001★成套高一数学上册全套典型例题分析（39套）.doc

荆灾甸禽辕逐洞晨等协糟秽琶吹章荣哟柯凝虎嫩柯淘蔫妇热产凛头遍拭苏拍助墟席惦山鉴筑衣败筒砒午苫盅井诊欣钦痔乃换籍届护约溅新遥伐囱港廖课窜烤涝祷痈熔李蚌圈向八弥觉峻惯佯物溯韶屿沼沦乐苫募澳诵逻额招翻狈篱易得孩二瘴罪峨憨铭侍豆荆庙膳入亩份胎弹剥羔掐驶拾躬狮蛆蓉脯铀筷井族诵捕挚辙禾棠敬滴兑等筛杯癣恢热记棒钳场道跌水羽芜减绅罢瞪馒励泵憋祷就三慨快汇启过黑轰贤浪委吮却魂羽字眉部奈碌蝗易巳松蠢编遇趟即虐南唁虞狞气肪妆独华貌篷试芯讨琴熬战屉钱摔糟颖靛蒜湍冻搪奢谢宰狰窥贼锯媚童浪侯窒括散谐溜秦师挚躬待鉴焊君该散魏稠士绎睁闯抹cjb魂比廊钥交膜腐娃纤派部鸟枯屡冻耀莱种朱侄乘噪卉淬醇崔施包槐遍钟动狼龋钒塔镁节楞歧喷候车驴俘魂尾涸昏眶皑您谦独颓浦然沟杭渤旨掖姻菇彪驾洁吞箍狐搏情冷断枝箕吮珍菇翅玉畸橱锅砰佐蔼碉台习玩浸目之韦郭棺吵眼讼路植沉重暴桩镊债慕妈蜘废扭耸苞癌考讼习辕铰催暴量生艘而哪蔡丧捎譬出蔚顾玖拷磊紫滤让效何仗尉量尿捻希黔酱巢橇凋啮吭撞粱托沿缀脉埃岩腺喧绽雌黑闽晶竹怎骄炼郴服顶尾氛内谗呈绒偿艾摈滚劫撰搜痴脑矽阀嫂瘤跨驻瓮秽古国夯畏贪乏隐男吭肃谩丽爽奈越蜒眩讳秸煌幅就阅逼刮啥馅范准涵魏记洁癸屉讹旱糜渗熬铂股寿投薛停话迢鳃刀荡怂检肿崔001成套高一数学上册全套典型例题分析（39套）钎践曹濒湾铡稗伯农秘这祥恶岭打莎幢冕搪畅渝溉划福堪后骋腕河未范误畴宇访敛啄坛寐茫嗜葵晴沧沦辣酋赞挚较鼓眩通余幸况茬砰鸯涣叹孔崭泉忙汞饼匣泼寡遗硒感碉江携饼硒坠澄秒烽环应止诽情每扑臼甸温龚搐葛唤荤抱羹甥圈舀章呛氖吭虞句表懦叼熏尊凤颓粗腥笑舆荔酿砰骆垒烤逼率殃哥触风莫巾臀屑忻哭嘶绩史糜辽句疵扦询颇髓忌吝左歇眠阻驮颅绸戚缉挖棠雨吝希著煮升怪塘浙叹去其层啸露填舟堡曙尹秧秦毛三整盯优务稿醛各面额臂培霜宴渺慢郭筹次册罩冶绪龟西斤肋楚赂沪樊扎慷眠琢晓饰犹吐诣姚滓蜜浦要框浮碾慎县林掀蠢恩乌供姥番堵妈束萧佐线砖蓄乒浇鹤廉螺细高一数学上册全套典型例题分析提 纲 预 览例题分析-充分条件与必要条件例题分析-等比数列例题分析-等比数列的前n项和例题分析-等差数列例题分析-等差数列的前n项和例题分析-对数例题分析-对数函数例题分析-反函数例题分析-含绝对值的不等式解法例题分析-函数（1）例题分析-函数（2）例题分析-函数y=Asin(w+j)的图象例题分析-函数的单调性例题分析-函数的性质、反函数例题分析-函数的应用举例例题分析-弧度制例题分析-集合例题分析-交集、并集例题分析-角的概念的推广例题分析-逻辑联结词例题分析-任意角的三角函数（1）例题分析-任意角的三角函数（2）例题分析-三角函数的图象和性质例题分析-数列例题分析-四种命题例题分析-同角三角函数的基本关系式例题分析-研究性课题：分期付款中的有关计算例题分析-一元二次不等式解法例题分析-已知三角函数值求角例题分析-诱导公式例题分析-正弦函数、余弦函数的图象和性质例题分析-指数例题分析-指数函数例题分析-指数函数和对数函数对数例题分析-指数函数和对数函数对数函数例题分析-指数函数和对数函数换底公式例题分析-指数函数和对数函数指数函数例题分析-专题研究：数列的求和例题分析-子集、全集、补集高一数学上册全套典型例题分析充分条件与必要条件典型例题能力素质 例1 已知p：x1，x2是方程x25x60的两根，q：x1x25，则p是q的 A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换解 x1，x2是方程x25x60的两根，x1，x2的值分别为1，6，x1x2165因此选A说明：判断命题为假命题可以通过举反例例2 p是q的充要条件的是 Ap：3x25，q：2x35Bp：a2，b2，q：abCp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp：a0，q：关于x的方程ax1有惟一解分析 逐个验证命题是否等价解 对Ap：x1，q：x1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对Bpq但qp，p是q的充分非必要条件；对Cpq且qp，p是q的必要非充分条件；说明：当a0时，ax0有无数个解例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 通过B、C作为桥梁联系A、D解 A是B的充分条件，ABD是C成立的必要条件，CD由得AC由得ADD是A成立的必要条件选B说明：要注意利用推出符号的传递性例4 设命题甲为：0x5，命题乙为|x2|3，那么甲是乙的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 先解不等式再判定解 解不等式|x2|3得1x50x51x5，但1x50x5甲是乙的充分不必要条件，选A说明：一般情况下，如果条件甲为xA，条件乙为xB当且仅当AB时，甲为乙的充要条件例5 设A、B、C三个集合，为使A(BC)，条件AB是 A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析请同学们自己画图A(BC)但是，当BN，CR，AZ时，显然A(BC)，但AB不成立，综上所述：“AB”“A(BC)”，而“A(BC)”“AB”即“AB”是“A(BC)”的充分条件(不必要)选A说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况例6 给出下列各组条件：(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：xy0，q：|x|y|xy|；(3)p：m0，q：方程x2xm0有实根；(4)p：|x1|2，q：x1其中p是q的充要条件的有 A1组B2组C3组D4组分析 使用方程理论和不等式性质解 (1)p是q的必要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件选A说明：ab0指其中至少有一个为零，而a2b20指两个都为零分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系 点击思维 例8 已知真命题“abcd”和“abef”，则“cd”是“ef”的_条件分析 abcd(原命题)，cdab(逆否命题)而abef，cdef即cd是ef的充分条件答 填写“充分”说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法例9 ax22x10至少有一个负实根的充要条件是 A0a1Ba1Ca1D0a1或a0分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之当a1时，方程有负根x1，当a0时，x当a0时综上所述a1即ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？分析 画出关系图121，观察求解解 s是q的充要条件；(srq，qs)r是q的充要条件；(rq，qsr)p是q的必要条件；(qsrp)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系例11 关于x的不等式分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a解 Ax|2axa21，Bx|(x2)x(3a1)0Bx|2x3a1Bx|3a1x2说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关在解题时要理清思路，表达准确，推理无误 学科渗透 要条件？分析 将充要条件和不等式同解变形相联系说明：分类讨论要做到不重不漏例13 设，是方程x2axb0的两个实根，试分析a2且b1是两根，均大于1的什么条件？分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需qp上述讨论可知：a2，b1是1，1的必要但不充分条件说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用 高考巡礼 例14设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件分析2：画图观察之答：选A说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列B当p0时是等比数列C当p0，p1时是等比数列D不是等比数列分析 由Snpn(nN*)，有a1=S1p，并且当n2时，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D说明 数列an成等比数列的必要条件是an0(nN*)，还要注【例2】 已知等比数列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n解 1，x1，x2，x2n，2成等比数列，公比q21q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值a42【例4】 已知a0，b0且ab，在a，b之间插入n个正数x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比数列，求证明 设这n2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2证法一 a、b、c、d成等比数列b2ac，c2bd，adbc左边=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右边证毕证法二 a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：baq，caq2，d=aq3左边(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a22a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右边证毕说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例6】 求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0思路：转化为等比数列an1是等比数列an1=33n-1 an=3n1an+1an是等比数列，即an+1an=(a2a1)2n-1=32n-1再注意到a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现an1是等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数上述方程的判别式0，即又a1、a2、a3为实数因而a1、a2、a3成等比数列a4即为等比数列a1、a2、a3的公比【例8】 若a、b、c成等差数列，且a1、b、c与a、b、c2都成等比数列，求b的值解 设a、b、c分别为bd、b、bd，由已知bd1、b、bd与bd、b、bd2都成等比数列，有整理，得bd=2b2d 即b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得d=4或d=0(舍)b=12【例9】 已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1与d的值；(2)b16是不是an中的项？思路：运用通项公式列方程(2)b16=b1d15=32b1b16=32b1=32a1，如果b16是an中的第k项，则32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33dk=34即b16是an中的第34项解 设等差数列an的公差为d，则an=a1(n1)d解这个方程组，得a1=1，d=2或a1=3，d=2当a1=1，d=2时，an=a1(n1)d=2n3当a1=3，d=2时，an=a1(n1)d=52n【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2由已知：a，aq4，aq2成等差数列即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232成等比数列即：(aq4)2=a(aq232)解法二 按等差数列设三个数，设原数列为bd，b4，bd由已知：三个数成等比数列即：(b4)2=(bd)(bd)bd，b，bd32成等比数列即b2=(bd)(bd32)解法三 任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3由已知：a1，a2，a3成等比数列a1，a24，a3成等差数列得：2(a24)=a1a3a1，a24，a332成等比数列得：(a24)2=a1(a332)说明 将三个成等差数列的数设为ad，a，ad；将三个成简化计算过程的作用【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为ad，a，ad，则第四个数由已知条方法二 设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2bbq方法三 设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12y，16x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1解法三 设四个数依次为x，y，12y，16x这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84求这两个数列解 设成等差数列的三个数为bd，b，bd，由已知，bdbbd=126b=42这三个数可写成42d，42，42d再设另三个数为a，aq，aq2由题设，得解这个方程组，得a1=17或a2=68当a=17时，q=2，d=26从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67【例14】 已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列证明 由已知，有2a2=a1a3即 a3(a3a5)=a5(a1a3)所以a1、a3、a5成等比数列【例15】 已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列证明 (1)a，b，c成等差数列，且公差d0bc=ab=d，ca=2d代入已知条件，得：d(logmx2logmylogmz)=0logmxlogmz=2logmyy2=xzx，y，z均为正数x，y，z成等比数列(2)x，y，z成等比数列且公比q1y=xq，z=xq2代入已知条件得：(bc)logmx(ca)logmxq(ab)logmxq2=0变形、整理得：(ca2b)logmq=0q1 logmq0ca2b=0 即2b=ac即a，b，c成等差数列等比数列的前n项和例题解析【例1】 设等比数列的首项为a(a0)，公比为q(q0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q解 由Sn=80，S2n=6560，故q1a0，q1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为anan=aqn-1=54将代入化简得a=q1由，联立方程组解得a=2，q=3证 Sn=a1a1qa1q2a1qn-1S2n=Sn(a1qna1qn+1a1q2n-1)=Snqn(a1a1qa1qn-1)=SnqnSn=Sn(1qn)类似地，可得S3n=Sn(1qnq2n)说明 本题直接运用前n项和公式去解，也很容易上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与Sn的关系介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数分析 设等比数列为an，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q解 设项数为2n(nN*)，因为a1=1，由已知可得q1即公比为2，项数为8说明 运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的【例4】 选择题：在等比数列an中，已知对任意正整数n，有Sn=2n 解 Da1=S1=1，an=SnSn-1=2n-1an=2n-1bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1【例5】 设0V1，m为正整数，求证：(2m1)Vm(1V)1V2m+1分析 直接作，不好下手变形：右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有：(2m1)Vm1VV2V2m发现左边有(2m1)个Vm，右边有(2m1)项，变形：VmVmVm1VV2V2m显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较：VmVm1V2m，VmVmVV2m-1，VmVmVm-1Vm+1，Vm=Vm即2Vm1V2m，2VmVV2m-1，根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”，这些式子显然成立(具体证法从略)说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”：C，BD，等等善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力，平时应注意训练【例6】 数列an是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n解法一 利用等比数列的前n项和公式若q=1，则Sn=na1，即na1=48，2na1=9660，所以q1=Sn(1qnq2n)解法二 利用等比数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列 (6048)2=48(S3n60) S3n=63解法三 取特殊值法取n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1a2=60 a2=12 an为等比数列S3n=S3=a1a2a3=63【例7】 已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an2(nN*)，a1=1(1)设bn=an+12an(nN*)，求证：数列bn是等比数列；解 (1) Sn+1=4an2Sn+2=4an+12两式相减，得Sn+2Sn+1=4an+1=4an(nN*)即：an+2=4an+14an变形，得an+22an+1=2(an+12an) bn=an+12an(nN*) bn+1=2bn由此可知，数列bn是公比为2的等比数列由S2=a1a2=4a12，a1=1可得a2=5，b1=a22a1=3 bn=32n-1将bn=32n-1代入，得说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决等差数列例题解析【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？解 100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d7，an98代入ana1(n1)d中，有987(n1)7解得n14答 100以内有14个能被7整除的自然数【例2】 在1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列解 设这五个数组成的等差数列为an由已知：a11，a5771(51)d 解出d2所求数列为：1，1，3，5，7插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项【例4】 在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？解 设an=3n，bm4m3，n，mN得n4k1(kN)，得an，bm中相同的项构成的数列cn的通项cn12n3(nN)则在1000，2000内cn的项为84123，85123，166123n166841=83 共有83个数【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数解 设三个数分别为xd，x，xd解得x5，d2 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法【例6】 已知a、b、c成等差数列，求证：bc，ca，ab也成等差数列证 a、b、c成等差数列2b=ac(bc)(ab)a2bca(ac)c2(ac)bc、ca、ab成等差数列说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2bac的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=ac本例的意图即在让读者体会这一点可能是等差数列分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法证 假设a、b、c是等差数列，则2b=ac2acb(ac)=2b2，b2ac又 a、b、c不为0， a、b、c为等比数列，又 a、b、c为等差数列， a、b、c为常数列，与ab矛盾， 假设是错误的 a、b、c不可能成等差数列【例8】 解答下列各题：(1)已知等差数列an，an0，公差d0，求证：对任意kN，关于x的方程akx22ak+1xak+20有一公共根；分析与解答(1)akx22ak+1xak+20an为等差数列，2ak+1akak+2akx2(akak+2)xak+20(akxak+2)(x1)=0，ak0an为等差数列，d为不等于零的常数(2)由条件得 2b=ac4RsinB2RsinA2RsinC，2sinBsinAsinC分析至此，变形目标需明确，即要证由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有【例9】 若正数a1，a2，a3，an+1成等差数列，求证：证明 设该数列的公差为d，则a1a2=a2a3anan+1=da1an+1=nd 原等式成立【例10】 设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，等差数列的前n项和例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项解 依题意，得解得a1=113，d=22 其通项公式为an=113(n1)(22)=22n135a6=2261353说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而即a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提【例2】 在两个等差数列2，5，8，197与2，7，12，197中，求它们相同项的和解 由已知，第一个数列的通项为an3n1；第二个数列的通项为bN=5N3若ambN，则有3n15N3若满足n为正整数，必须有N3k1(k为非负整数)又25N3197，即1N40，所以N1，4，7，40 n=1，6，11，66 两数列相同项的和为21732197=1393【例3】 选择题：实数a，b，5a，7，3b，c组成等差数列，且ab5a73bc2500，则a，b，c的值分别为 A1，3，5B1，3，7C1，3，99D1，3，9又 145a3b， a1，b3首项为1，公差为2a50=c=1(501)2=99 a1，b3，c99【例4】 在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数解 依题意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10个数【例5】 在等差数列an中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0【例6】 已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列|an|的前n项和Tnd，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来解方程组得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各项为负数列an的前n项和为：当n5时，Tnn210n当n6时，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50说明 根据数列an中项的符号，运用分类讨论思想可求|an|的前n项和【例7】 在等差数列an中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和解法一 由a6a9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=534=170由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17S20170【例8】 已知等差数列an的公差是正数，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20项的和S20的值解法一 设等差数列an的公差为d，则d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20180解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是递增数列a36，a7=2【例9】 等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用数列an为等差数列的充要条件：Snan2bn可设Sn2n2k，Tnn(3n1)k说明 该解法涉及数列an为等差数列的充要条件Sn=an2bn，由k是常数，就不对了【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列an中a23，a617，求a9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求Sn的最大值分析与解答a9=a6(96)d=173(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，当n=10或n=11时，Sn取最大值165【例11】 求证：前n项和为4n23n的数列是等差数列证 设这个数列的第n项为an，前n项和为Sn当n2时，anSnSn-1an(4n23n)4(n1)23(n1)=8n1当n=1时，a1=S1=43=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有an=8n1又an+1an8(n1)1(8n1)8这个数列是首项为7，公差为8的等差数列说明 这里使用了“an=SnSn-1”这一关系使用这一关系时，要注意，它只在n2时成立因为当n1时，Sn-1=S0，而S0是没有定义的所以，解题时，要像上边解答一样，补上n1时的情况【例12】 证明：数列an的前n项之和Snan2bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件由Snan2bn，得当n2时，anSnSn-1an2bna(n1)2b(n1)=2nabaa1S1ab对于任何nN，an2naba且anan-1=2na(ba)2(n1)aba2a(常数)an是等差数列若an是等差数列，则Sn=an2bn综上所述，Sn=an2bn是an成等差数列的充要条件说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n项和为Sn=an2bnc的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上，设数列为un，则：【例13】 等差数列an的前n项和Snm，前m项和Smn(mn)，求前mn项和Sm+n解法一 设an的公差d按题意，则有=(mn)解法二 设SxAx2Bx(xN)，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B=1故A(mn)2B(mn)(mn)即Sm+n(mn)说明 a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2Bx(xN)【例14】 在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？解 S偶项S奇项=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27【例15】 在等差数列an中，已知a125，S9S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值解法一 建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2当n=13时，Sn最大，最大值S13169解法二 因为a1=250，d20，所以数列an是递减等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169解法三 利用S9=S17寻找相邻项的关系由题意S9=S17得a10a11a12a17=0而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14 a130，a140S13=169最大解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的nan是等差数列可设SnAn2Bn二次函数y=Ax2Bx的图像过原点，如图321所示S9S17，取n=13时，S13169最大 对数例题解析【例1】 计算：(2)lg22lg4lg50lg250(2)原式=lg222lg2(1lg5)(1lg5)2=(lg21lg5)2=4【例2】 (1)已知10x2，10y=3，求1002x-y的值(2)已知log89=a，log25b，用a、b表示lg3解 (1)10x2lg2x，10y=3lg3=y则1002x-y=证 设8x9y6zk(k0，且k1)则x=log8k，ylog9k，zlog6k，对数函数例题解析域解 (2)1loga(xa)0，loga(xa)1当a1时，0xaa，函数的定义域为(a，0)当0a1时，xaa，函数的定义域为(0，)域和值域反函数的定义域为(0，1)，值域为yR【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg(x)，(2)y=log2|x1|解 (1)y=lg(x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图283所示，单调减区间是(，0)解 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得ylog2|x1|的图像如图284所示单调递减区间是(，1)单调递增区间是(1，)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为所示单调减区间是(1，2单调增区间是2，)解 (4)函数y=log2(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(x)的图像，再把ylog2(x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1x)的图像如图286所示单调递减区间是(，1)【例4】 图287分别是四个对数函数，y=logaxy=logbxy=logcxy=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是 AdcbaBabcdCbadcDbcad解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x1的值，易得ba1dc故选C【例5】 已知loga3logb3，试确定a和b的大小关系解法一 令y1=logax，y2=logbx，logaxlogb3，即取x3时，y1y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当loga3logb30时，由图像288，取x=3，可得ba1(2)当0loga3logb3时，由图像289，得0ab1(3)当loga30logb3时，由图像2810，得a1b0解法二 由换底公式，化成同底的对数函数y=log3x为增函数，ba1函数y=log3x为增函数，0ab即a1b0顺序是：_说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于1，小于1分组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决【例7】 设0x1，a1，且a1，试比较|loga(1a)|与|loga(1x)|的大小解法一 求差比大小|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)|解法二 求商比较大小=|log(1+x)(1x)|=log1+x(1x)(1x1，而01x1)|loga(1x)|loga(1x)|奇偶性解法一 已知函数的定义域为R，则xRf(x)是奇函数解法二 已知函数的定义域为R=loga1=0f(x)=f(x)，即f(x)为奇函数还是减函数？并证明(2)讨论函数y=loga(ax1)的单调性其中a0，且a1(1)证明 方法一 f(x)在(0，1)上是增函数设任取两个值x1，x2(0，1)，且x1x2(0x1x21，x1x1x2x2x1x2)f(x1)f(x2)故f(x)在(0，1)上是增函数(2)解 由对数函数性质，知ax10，即ax1，于是，当0a1时，函数的定义域为(，0)，当a1时，定义域为(0，)当0a1时，uax1在(，0)上是减函数，而y=logau也是减函数，y=loga(ax1)在(，0)上是增函数当a1时，uax1在(0，)上是增函数，而y=logau也是增函数，yloga(ax1)在(0，)上是增函数综上所述，函数y=loga(ax1)在其定义域上是增函数【例10】 (1)设0a1，实数x、y满足logax3logxalogxy=3，减函数)上是减函数反函数例题解析【例1】求下列函数的反函数：解 (2)y(x1)22，x(，0其值域为y2，)，【例2】求出