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新人教版九年级上册数学 教学设计 2018 12 31 二十一章二十一章 一元二次方程 第第 1 1 课时课时 2 21 1 1 1 一元二次方程一元二次方程 教学内容教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标教学目标 了解一元二次方程的概念 一般式 ax 2 bx c 0 a 0 及其派生的概念 应用一元二次方程概念解决一 些简单题目 1 通过设置问题 建立数学模型 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义 2 一元二次方程的一般形式及其有关概念 3 解决一些概念性的题目 4 通过生活学习数学 并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 重难点关键重难点关键 1 重点 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2 难点关键 通过提出问题 建立一元二次方程的数学模型 再由一元一次方程的概念迁移到一元二 次方程的概念 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 列方程 问题 1 古算趣题 执竿进屋 笨人执竿要进屋 无奈门框拦住竹 横多四尺竖多二 没法急得放声哭 有个邻居聪明者 教他斜竿对两角 笨伯依言试一试 不多不少刚抵足 借问竿长多少数 谁人算出我佩服 如果假设门的高为 x 尺 那么 这个门的宽为 尺 长为 尺 根据题意 得 整理 化简 得 二 探索新知二 探索新知 学生活动 请口答下面问题 1 上面三个方程整理后含有几个未知数 2 按照整式中的多项式的规定 它们最高次数是几次 3 有等号吗 还是与多项式一样只有式子 老师点评 1 都只含一个未知数 x 2 它们的最高次数都是 2 次的 3 都有等号 是方程 因此 像这样的方程两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是像这样的方程两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是 2 2 二次 的 二次 的 方程 叫做一元二次方程 方程 叫做一元二次方程 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形式 ax 2 bx c 0 a 0 这种形 式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax 2 bx c 0 a 0 后 其中 ax2是二次项 a 是二次项系数 bx 是一次 项 b 是一次项系数 c 是常数项 例例 1 1 将方程 3x x 1 5 x 2 化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项系数 一次项系数 及常数项 分析分析 一元二次方程的一般形式是 ax 2 bx c 0 a 0 因此 方程 3x x 1 5 x 2 必须运用整式运算 进行整理 包括去括号 移项等 解 略 注意注意 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项都二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项都包括包括前面的符号前面的符号 例例 2 2 学生活动 请二至三位同学上台演练 将方程 x 1 2 x 2 x 2 1 化成一元二次方程的 一般形式 并写出其中的二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 分析 通过完全平方公式和平方差公式把 x 1 2 x 2 x 2 1 化成 ax2 bx c 0 a 0 的形式 解 略 三 巩固练习三 巩固练习 教材 练习 1 2 补充练习 判断下列方程是否为一元二次方程 1 3x 2 5y 3 2 x 2 4 3 3x2 5 x 0 4 x 2 4 x 2 2 5 ax2 bx c 0 四 应用拓展四 应用拓展 例例 3 3 求证 关于 x 的方程 m 2 8m 17 x2 2mx 1 0 不论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 分析 要证明不论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 只要证明 m 2 8m 17 0 即可 证明 m 2 8m 17 m 4 2 1 m 4 2 0 m 4 2 1 0 即 m 4 2 1 0 不论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 练习 1 方程 2a 4 x 2 2bx a 0 在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件下此方程为 一元一次方程 2 当 m 为何值时 方程 m 1 x 4m 4 27mx 5 0 是关于的一元二次方程 五 归纳小结五 归纳小结 学生总结 老师点评 本节课要掌握 1 一元二次方程的概念 2 一元二次方程的一般形式 ax 2 bx c 0 a 0 和二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项的概念及其它们的运用 六 布置作业六 布置作业 第第 2 2 课时课时 2 21 1 1 1 一元二次一元二次方程方程 教学内容教学内容 1 一元二次方程根的概念 2 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 教学目标教学目标 了解一元二次方程根的概念 会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 提出问题 根据问题列出方程 化为一元二次方程的一般形式 列式求解 由解给出根的概念 再由根的 概念判定一个数是否是根 同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题 重难点关键重难点关键 1 重点 判定一个数是否是方程的根 2 难点关键 由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学独立完成下列问题 问题 1 前面有关 执竿进屋 的问题中 我们列得方程 x 2 8x 20 0 列表 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 2 8x 20 问题 2 前面有关长方形的面积的问题中 我们列得方程 x 2 7x 44 0 即 x2 7x 44 列表 老师点评 略 二 探索新知二 探索新知 提问 1 问题 1 中一元二次方程的解是多少 问题 2 中一元二次方程的解是多少 2 如果抛开实际问题 问题 2 中还有其它解吗 老师点评 1 问题 1 中 x 2 与 x 10 是 x 2 8x 20 0 的解 问题 2 中 x 4 是 x2 7x 44 0 的解 2 如果 抛开实际问题 问题 2 中还有 x 11 的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的根 回过头来看 x 2 8x 20 0 有两个根 一个是 2 另一个是 10 都满足题意 但是 问题 2 中的 x 11 的 根不满足题意 因此 由实际问题列出方程并解得的根 并不一定是实际问题的根 还要考虑这些根是否确 实是实际问题的解 例例 1 1 下面哪些数是方程 2x 2 10 x 12 0 的根 4 3 2 1 0 1 2 3 4 分析 要判定一个数是否是方程的根 只要把其代入等式 使等式两边相等即可 解 将上面的这些数代入后 只有 2和 3满足方程的等式 所以x 2或x 3是一元二次方程2x 2 10 x 12 0 的两根 例例 2 2 若 x 1 是关于 x 的一元二次方程 a x 2 bx c 0 a 0 的一个根 求代数式 2007 a b c 的值 练习 关于 x 的一元二次方程 a 1 x 2 x a 2 1 0 的一个根为 0 则求 a 的值 点拨 如果一个数是方程的根 那么把该数代入方程 一定能使左右两边相等 这种解决问题的思维方法经 常用到 同学们要深刻理解 x 1 2 3 4 5 6 x 2 7x 例例 3 3 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗 1 x 2 64 0 2 3x2 6 0 3 x2 3x 0 分析 要求出方程的根 就是要求出满足等式的数 可用直接观察结合平方根的意义 解 略 三 巩固练习三 巩固练习 教材 思考题 练习 1 2 四四 归纳小结 归纳小结 学生归纳 老师点评 本节课应掌握 1 一元二次方程根的概念 2 要会判断一个数是否是一元二次方程的根 3 要会用一些方法求一元二次方程的根 夹逼 方法 平方根的意义 六 布置作业六 布置作业 1 教材 复习巩固 3 4 综合运用 5 6 7 拓广探索 8 9 2 选用课时作业设计 第第 3 3 课时课时 2 21 1 2 1 2 1 配配方法方法 教学内容教学内容 运用直接开平方法 即根据平方根的意义把一个一元二次方程 降次 转化为两个一元一次方程 教学目标教学目标 理解一元二次方程 降次 转化的数学思想 并能应用它解决一些具体问题 提出问题 列出缺一次项的一元二次方程 ax 2 c 0 根据平方根的意义解出这个方程 然后知识迁移到解 a ex f 2 c 0 型的一元二次方程 重难点关键重难点关键 1 重点 运用开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 领会降次 转化的数学思想 2 难点与关键 通过根据平方根的意义解形如 x 2 n 知识迁移到根据平方根的意义解形如 x m 2 n n 0 的方程 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们完成下列各题 问题 1 填空 1 x 2 8x x 2 2 9x2 12x 3x 2 3 x2 px x 2 问题 1 根据完全平方公式可得 1 16 4 2 4 2 3 2 p 2 2 p 问题 2 目前我们都学过哪些方程 二元怎样转化成一元 一元二次方程于一元一次方程有什么不同 二次如 何转化成一次 怎样降次 以前学过哪些降次的方法 二 探索新知二 探索新知 上面我们已经讲了 x 2 9 根据平方根的意义 直接开平方得 x 3 如果 x 换元为 2t 1 即 2t 1 2 9 能否也用直接开平方的方法求解呢 学生分组讨论 老师点评 回答是肯定的 把 2t 1 变为上面的 x 那么 2t 1 3 即 2t 1 3 2t 1 3 方程的两根为 t1 1 t2 2 例例 1 1 解方程 1 2x 1 2 5 2 x 2 6x 9 2 3 x 2 2x 4 1 分析 很清楚 x 2 4x 4 是一个完全平方公式 那么原方程就转化为 x 2 2 1 解 2 由已知 得 x 3 2 2 直接开平方 得 x 3 2 即 x 3 2 x 3 2 所以 方程的两根 x1 3 2 x2 3 2 例例 2 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m 2提高到 14 4m 求每年人均住房面积增长率 分析 设每年人均住房面积增长率为 x 一年后人均住房面积就应该是 10 10 x 10 1 x 二年后人均 住房面积就应该是 10 1 x 10 1 x x 10 1 x 2 解 设每年人均住房面积增长率为 x 则 10 1 x 2 14 4 1 x 2 1 44 直接开平方 得 1 x 1 2 即 1 x 1 2 1 x 1 2 所以 方程的两根是 x1 0 2 20 x2 2 2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的 因此 x2 2 2 应舍去 所以 每年人均住房面积增长率应为 20 学生小结 老师引导提问 解一元二次方程 它们的共同特点是什么 共同特点 把一个一元二次方程 降次 转化为两个一元一次方程 我们把这种思想称为 降次转化思 想 三 巩固练习三 巩固练习 教材 练习 四 应用拓展四 应用拓展 例例 3 3 某公司一月份营业额为 1 万元 第一季度总营业额为 3 31 万元 求该公司二 三月份营业额平均 增长率是多少 分析 设该公司二 三月份营业额平均增长率为 x 那么二月份的营业额就应该是 1 x 三月份的营 业额是在二月份的基础上再增长的 应是 1 x 2 解 设该公司二 三月份营业额平均增长率为 x 那么 1 1 x 1 x 2 3 31 把 1 x 当成一个数 配方得 1 x 1 2 2 2 56 即 x 3 2 2 2 56 x 3 2 1 6 即 x 3 2 1 6 x 3 2 1 6 方程的根为 x1 10 x2 3 1 因为增长率为正数 所以该公司二 三月份营业额平均增长率为 10 五 归纳小结五 归纳小结 本节课应掌握 由应用直接开平方法解形如 x 2 p p 0 那么 x p转化为应用直接开平方法 解形如 mx n 2 p p 0 那么 mx n p 达到降次转化之目的 若 p 0 则方程无解 六 布置作业六 布置作业 1 教材 复习巩固 1 2 第第 4 4 课时课时 22 2 22 2 1 1 配方法配方法 1 1 教学内容教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程 并能熟练应用它解决一些具体问题 通过复习可直接化成 x 2 p p 0 或 mx n 2 p p 0 的一元二次方程的解法 引入不能直接化成上 面两种形式的解题步骤 重难点关键重难点关键 1 重点 讲清 直接降次有困难 如 x 2 6x 16 0 的一元二次方程的解题步骤 2 难点与关键 不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的 化为 的转化方法与技巧 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 请同学们解下列方程 1 3x 2 1 5 2 4 x 1 2 9 0 3 4x2 16x 16 9 4 4x2 16x 7 老师点评 上面的方程都能化成 x 2 p 或 mx n 2 p p 0 的形式 那么可得 x p或 mx n p p 0 如 4x 2 16x 16 2x 4 2 你能把 4x2 16x 7 化成 2x 4 2 9 吗 二 探索新知二 探索新知 列出下面问题的方程并回答 1 列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢 2 能否直接用上面三个方程的解法呢 问题问题 2 2 要使一块矩形场地的长比宽多 6m 并且面积为 16m 2 场地的长和宽各是多少 1 列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是 前三个左边是含有 x 的完全平方式 而后二个不具有 2 不能 既然不能直接降次解方程 那么 我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程 下面 我们就 来讲如何转化 x 2 6x 16 0 移项 x2 6x 16 两边加 6 2 2使左边配成 x2 2bx b2的形式 x2 6x 32 16 9 左边写成平方形式 x 3 2 25 降次 x 3 5 即 x 3 5 或 x 3 5 解一次方程 x1 2 x2 8 可以验证 x1 2 x2 8 都是方程的根 但场地的宽不能使负值 所以场地的宽为 2m 常为 8m 像上面的解题方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫配方法 像上面的解题方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫配方法 可以看出 配方法是为了降次 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 例例 1 1 用配方法解下列关于 x 的方程 1 x 2 8x 1 0 2 x2 2x 1 2 0 分析 1 显然方程的左边不是一个完全平方式 因此 要按前面的方法化为完全平方式 2 同上 解 略 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P38 讨论改为课堂练习 并说明理由 教材 P39 练习 1 2 1 2 四 应用拓展四 应用拓展 例例 3 3 如图 在 Rt ACB 中 C 90 AC 8m CB 6m 点 P Q 同时由 A B 两点出发分别沿 AC BC 方 向向点 C 匀速移动 它们的速度都是 1m s 几秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 分析 设 x 秒后 PCQ 的面积为 Rt ABC 面积的一半 PCQ 也是直角三角形 根据已知列出等式 解 设 x 秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 根据题意 得 1 2 8 x 6 x 1 2 1 2 8 6 整理 得 x 2 14x 24 0 x 7 2 25 即 x 1 12 x2 2 x1 12 x2 2 都是原方程的根 但 x1 12 不合题意 舍去 所以 2 秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 五 归纳小结五 归纳小结 本节课应掌握 左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式 右边是非负数 可以 直接降次解方程的方程 六 布置作业六 布置作业 1 教材 复习巩固 2 3 1 2 第第 5 5 课时课时 2 21 1 2 2 1 1 配方法配方法 2 2 教学内容教学内容 给出配方法的概念 然后运用配方法解一元二次方程 教学目标教学目标 了解配方法的概念 掌握运用配方法解一元二次方程的步骤 通过复习上一节课的解题方法 给出配方法的概念 然后运用配方法解决一些具体题目 重难点关键重难点关键 1 重点 讲清配方法的解题步骤 2 难点与关键 把常数项移到方程右边后 两边加上的常数是一次项系数一半的平方 B C A Q P 教具 学具准备教具 学具准备 小黑板 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 学生活动 解下列方程 1 x 2 4x 7 0 2 2x2 8x 1 0 老师点评 我们上一节课 已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形式 不可以直接开方降次解方 程的转化问题 那么这两道题也可以用上面的方法进行解题 解 略 2 与 1 有何关联 二 探索新知二 探索新知 讨论 配方法届一元二次方程的一般步骤 1 现将已知方程化为一般形式 2 化二次项系数为 1 3 常数项移到右边 4 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 使左边配成一个完全平方式 5 变形为 x p 2 q 的形式 如果 q 0 方程的根是 x p q 如果 q 0 方程无实根 例例 1 1 解下列方程 1 2x 2 1 3x 2 3x2 6x 4 0 3 1 x 2 2 1 x 4 0 分析 我们已经介绍了配方法 因此 我们解这些方程就可以用配方法来完成 即配一个含有 x 的完全 平方 解 略 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P 练习 2 3 4 5 6 四四 归纳小结 归纳小结 本节课应掌握 1 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤 2 配方法是解一元二次方程的通法 它重要性 不仅仅表现在一元二次方程的解法中 也可通过配方 利用非负数的性质判断代数式的正负性 如例 3 在今后学习二次函数 到高中学习二次曲线时 还将经常用 到 六 布置作业六 布置作业 1 教材 P45 复习巩固 3 3 4 补充 补充 1 1 已知 x 2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 则求 x y z 的值 2 2 求证 求证 无论 x y 取任何实数 多项式 x 2 y2 2x 4y 16 的值总是正数 第第 6 6 课时课时 2 21 1 2 2 2 2 公式法公式法 教学内容教学内容 1 一元二次方程求根公式的推导过程 2 公式法的概念 3 利用公式法解一元二次方程 教学目标教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程 了解公式法的概念 会熟练应用公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程 引入 ax 2 bx c 0 a 0 的求根公式的推导公式 并 应用公式法解一元二次方程 重难点关键重难点关键 1 重点 求根公式的推导和公式法的应用 2 难点与关键 一元二次方程求根公式法的推导 教学过程教学过程 一 一 复习引入复习引入 1 前面我们学习过解一元二次方程的 直接开平方法 比如 方程 1 x 2 4 2 x 2 2 7 提问 1 这种解法的 理论 依据是什么 提问 2 这种解法的局限性是什么 只对那种 平方式等于非负数 的特殊二次方程有效 不能 实施于一般形式的二次方程 2 面对这种局限性 怎么办 使用配方法 把一般形式的二次方程配方成能够 直接开平方 的 形式 学生活动 用配方法解方程 2x 2 3 7x 老师点评 略 总结用配方法解一元二次方程的步骤 学生总结 老师点评 1 现将已知方程化为一般形式 2 化二次项系数为 1 3 常数项移到右边 4 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 使左边配成一个完全平方式 5 变形为 x p 2 q 的形式 如果 q 0 方程的根是 x p q 如果 q 0 方程无实根 二 探索新知二 探索新知 用配方法解方程 1 ax 2 7x 3 0 2 a x2 bx 3 0 3 如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2 bx c 0 a 0 你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根 请同学独立完成下面这个问题 问题问题 已知 ax 2 bx c 0 a 0 试推导它的两个根 x 1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 这个方程 一定有解吗 什么情况下有解 分析 因为前面具体数字已做得很多 我们现在不妨把 a b c 也当成一个具体数字 根据上面的解题 步骤就可以一直推下去 解 移项 得 ax 2 bx c 二次项系数化为 1 得 x 2 b a x c a 配方 得 x 2 b a x 2 b a 2 c a 2 b a 2 即 x 2 b a 2 2 2 4 4 bac a 4a 2 0 4a2 0 当 b2 4ac 0 时 2 2 4 4 bac a 0 x 2 b a 2 2 4 2 bac a 2 直接开平方 得 x 2 b a 2 4 2 bac a 即 x 2 4 2 bbac a x1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 由上可知 一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax 2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入式 子 x 2 4 2 bbac a 就得到方程的根 公式所出现的运算 恰好包括了所学过的六中运算 加 减 乘 除 乘方 开方 这体现了公式的统一性与和谐性 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有两个实数根 例例 1 1 用公式法解下列方程 1 2x 2 x 1 0 2 x2 1 5 3x 3 x2 2x 1 2 0 4 4x 2 3x 2 0 分析 用公式法解一元二次方程 首先应把它化为一般形式 然后代入公式即可 补 5 x 2 3x 5 0 三 巩固练习三 巩固练习 教材 P42 练习 1 1 3 5 或 2 4 6 四 应用拓展四 应用拓展 例例 2 2 某数学兴趣小组对关于 x 的方程 m 1 2 2m x m 2 x 1 0 提出了下列问题 1 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 求出 m 并解此方程 2 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 请求出 你能解决这个问题吗 分析分析 能 1 要使它为一元二次方程 必须满足 m 2 1 2 同时还要满足 m 1 0 2 要使它为一元一次方程 必须满足 2 11 1 2 0 m mm 或 2 10 20 m m 或 10 20 m m 五 归纳小结五 归纳小结 本节课应掌握 1 求根公式的概念及其推导过程 2 公式法的概念 3 应用公式法解一元二次方程的步骤 1 将所给的方程变成一般形式 注意移项要变号 尽量让 a 0 2 找出系数 a b c 注意各项的系数包括符号 3 计算 b 2 4ac 若结果为负数 方程无解 4 若结果为非负数 代入求根公式 算出结果 4 初步了解一元二次方程根的情况 六 布置作业六 布置作业 教材 复习巩固 4 第第 7 7 课时课时 21 2 4 21 2 4 判别一元二次方程根的判别一元二次方程根的情况情况 教学内容教学内容 用 b 2 4ac 大于 等于 0 小于 0 判别 ax2 bx c 0 a 0 的根的情况及其运用 教学目标教学目标 掌握 b 2 4ac 0 ax2 bx c 0 a 0 有两个不等的实根 反之也成立 b2 4ac 0 ax2 bx c 0 a 0 有 两个相等的实数根 反之也成立 b 2 4ac0 b2 4ac 0 b2 4ac0 一元二次方程有两个不相等的实根 b2 4ac 0 一元二次方程有两个相等的实数 b 2 4ac0 有两个不相等的实根 2 b2 4ac 12 12 0 有两个相等的实根 3 b 2 4ac 4 4 1 0 0 时 根据平方根的意义 2 4bac 等于一个具体数 所以 一元一次方程的 x1 2 4 2 bbac a x1 2 4 2 bbac a 即有两个不相等的实根 当 b 2 4ac 0 时 根据 平方根的意义 2 4bac 0 所以 x1 x2 2 b a 即有两个相等的实根 当 b 2 4ac0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等实数根即 x 1 2 4 2 bbac a x2 2 4 2 bbac a 2 当 b 4ac 0 时 一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 有两个相等实数根即 x 1 x2 2 b a 3 当 b 2 4ac 0 时 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 例例 1 1 不解方程 判定方程根的情况 1 16x 2 8x 3 2 9x2 6x 1 0 3 2x 2 9x 8 0 4 x2 7x 18 0 分析 不解方程 判定根的情况 只需用 b 2 4ac 的值大于 0 小于 0 等于 0 的情况进行分析即可 解 1 化为 16x 2 8x 3 0 这里 a 16 b 8 c 3 b 2 4ac 64 4 16 3 1280 的解集 用含 a 的式子表 示 分析 要求 ax 3 0 的解集 就是求 ax 3 的解集 那么就转化为要判定 a 的值是正 负或 0 因为一元 二次方程 a 2 x 2 2ax a 1 0 没有实数根 即 2a 2 4 a 2 a 1 0 一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实根 b2 4ac 0 一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 有两个相等的实根 b2 4ac0 时 抛物线 y ax 2开口 在对称轴的左边 曲线自左向右 在 对称轴的右边 曲线自左向右 是抛物线上位置最低的点 图象的这些特点反映了函数的什么性质 先让学生观察下图 回答以下问题 1 XA XB大小关系如何 是否都小于 0 2 yA yB大小关系如何 3 XC XD大小关系如何 是否都大于 0 4 yC yD大小关系如何 XA XB 且 XA 0 XByB XC0 XD 0 yC yD 其次 让学生填空 当 XO 时 函数值 y 随 X 的增大而 当 X 时 函数值 y ax 2 a 0 取得 最小值 最小值 y 以上结论就是当 a 0 时 函数 y ax 2的性质 思考以下问题 观察函数 y x 2 y 2x2的图象 试作出类似的概括 当 a O 时 抛物线 y ax2有 些什么特点 它反映了当 a O 时 函数 y ax 2具有哪些性质 让学生讨论 交流 达成共识 当 a O 时 抛物线 y ax 2开口向上 在对称轴的左 边 曲线自左向右上升 在对称轴的右边 曲线自左向右下降 顶点抛物线上位置 最高的点 图象的这些特点 反映了当 a O 时 函数 y ax 2的性质 当 xO 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 函 数值 y ax 2取得最大值 最大值是 y 0 作业作业 设计设计 必做必做 教科书 P14 3 4 教学教学 反思反思 教学时间教学时间 课题课题 22 1 二次函数 3 课型课型 新授 课 教教 学学 目目 标标 知知 识识 和和 能能 力力 使学生能利用描点法正确作出函数 y ax 2 b 的图象 过过 程程 和和 方方 法法 让学生经历二次函数 y ax 2 bx c 性质探究的过程 理解二次函数 y ax2 b 的性 质及它与函数 y ax 2的关系 情情 感感 态态 度度 价值观价值观 师生互动 学生动手操作 体验成功的喜悦 教学重点教学重点 会用描点法画出二次函数 y ax 2 b 的图象 理解二次函数 y ax2 b 的性质 理解 函数 y ax 2 b 与函数 y ax2的相互关系 教学难点教学难点 正确理解二次函数 y ax 2 b 的性质 理解抛物线 y ax2 b 与抛物线 y ax2的关 系 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计 设计意图设计意图 一 提出问题一 提出问题 1 二次函数 y 2x 2的图象是 它的开口向 顶点坐标是 对称轴是 在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大 而 函数 y ax 2与 x 时 取最 值 其最 值是 2 二次函数 y 2x 2 1 的图象与二次函数 y 2x2的图象开口方向 对称轴和顶 点坐标是否相同 二 分析问题 解决问题二 分析问题 解决问题 问题 1 对于前面提出的第 2 个问题 你将采取什么方法加以研究 画出函数 y 2x 2和函数 y 2x2的图象 并加以比较 问题 2 你能在同一直角坐标系中 画出函数 y 2x 2与 y 2x2 1 的图象吗 教学要点 1 先让学生回顾二次函数画图的三个步骤 按照画图步骤画出函数 y 2x 2 的图 象 2 教师说明为什么两个函数自变量 x 可以取同一数值 为什么不必单独列出函 数 y 2x 2 1 的对应值表 并让学生画出函数 y 2x2 1 的图象 3 教师写出解题过程 同学生所画图象进行比较 解 1 列表 x 3 2 1 0 1 2 3 y x 2 18 8 2 0 2 8 18 y x 2 1 19 9 3 l 3 9 19 2 描点 用表里各组对应值作为点的坐标 在平面直角坐标系中描点 3 连线 用光滑曲线顺次连接各点 得到函数 y 2x 2和 y 2x2 1 的图象 图象略 问题 3 当自变量 x 取同一数值时 这两个函数的函数值之间有什么关系 反映 在图象上 相应的两个点之间的位置又有什么关系 教师引导学生观察上表 当 x 依次取 3 2 1 0 1 2 3 时 两个函数 的函数值 之间有什么关系 由此让学生归纳得到 当自变量 x 取同一数值时 函数 y 2x2 1 的函数值都比函数 y 2x 2的函数值大 1 教师引导学生观察函数 y 2x 2 1 和 y 2x2的图象 先研究点 1 2 和点 1 3 点 0 0 和点 0 1 点 1 2 和点 1 3 位置关系 让学生归纳得到 反 映在图象上 函数 y 2x2 1 的图象上的点都是由函数 y 2x2 的图象上的相应点向 上移动了一个单位 问题 4 函数 y 2x 2 1 和 y 2x2的图象有什么联系 由问题 3 的探索 可以得到结论 函数 y 2x 2 1 的图象可以看成是将函数 y 2x 2的图象向上平移一个单位得到的 问题 5 现在你能回答前面提出的第 2 个问题了吗 让学生观察两个函数图象 说出函数 y 2x 2 1 与 y 2x2 的图象开口方向 对 称轴相同 但顶点坐标不同 函数 y 2x2 的图象的顶点坐标是 0 0 而函数 y 2x 2 1 的图象的顶点坐标是 0 1 问题 6 你能由函数 y 2x 2的性质 得到函数 y 2x2 1 的一些性质吗 完成填空 当 x 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x 时 函数值 y 随 x 的增 大而增大 当 x 时 函数取得最 值 最 值 y 以上就是函数 y 2x 2 1 的性质 三 做一做三 做一做 问题 7 先在同一直角坐标系中画出函数 y 2x 2 2 与函数 y 2x2 的图象 再作比 较 说说它们有什么联系和区别 教学要点 1 在学生画函数图象的同时 教师巡视指导 2 让学生发表意见 归纳为 函数 y 2x 2 2 与函数 y 2x2的图象的开口方向 对称轴相同 但顶点坐标不同 函数 y 2x 2 2 的图象可以看成是将函数 y 2x2 的 图象向下平移两个单位得到的 问题 8 你能说出函数 y 2x 2 2 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 以及 这个函数的性质吗 教学要点 1 让学生口答 函数 y 2x 2 2 的图象的开口向上 对称轴为 y 轴 顶点坐标 是 0 2 2 分组讨论这个函数的性质 各组选派一名代表发言 达成共识 当 x 0 时 函数 值 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 函 数取得 最小值 最小值 y 2 问题 9 在同一直角坐标系中 函数 y 1 3x 2 2 图象与函数 y 1 3x 2的图象有 什么关系 要求学生能够画出函数 y 1 3x 2 与函数 y 1 3x 2 2 的草图 由草图观察得出 结论 函数 y 1 31 3x 2 2 的图象与函数 y 1 3x 2的图象的开口方向 对称轴相同 但顶点坐标不同 函数 y 1 3x 2 2 的图象可以看成将函数 y 1 3x 2 的图象向上平 移两个单位得到的 问题 10 你能说出函数 y 1 3x 2 2 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标吗 函数 y 1 3x 2 2 的图象的开口向下 对称轴为 y 轴 顶点坐标是 0 2 问题 11 这个函数图象有哪些性质 让学生观察函数 y 1 3x 2 2 的图象得出性质 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增 大而增大 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 函数取得最大值 最大值 y 2 四 练习 四 练习 P7 练习 五 小结五 小结 1 在同一直角坐标系中 函数 y ax 2 k 的图象与函数 y ax2的图象具有什么 关系 2 你能说出函数 y ax 2 k 具有哪些性质 作业作业 设计设计 必做必做 教科书 P14 5 1 教学教学 反思反思 教学时间教学时间 课题课题 22 1 二次函数 4 课型课型 新授 课 教教 学学 目目 标标 知知 识识 和和 能能 力力 1 使学生能利用描点法画出二次函数 y a x h 2的图象 过过 程程 和和 方方 法法 让学生经历二次函数 y a x h 2性质探究的过程 理解函数 y a x h 2的性质 理解二次函数 y a x h 2的图象与二次函数 y ax2的图象的关系 情情 感感 态态 度度 价值观价值观 教学重点教学重点 会用描点法画出二次函数 y a x h 2的图象 理解二次函数 y a x h 2的性质 理解二次函数 y a x h 2的图象与二次函数 y ax2的图象的关系 教学难点教学难点 理解二次函数 y a x h 2的性质 理解二次函数 y a x h 2的图象与二次函数 y ax 2的图象的相互关系 教学准备教学准备 教师教师 多媒体课件 学生学生 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计 设计意图设计意图 一 提出问题一 提出问题 1 在同一直角坐标系内 画出二次函数 y 1 2x 2 y 1 2x 2 1 的图象 并回答 1 两条抛物线的位置关系 2 分别说出它们的对称轴 开口方向和顶点坐标 3 说出它们所具有的公共性质 2 二次函数 y 2 x 1 2的图象与二次函数 y 2x2的图象的开口方向 对称轴以 及顶点坐标相同吗 这两个函数的图象之间有什么关系 二 分析问题 解决问题二 分析问题 解决问题 问题 1 你将用什么方法来研究上面提出的问题 画出二次函数 y 2 x 1 2和二次函数 y 2x2的图象 并加以观察 问题 2 你能在同一直角坐标系中 画出二次函数 y 2x 2与 y 2 x 1 2的图象吗 教学要点 1 让学生完成列表 2 让学生在直角坐标系中画出图来 3 教师巡视 指导 问题 3 现在你能回答前面提出的问题吗 教学要点 1 教师引导学生观察画出的两个函数图象 根据所画出的图象 完成以下填空 2 让学生分组讨论 交流合作 各组选派代表发表意见 达成共识 函数 y 2 x 1 2与 y 2x2的图象 开口方向相同 对称轴和顶点坐标不同 函数 y 2 x 一 1 2的图象可以看作是函数 y 2x2的图象向右平移 1 个单位得到的 它的对称轴是直 线 x 1 顶点坐标是 1 0 问题 4 你可以由函数 y 2x 2的性质 得到函数 y 2 x 1 2的性质吗 教学要点 1 教师引导学生回顾二次函数 y 2x 2的性质 并观察二次函数 y 2 x 1 2的图象 2 让学生完成以下填空 当 x 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x 时 函数值 y 随 x 的增 开口方向 对称轴 顶点坐标 y 2x 2 y 2 x 1 2 大而增大 当 x 时 函数取得最 值 y 三 做一做三 做一做 问题 5 你能在同一直角坐标系中画出函数 y 2 x 1 2与函数 y 2x2的图象 并比 较它们的联系和区别吗 教学要点 1 在学生画函数图象的同时 教师巡视 指导 2 请两位同学上台板演 教师讲评 3 让学生发表不同的意见 归结为 函数 y 2 x 1 2与函数 y 2x2的图象开 口方向相同 但顶点坐标和对称轴不同 函数 y 2 x 1 2的图象可以看作是将函数 y 2x2 的图象向左平移 1 个单位得到的 它的对称轴是直线 x 1 顶点坐标是 1 0 问题 6 你能由函数 y 2x2 的性质 得到函数 y 2 x 1 2的性质吗 教学要点 让学生讨论 交流 举手发言 达成共识 当 x 1 时 函数值 y 随 x 的增大 而减小 当 x 1 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 当 x 一 1 时 函数取得最小 值 最小值 y 0 问题 7 函数 y 1 3 x 2 2图象与函数 y 1 3x 2的图象有何关系 问题 8 你能说出函数 y 1 3 x 2 2图象的开口方向 对称轴和顶点坐标吗 问题 9 你能得到函数 y 1 3 x 2 2的性质吗 教学要点 让学生讨论 交流 发表意见 归结为 当 x 2 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 当 x 2 时 函数值 y 随工的增大而减小 当 x 2 时 函数取得最大值 最大 值 y 0 四 课堂练习 四 课堂练习 P8 练习 五 小结 五 小结 1 在同一直角坐标系中 函数 y a x h 2的图象与函数 y ax2的图象有什么联系 和区别 2 你能说出函数 y a x h 2图象的性质吗 3 谈谈本节课的收获和体会 作业作业 设计设计 必做必做 教科书 P14 5 2 教学教学 反思反思 教学时间教学时间 课题课题 23 1 二次函数 5 课型课型 新授 课 教教 学学 目目 标标 知知 识识 和和 能能 力力 1 使学生理解函数 y a x h 2 k 的图象与函数 y ax2的图象之间的关系 2 会确定函数 y a x h 2 k 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 过过 程程 和和 方方 法法 让学生经历函数 y a x h 2 k 性质的探索过程 理解函数 y a x h 2 k 的性质 教学重点教学重点 确定函数 y a x h 2 k 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 理解函数 y a x h 2 k 的图象与函数 y ax2的图象之间的关系 理解函数 y a x h 2 k 的性质 教学难点教学难点 正确理解函数y a x h 2 k的图象与函数y ax2的图象之间的关系以及函数y a x h 2 k 的性质 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计 设计意图设计意图 一 提出问题一 提出问题 1 函数 y 2x 2 1 的图象与函数 y 2x2的图象有什么关系 函数 y 2x 2 1 的图象可以看成是将函数 y 2x2的图象向上平移一个单位得到的 2 函数 y 2 x 1 2的图象与函数 y 2x2的 图象有什么关系 函数 y 2 x 1 2的图象可以看成是将函数 y 2x2的图象向右平移 1 个单位得到 的 见 P10 图 23 2 3 3 函数 y 2 x 1 2 1 图象与函数 y 2 x 1 2图象有什么关系 函数 y 2 x 1 2 1 有哪些性质 二 试一试二 试一试 你能填写下表吗 y 2x 2 向右平 移 的图象 1 个单 位 y 2 x 1 2 向上平移 1 个单位 y 2 x 1 2 1 的图象 开 口 方 向 向上 对称轴 y 轴 顶 点 0 0 问题 2 从上表中 你能分别找到函数 y 2 x 1 2 1 与函数 y 2 x 1 2 y 2x2图 象的关系吗 问题 3 你能发现函数 y 2 x 1 2 1 有哪些性质 对于问题 2 和问题 3 教师可组织学生分组讨论 互相交流 让各组代表发言 达成共识 函数 y 2 x 1 2 1 的图象可以看成是将函数 y 2 x 1 2的图象向上平称 1 个 单位得到的 也可以看成是将函数 y 2x 2的图象向右平移 1 个单位再向上平移 1 个单 位得到的 当 x 1 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 当 x 1 时 函数值 y 随 x 的增大而 增大 当 x 1 时 函数取得最小值 最小值 y 1 三 做一做三 做一做 问题 4 在图 23 2 3 中 你能再画出函数 y 2 x 1 2 2 的图象 并将它与函数 y 2 x 1 2的图象作比较吗 教学要点 1 在学生画函数图象时 教师巡视指导 2 对 比较 两字做出解释 然后让学生进行比较 问题 5 你能说出函数 y 1 3 x 1 2 2 的图象与函数 y 1 3x 2的图象的关系 由此进一步说出这个函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标吗 函数 y 1 3 x 1 2 2 的图象可以看成是将函数 y 1 3x 2的图象向右平移一个 单位再向上平移 2 个单位得到的 其开口向下 对称轴为直线 x 1 顶点坐标是 1 2 四 四 课堂练习 课堂练习 P10 练习 五 小结五 小结 1 通过本节课的学习 你学到了哪些知识 还存在什么困惑 2 谈谈你的学习体会 作业作业 设计设计 必做必做 教科书 P14 5 3 教学教学 反思反思 教学时间教学时间 课题课题 22 1 二次函数 6 课型课型 新授 课 教教 学学 目目 标标 知知 识识 和和 能能 力力 1 使学生掌握用描点法画出函数 y ax 2 bx c 的图象 2 使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 过过 程程 和和 方方 法法 让学生经历探索二次函数 y ax 2 bx c 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标以 及性质的过程 理解二次函数 y ax 2 bx c 的性质 情情 感感 态态 度度 价值观价值观 教学重点教学重点 用描点法画出二次函数 y ax 2 bx c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴 顶 点坐标 教学难点教学难点 理解二次函数 y ax 2 bx c a 0 的性质以及它的对称轴 顶点坐标分别是 x b 2a b 2a 4ac b 2 4a 教学准备教学准备 教师教师 多媒体课件 学生学生 五个一 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计 设计意图设计意图 一 提出问题一 提出问题 1 你能说出函数 y 4 x 2 2 1 图象的开口方向 对称轴和顶点坐标吗 函数 y 4 x 2 2 1 图象的开口向下 对称轴为直线 x 2 顶点坐标是 2 1 2 函数 y 4 x 2 2 1 图象与函数 y 4x2的图象有什么关系 函数 y 4 x 2 2 1 的图象可以看成是将函数 y 4x2 的图象向右平移 2 个单位再向上平移 1 个单位得到的 3 函数 y 4 x 2 2 1 具有哪些性质 当 x 2 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 当 x 2 时 函数值 y 随 x 的增大而 减小 当 x 2 时 函数取得最大值 最大值 y 1 4 不画出图象 你能直接说出函数 y 1 2x 2 x 5 2的图象的开口方向 对称轴 和顶点坐标吗 w 因为 y 1