1 x 2 D 1 x 2 解析 根据题意得 x 1 0 2 x 0 解得 1 x 2 故选 C 方法总结 运用二次根式的乘法法则 a b ab a 0 b 0 必须注意被开方 数均是非负数这一条件 类型二 二次根式的乘法运算 计算 1 3 5 2 1 4 64 3 6 27 3 3 4 3 4 18ab 2 a 6b2 a 解析 有理式的乘法运算律及乘法公式 对二次根式同样适用 计算时注意最后结果 要化为最简形式 解 1 3 5 3 5 15 2 1 4 64 1 4 64 16 4 3 6 27 3 3 1827 3 18 81 18 9 162 4 3 4 18ab 2 a 6b2 a 3 4 2 a 18ab 6b 2 a 3 2a 36 3b3 3 2a 6b 3b 9b a 3b 方法总结 在运算过程中要注意根号前 的因数是带分数时 必须化成假分数 如果 被开方数有能开得尽方的因数或因式 可先 将二次根式化简后再相乘 探究点二 积的算术平方根的性质 化简 1 36 16 9 2 362 482 3 x3 6x2y 9xy2 解析 主要运用公式 ab a b a 0 b 0 和 a2 a a 0 对二次根式进行化简 解 1 36 16 9 36 16 9 62 42 32 62 42 32 6 4 3 72 2 362 482 12 3 2 12 4 2 122 32 42 122 52 12 5 60 3 x3 6x2y 9xy2 x x 3y 2 x 3y 2 x x 3y x 方法总结 利用积的算术平方根的性质 可以对二次根式进行化简 探究点三 二次根式乘法的综合应用 小明的爸爸做了一个长为 588 cm 宽为 48 cm 的矩形木相框 还想做一 个与它面积相等的圆形木相框 请你帮他计 算一下这个圆的半径 结果保留根号 解析 根据矩形的面积公式 圆的面积 公式 构造等式进行计算 解 设圆的半径为 rcm 因为矩形木相框 的面积为 588 48 168 cm2 所以 r2 168 r 2 42cm r 2 42舍去 答 这个圆的半径是 2 42cm 方法总结 把实际问题转化为数学问题 列出相应的式子进行计算 体现了转化思想 三 板书设计 1 二次根式的乘法法则 a b ab a 0 b 0 2 积的算术平方根 ab a b a 0 b 0 在教学安排上 体现由具体到抽象的认 识过程 对于二次根式的乘法法则的推导 先利用几个二次根式的具体计算 归纳出二 次根式的乘法运算法则 在具体计算时 可 以通过小组合作交流 放手让学生去思考 讨论 这样安排有助于学生缜密思考和严谨 表达 更有助于学生合作精神的培养 第第 2 课时课时 二次根式的除法二次根式的除法 1 掌握二次根式的除法法则和商的算 术平方根的性质 会运用其进行相关运算 重点 2 能综合运用已学性质进行二次根式 的化简与运算 难点 一 情境导入 计算下列各题 观察有什么规律 1 36 49 36 49 2 9 16 9 16 36 49 36 49 9 16 9 16 二 合作探究 探究点一 二次根式的除法 类型一 二次根式的除法运算 计算 1 0 76 0 19 2 12 3 5 54 3 6a2b 2ab 4 5 514 5 解析 本题主要运用二次根式的除法法 则来进行计算 若被开方数是分数 则被开 方数相除时 可先用除以一个数等于乘这个 数的倒数的方法进行计算 再进行约分 解 1 0 76 0 19 0 76 0 19 4 2 2 12 3 5 54 12 3 5 54 5 3 54 5 18 3 2 3 6a2b 2ab 6a2b 2ab 3a 4 5 514 5 5 5 9 5 5 1 5 5 9 1 5 5 3 1 3 方法总结 利用二次根式的除法法则进 行计算时 可以用 除以一个不为零的数等 于乘这个数的倒数 进行约分化简 类型二 二次根式的乘除混合运算 计算 1 9 45 321 2 3 2 22 3 2 a2 ab b b a 9b2 a 解析 先把系数进行乘除运算 再根据 二次根式的乘除法则运算 解 1 原式 9 1 3 3 2 45 2 5 8 3 18 3 2 原式 a2 b ab b a a 9b2 a2b 3 a 方法总结 二次根式乘除混合运算的方 法与整式乘除混合运算的方法相同 在运算 时要注意运算符号和运算顺序 若被开方数 是带分数 要先将其化为假分数 探究点二 商的算术平方根的性质 类型一 利用商的算术平方根的性 质确定字母的取值范围 若 a 2 a a 2 a 则 a 的取值 范围是 A a 2 B a 2 C 0 a 2 D a 0 解析 根据题意得 a 0 2 a 0 解得 0 a 2 故选 C 方法总结 运用商的算术平方根的性质 b a b a a 0 b 0 必须注意被开方数 是非负数且分母不等于零这一条件 类型二 利用商的算术平方根的性 质化简二次根式 化简 1 17 9 2 3c3 4a4b2 a 0 b 0 c 0 解析 运用商的算术平方根的性质 用 分子的算术平方根除以分母的算术平方根 解 1 17 9 16 9 16 9 4 3 2 3c3 4a4b2 3c3 4a4b2 c 2a2b 3c 方法总结 被开方数中的带分数要化为 假分数 被开方数中的分母要化去 即被开 方数不含分母 从而化为最简二次根式 探究点三 最简二次根式 在下列各式中 哪些是最简二次 根式 哪些不是 并说明理由 1 45 2 1 3 3 5 2 4 0 5 5 14 5 解析 根据满足最简二次根式的两个条 件判断即可 解 1 45 3 5 被开方数含有开得 尽方的因数 因此不是最简二次根式 2 1 3 3 3 被开方数中含有分母 因 此它不是最简二次根式 3 5 2 被开方数不含分母 且被开方数 不含能开得尽方的因数或因式 因此它是最 简二次根式 4 0 5 1 2 2 2 被开方数含有小数 因此不是最简二次根式 5 14 5 9 5 3 5 5 被开方数中含有 分母 因此它不是最简二次根式 方法总结 解决此题的关键是掌握最简 二次根式的定义 最简二次根式必须满足两 个条件 1 被开方数不含分母 2 被开方数不含能开得尽方的因数或 因式 探究点四 二次根式除法的综合运用 座钟的摆针摆动一个来回所需的 时间称为一个周期 其周期计算公式为 T 2 l g 其中 T 表示周期 单位 秒 l 表示 摆长 单位 米 g 9 8 米 秒 2 假若一台 座钟摆长为 0 5 米 它每摆动一个来回发出 一次滴答声 那么在 1 分钟内 该座钟大约 发出了多少次滴答声 3 14 解析 由给出的公式代入数据计算即 可 要先求出这个钟摆的周期 然后利用时 间除周期得到次数 解 T 2 0 5 9 8 1 42 60 T 60 1 42 42 次 在 1 分钟内 该座钟大约发出 了 42 次滴答声 方法总结 解决本题的关键是正确运用 公式 用二次根式的除法进行运算 解这类 问题时要注意代入数据的单位是否统一 三 板书设计 1 二次根式的除法运算 2 商的算术平方根 3 最简二次根式 被开方数不含分母 被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式 在教学中应注重积和商的互相转换 让 学生通过具体实例再结合积的算术平方根 的性质 对比 归纳得到商的算术平方根的 性质 在此过程中应给予适当的指导 可提 出问题让学生有一定的探索方向 在设计课 堂教学内容时 以提问的方式引出本节课要 解决的问题 让学生自主探究 在探究过程 中观察知识产生发展的全过程 从而让学生 的学习情感和学习品质得到升华 学生的创 新精神得到发展 16 3 二次根式的二次根式的 加减加减 第第 1 课时课时 二次根式的加减二次根式的加减 1 会将二次根式化为最简二次根式 掌 握二次根式加减法的运算 重点 2 熟练进行二次根式的加减运算 并运 用其解决问题 难点 一 情境导入 小明家的客厅是长 7 5m 宽 5m 的长方 形 他要在客厅中截出两个面积分别为 8m2 和 18m2的正方形铺不同颜色的地砖 问能 否截出 二 合作探究 探究点一 被开方数相同的最简二次根 式 已知最简二次根式2a b与 a b 3a 4能够合并同类项 求a b的值 解析 利用最简二次根式的概念求出 a b 的值 再代入 a b 求解即可 解 最 简 二 次 根 式2a b 与 a b 3a 4能够合并同类项 a b 2 2a b 3a 4 解得 a 3 b 1 a b 3 1 2 方法总结 根据同类二次根式的概念求 待定字母的值时 应该根据同类二次根式的 概念建立方程或方程组求解 探究点二 二次根式的加减 类型一 二次根式的加减运算 计算 12 1 3 2 2 2 3 解析 二次根式的加减运算应先化简 再合并同类二次根式 解 原式 23 3 3 2 2 3 2 1 3 1 3 2 3 3 方法总结 二次根式相加减 先把各个 二次根式化成最简二次根式 再把被开方数 相同的二次根式进行合并 合并时系数相加 减 根式不变 类型二 二次根式的化简求值 先 化 简 再 求 值 a2 b2 a a 2ab b 2 a 其中 a 2 3 b 2 3 解析 先将原式化为最简形式 再将 a 与 b 的值代入计算即可求出 解 原 式 a b a b a a2 2ab b2 a a b a b a a a b 2 a b a b 当 a 2 3 b 2 3时 原式 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 3 方法总结 化简求值时一般是先化简为 最简分式或整式 再代入求值 化简时不能 跨度太大 缺少必要的步骤易造成错解 类型三 二次根式加减运算在实际 生活中的应用 母亲节快到了 为了表示对妈妈 的感恩 小号同学特地做了两张大小不同的 正方形的壁画送给妈妈 其中一张面积为 800cm2 另一张面积为 450cm2 他想如果再 用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮 他 手上现有 1 2m 长的金色细彩带 请你帮他 算一算 他的金色细彩带够用吗 如果不够 还需买多长的金色细彩带 2 1 414 结果 保留整数 解析 先求出每张正方形壁画的边长 再根据正方形的周长公式求所需金色细彩 带的长 解 镶壁画所用的金色细彩带的长为 4 800 450 4 202 152 140 2 197 96 cm 因为 1 2m 120cm 197 96cm 所以小号的金色细彩带不够 用 197 96 120 77 96 78 cm 即还需买 78cm 的金色细彩带 方法总结 利用二次根式来解决生活中 的问题 应认真分析题意 注意计算的正确 性与结果的要求 三 板书设计 1 被开方数相同的最简二次根式 2 二次根式的加减 一般地 二次根式加减时 可以先将二 次根式化简成最简二次根式 再将被开方数 相同的二次根式进行合并 在授课过程中 要以学生为主体 进行 探究性学习 让学生自己发现规律 得出结 论 在例题的选择上可由简到难 符合学生 的认知规律 便于学生掌握知识 在得到定 义 法则的过程中 让学生经历发现 思考 探究的过程 体会学习知识的成功与快乐 第第 2 课时课时 二次根式的混合二次根式的混合 运算运算 1 会熟练地进行二次根式的加减乘除 混合运算 进一步提高运算能力 重点 2 正确地运用二次根式加减乘除法则 及运算律进行运算 并把结果化简 难点 一 情境导入 如果梯形的上 下底边长分别为 2 2cm 4 3cm 高为 6cm 那么它的面积是多少 毛毛是这样算的 梯形的面积 1 2 2 2 4 3 6 2 2 3 6 2 6 2 3 6 2 6 2 18 2 3 6 2 cm2 他的做法正确吗 二 合作探究 探究点一 二次根式的混合运算 类型一 二次根式的四则运算 计算 1 1 2 22 3 9 1 45 3 5 2 3 12 2 1 3 48 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 解析 先把各二次根式化为最简二次根 式 再把括号内合并后进行二次根式的乘法 运算 然后进行加法运算 解 1 原式 1 2 9 8 3 1 45 5 3 1 2 9 2 2 9 2 2 原式 6 3 2 3 3 4 3 23 1 3 28 3 3 1 2 3 1 3 14 3 1 3 5 3 原式 2 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 3 3 方法总结 二次根式的混合运算 先把 各二次根式化为最简二次根式 再进行二次 根式的乘除运算 然后合并同类二次根式 探究点二 利用乘法公式及运算律进行 二次根式混合运算 计算 1 2 3 6 2 3 6 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 6 1 3 3 2 3 4 24 2 6 解析 1 利用平方差公式展开然后合并 即可 2 先利用完全平方公式和平方差公式 展开然后合并即可 3 利用乘法分配律进行 计算即可 解 1 原式 2 3 6 2 3 6 2 2 3 6 2 2 9 2 18 2 9 6 2 7 6 2 2 原式 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 3 3 原式 6 6 6 3 2 6 2 6 2 3 6 2 6 8 方法总结 利用乘法公式进行二次根式 混合运算的关键是熟记常见的乘法公式 在 二次根式的混合运算中 整式乘法的运算律 同样适用 探究点三 二次根式混合运算的综合运 用 类型一 与二次根式的混合运算有 关的新定义题型 对于任意的正数 m n 定义运算 为m n m n m n m n m0 其中 a 是自变量 V 是自变量的函数 方法总结 函数解析式中 通常等式的 右边的式子中的变量是自变量 等式左边的 那个字母表示自变量的函数 探究点二 自变量的值与函数值 类型一 根据解析式求函数值 根据如图所示程序计算函数值 若输入 x 的值为5 2 则输出的函数值为 A 3 2 B 2 5 C 4 25 D 25 4 解析 x 5 2时 在 2 x 4 之间 将 x 5 2代入函数 y 1 x 得 y 2 5 故选 B 方法总结 根据所给的自变量的值结合 各个函数关系式所对应的自变量的取值范 围 确定其对应的函数关系式 再代入计算 类型二 根据实际问题求函数值 小强想给爷爷买双鞋 爷爷说他 的脚长 25 5cm 若用 x 单位 cm 表示脚长 用 y 单位 码 表示鞋码 则有 2x y 10 根据上述关系式 小强应给爷爷买 码的鞋 解析 用 x 表示脚长 用 y 表示鞋码 则有 2x y 10 而 x 25 5 则 51 y 10 解得 y 41 方法总结 当已知函数解析式时 求函 数值就是求代数式的值 当已知函数解析式 给出函数值时 求相应的自变量的值就是解 方程 探究点三 确定自变量的取值范围 类型一 确定函数解析式中自变量 的取值范围 写出下列函数中自变量 x 的取值 范围 1 y 2x 3 2 y 3 1 x 3 y 4 x 4 y x 1 x 2 解析 当表达式的分母不含有自变量时 自变量取全体实数 当表达式的分母中含有 自变量时 自变量取值要使分母不为零 当 函数的表达式是偶次根式时 自变量的取值 范围必须使被开方数不小于零 解 1 全体实数 2 分母 1 x 0 即 x 1 3 被开方数 4 x 0 即 x 4 4 由题意得 x 1 0 x 2 0 解得 x 1 且 x 2 方法总结 本题考查了函数自变量的取 值范围 有分母的要满足分母不能为 0 有 根号的要满足被开方数为非负数 类型二 确定实际问题中函数解析 式的取值范围 水箱内原有水 200 升 7 30 打开 水龙头 以 2 升 分的速度放水 设经 t 分钟 时 水箱内存水 y 升 1 求 y 关于 t 的函数关系式和自变量的 取值范围 2 7 55 时 水箱内还有多少水 3 几点几分水箱内的水恰好放完 解析 1 根据水箱内还有的水等于原有 水减去放掉的水列式整理即可 再根据剩余 水量不小于 0 列不等式求出 t 的取值范围 2 当 7 55 时 t 55 30 25 分钟 将 t 25 分钟代入 1 中的关系式即可 3 令 y 0 求出 t 的值即可 解 1 水箱内存有的水 原有水 放 掉的水 y 200 2t y 0 200 2t 0 解得 t 100 0 t 100 y 关于 t 的函 数关系式为 y 200 2t 0 t 100 2 7 55 7 30 25 分钟 当 t 25 分钟时 y 200 2t 200 50 150 升 7 55 时 水箱内还有水 150 升 3 当 y 0 时 200 2t 0 解得 t 100 而 100 分钟 1 小时 40 分钟 7 点 30 分 1 小时 40 分钟 9 点 10 分 故 9 点 10 分水 箱内的水恰好放完 三 板书设计 1 函数的概念 2 函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量取值的全体 叫 做函数自变量的取值范围 3 函数值 在教学过程中 注意通过对以前学过的 常量与变量 的回顾与思考 提供生动有 趣的问题情境 激发学生的学习兴趣 并通 过层层深入的问题设计 引导学生进行观察 操作 交流 归纳等数学活动 在活动中归 纳 概括出函数的概念 并通过师生交流 生生交流 辨析识别等加深学生对函数概念 的理解 19 1 2 函数的图象函数的图象 第第 1 课时课时 函数的图象函数的图象 1 理解函数图象的意义 重点 2 能够结合实际情境 从函数图象中获 取信息并处理信息 难点 一 情境导入 在太阳和月球引力的影响下 海水定时 涨落的现象称为潮汐 如图是我国某港某天 0 时到 24 时的实时潮汐图 图中的平滑曲线 如实记录了当天每一 时刻的潮位 揭示了这一天里潮位 y m 与时 间 t h 之间的函数关系 本节课我们就研究 函数图象 二 合作探究 探究点一 函数的图象 类型一 函数图象的意义 下列各图给出了变量 x 与 y 之间 的对应关系 其中 y 是 x 的函数的是 解析 对于 x 的每一个取值 y 都有 唯一确定的值 选项 A 对于 x 的每一个取 值 y 都有两个值 故 A 错误 选项 B 对于 x 的每一个取值 y 都有两个值 故 B 错误 选项C对于x的每一个取值 y都有两个值 故 C 错误 选项 D 对于 x 的每一个取值 y 都有唯一确定的值 故 D 正确 故选 D 方法总结 对于函数概念的理解 有 两个变量 一个变量的数值随着另一个变 量的数值的变化而发生变化 对于自变量 的每一个确定的值 函数值有且只有一个值 与之对应 类型二 判断函数的大致图象 3 月 20 日 小彬全家开车前往铜 梁看油菜花 车刚离开家时 由于车流量大 行进非常缓慢 十几分钟后 汽车终于行驶 在高速公路上 大约三十分钟后 汽车顺利 到达铜梁收费站 停车交费后 汽车驶入通 畅的城市道路 二十多分钟后顺利到达了油 菜花基地 在以上描述中 汽车行驶的路程 s 千米 与所经历的时间 t 分钟 之间的大致 函数图象是 解析 行进缓慢 路程增加较慢 在高 速路上行驶 路程迅速增加 停车交费 路 程不变 驶入通畅的城市道路 路程增加但 增加的比高速路上慢 故 B 符合题意 故选 B 方法总结 此类题目 理解题意是解题 关键 根据题干中提供的信息 及生活实际 判断图象各阶段的变化情况和特征 类型三 由函数图象判断容器的形 状 下雨时在室外放置一个无盖的容 器 如果雨水均匀地落入容器 容器水面高 度 h 与时间 t 的函数图象如图所示 那么这 个容器的形状可能是 解析 根据图象可以得到 杯中水的高 度 h 随注水时间 t 的增大而增大 而增加的 速度越来越小 则杯子应该是越向上开口越 大 故杯子的形状可能是 B 故选 B 方法总结 解决此类问题 要在读懂题 意的前提下 结合图象分析问题 并注意一 些细节的描述 如在某段时间内的函数值的 增减情况 变化趋势等 探究点二 函数图象的应用 类型一 从函数图象上获取信息 小明骑单车上学 当他骑了一段 时 想起要买某本书 于是又折回到刚经过 的新华书店 买到书后继续去学校 以下是 他本次所用的时间与路程的关系示意图 根 据图中提供的信息回答下列问题 1 小明家到学校的路程是多少米 2 小明在书店停留了多少分钟 3 本次上学途中 小明一共行驶了多少 米 一共用了多少分钟 4 我们认为骑单车的速度超过 300 米 分就超越了安全限度 问 在整个上学的途 中哪个时间段小明骑车速度最快 速度在安 全限度内吗 解析 根据图象进行分析即可 解 1 根据图象 学校的纵坐标为 1500 小明家的纵坐标为 0 故小明家到学校的路 程是 1500 米 2 根据题意 小明在书店停留的时间为 从 8 分钟到 12 分钟 故小明在书店停留了 4 分钟 3 一共行驶的总路程为 1200 1200 600 1500 600 1200 600 900 2700 米 共用了 14 分钟 4 由图象可知 0 6 分钟时 平均速度 为1200 6 200 米 分 6 8 分钟时 平均速 度为1200 600 8 6 300 米 分 12 14 分钟时 平均速度为1500 600 14 12 450 米 分 所以 12 14 分钟时小明骑车速度最快 不在安全 限度内 方法总结 解读图象反映的信息 关键 是理解横轴和纵轴表示的实际意义 解决问 题的过程中体现了数形结合思想 类型二 动点问题的函数图象 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 P 为正方形边上一动点 运动路线是 A B C D A 设 P 点经过的路程为 x 以点 A P B 为顶点的三角形的面积是 y 则下列图象能大致反应 y 与 x 的函数关系的 是 解析 当点 P 由点 A 向点 B 运动 即 0 x 4 时 y 的值为 0 当点 P 在 BC 上运 动 即 4 x 8 时 y 随着 x 的增大而增大 当点 P 在 CD 上运动 即 8 x 12 时 y 不变 当点 P 在 DA 上运 动 即12 x 16时 y随x的增大而减小 故 选 B 方法总结 解决动点问题的函数图象问 题关键是发现 y 随 x 的变化而变化的趋势 三 板书设计 1 函数图象的意义 2 函数图象的应用 本课设计的学习内容都是学生所熟知 的事情 情景导入是由实例入手 这些内容 有利于学生联系实际 主动进行观察 实验 猜测 验证 推理与交流等数学活动 通过 一些现实生活中用图象来反映的问题实例 让学生经历将实际问题抽象为数学问题的 过程 教学生如何观察分析图象 学会观察 图象的一般步骤 利用问题串的形式引导学 生逐步深入获得图象所传达的信息 逐步熟 悉图象语言 第第 2 课时课时 函数的表示方法函数的表示方法 1 了解函数的三种不同的表示方法并 在实际情境中 会根据不同的需要 选择函 数恰当的表示方法 重点 2 通过具体实例 了解简单的分段函数 并能简单应用 难点 一 情境导入 问题 1 某人上班由于担心迟到所以一 开始就跑 等跑累了再走完余下的路程 可 以把此人距单位的距离看成是关于出发时 间的函数 想一想我们用怎样的方法才能更 好的表示这一函数呢 2 生活中我们经常遇到银行利率 列车 时刻 国民生产总值等问题 想一想 这些 问题在实际生活中又是如何表示的 二 合作探究 探究点一 函数的表示方法 类型一 用列表法表示函数关系 有一根弹簧原长 10 厘米 挂重物 后 不超过 50 克 它的长度会改变 请根据 下面表格中的一些数据回答下列问题 质量 克 1 2 3 4 伸长量 厘米 0 5 1 1 5 2 总长度 厘米 10 5 11 11 5 12 1 要想使弹簧伸长 5 厘米 应挂重物多 少克 2 当所挂重物为 x 克时 用 h 厘米表示 总长度 请写出此时弹簧的总长度的函数表 达式 3 当弹簧的总长度为 25 厘米时 求此 时所挂重物的质量为多少克 解析 1 根据挂重物每克伸长0 5厘米 要伸长 5 厘米 可得答案 2 根据挂重物与 弹簧伸长的关系 可得函数解析式 3 根据 函数值 可得所挂重物质量 解 1 5 0 5 1 10 克 答 要想使弹簧伸长 5 厘米 应挂重物 10 克 2 函 数 的 表 达 式 h 10 0 5x 0 x 50 3 当 h 25 时 25 10 0 5x x 30 答 当弹簧的总长度为 25 厘米时 此 时所挂重物的质量为 30 克 方法总结 列表法的优点是不需要计算 就可以直接看出与自变量的值相对应的函 数值 简洁明了 列表法在实际生产和生活 中也有广泛应用 如成绩表 银行的利率表 等 类型二 用图象法表示函数关系 如图描述了一辆汽车在某一直路 上的行驶过程 汽车离出发地的距离 s 千米 和行驶时间 t 小时 之间的关系 请根据图象 回答下列问题 1 汽车共行驶的路程是多少 2 汽车在行驶途中停留了多长时间 3 汽车在每个行驶过程中的速度分别 是多少 4 汽车到达离出发地最远的地方后返 回 则返回用了多长时间 解析 根据图象解答即可 解 1 由纵坐标看出汽车最远行驶路程 是 120 千米 往返共行驶的路程是 120 2 240 千米 2 由横坐标看出 2 1 5 0 5 小时 故 汽车在行驶途中停留了 0 5 小时 3 由纵坐标看出汽车到达 B 点时的路 程是 80 千米 由横坐标看出到达 B 点所用 的时间是 1 5 小时 由此算出平均速度 80 1 5 160 3 千米 时 由纵坐标看出汽车从 B 到 C 没动 此时速度为 0 千米 时 由横 坐标看出汽车从C到D用时3 2 1 小时 从纵坐标看出行驶了 120 80 40 千米 故此时的平均速度为 40 1 40 千米 时 由 纵坐标看出汽车返回的路程是 120 千米 由 横坐标看出用时 4 5 3 1 5 小时 由此算 出平均速度 120 1 5 80 千米 时 4 由横坐标看出 4 5 3 1 5 小时 返 回用了 1 5 小时 方法总结 图象法的优点是直观形象地 表示自变量与相应的函数值变化的趋势 有 利于我们通过图象来研究函数的性质 图象 法在生产和生活中有许多应用 如企业生产 图 股票指数走势图等 类型三 用解析式法表示函数关系 一辆汽车油箱内有油 48 升 从某 地出发 每行 1 千米 耗油 0 6 升 如果设 剩余油量为 y 升 行驶路程为 x 千米 1 写出 y 与 x 的关系式 2 这辆汽车行驶 35 千米时 剩油多少 升 汽车剩油 12 升时 行驶了多千米 3 这辆车在中途不加油的情况下最远 能行驶多少千米 解析 1