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常数项级数 一 常数项级数的概念 性质与收敛原理 二 正项级数的审敛准则 三 变号级数的审敛准则 第一节 第四章 第四章无穷级数 引例1 小球从1米高处自由落下 每次跳起的高度减 少一半 问小球是否会在某时刻停止运动 说明道理 由自由落体运动方程 知 则小球运动的时间为 设tk表示第k次小球落地的时间 一 常数项级数的概念 性质与收敛原理 定义 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数 其中第n项 叫做级数的一般项 级数的前n项和 称为级数的部分和 次相加 简记为 收敛 则称无穷级数 并称S为级数的和 记作 当级数收敛时 称差值 为级数的余项 则称无穷级数发散 显然 级数收敛的收敛性与发散性统称为级数的敛散性 例1 讨论等比级数 又称几何级数 q称为公比 的敛散性 解 1 若 从而 因此级数收敛 从而 则部分和 因此级数发散 其和为 2 若 因此级数发散 因此 n为奇数 n为偶数 从而 综合1 2 可知 时 等比级数收敛 时 等比级数发散 则 级数成为 不存在 因此级数发散 对于引例1所讨论的问题 则小球运动的时间为 例2 判别下列级数的敛散性 解 1 所以级数 1 发散 技巧 利用 拆项相消 求和 2 所以级数 2 收敛 其和为1 技巧 利用 拆项相消 求和 判别级数敛散性的实质是判别级数部分和数列的敛散性 求级数的和实质上是求部分和数列的极限 因此将级数的问题转化为数列的相应问题 是研究级数的一个基本思想 例3 调和级数 是发散的 事实上 假设调和级数的部分和数列Sn收敛于S 则 但 矛盾 所以假设不真 无穷级数的基本性质 性质1 若级数 收敛于S 则各项 乘以常数c所得级数 也收敛 证 令 则 这说明 收敛 其和为cS 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 即 其和为cS 性质2 设有两个收敛级数 则级数 也收敛 其和为 证 令 则 这说明级数 也收敛 其和为 说明 2 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若二级数都发散 不一定发散 例如 1 性质2表明收敛级数可逐项相加或减 用反证法可证 性质3 在级数前面加上或去掉有限项 不会影响级数 的敛散性 证 将级数 的前k项去掉 的部分和为 数敛散性相同 当级数收敛时 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 极限状况相同 故新旧两级 所得新级数 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 证 设收敛级数 若按某一规律加括弧 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列 推论 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 但 发散 因此必有 例如 用反证法可证 例如 例4 判断级数的敛散性 解 考虑加括号后的级数 发散 从而原级数发散 级数收敛的必要条件 设收敛级数 则必有 证 可见 若级数的一般项不趋于0 则级数必发散 例如 其一般项为 不趋于0 因此这个级数发散 注意 并非级数收敛的充分条件 例如 调和级数 虽然 但此级数发散 例5 判断级数的敛散性 解 令 则 故 从而 这说明级数 1 发散 与数列类似 对于级数要研究两个基本问题 一是它的收敛性 二是若收敛 如何求其和 第二个问题比较困难 但第一个问题更重要 的充要条件是 柯西审敛原理 定理 有 证 设所给级数部分和数列为 因为 所以 利用数列 的柯西审敛原理 第一章 第2节 即得本定理的结论 例6 解 有 利用柯西审敛原理判别级数 当n N时 都有 由柯西审敛原理可知 级数 二 正项级数及其审敛准则 若 定理1 正项级数 收敛 部分和序列 有界 若 收敛 部分和数列 有界 故 从而 又已知 故有界 则称 为正项级数 单调递增 收敛 也收敛 都有 定理2 比较准则1 设 且存在 对一切 有 1 若强级数 则弱级数 2 若弱级数 则强级数 证 设对一切 则有 收敛 也收敛 发散 也发散 分别表示弱级数和强级数的部分和 则有 是两个正项级数 常数k 0 因在级数前加 减有限项不改变其敛散性 故不妨 1 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理1可知 则有 2 若弱级数 因此 这说明强级数 也发散 也收敛 发散 收敛 弱级数 例1 讨论p级数 常数p 0 的敛散性 解 1 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知p级数 发散 发散 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 由比较审敛法知p级数收敛 时 2 若 调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在 对一切 证明级数 发散 证 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知 所给级数发散 例2 定理3 比较准则2 则有 两个级数同时收敛或发散 2 当l 0 3 当l 证 据极限定义 设两正项级数 满足 1 当0 l 时 由定理2可知 同时收敛或同时发散 3 当l 时 即 由定理2可知 若 发散 1 当0 l 时 2 当l 0时 由定理2知 收敛 若 是两个正项级数 1 当时 两个级数同时收敛或发散 特别取 可得如下结论 对正项级数 2 当且收敛时 3 当且发散时 也收敛 也发散 用比较准则来判别级数的敛散性 关键在于选择敛散性已知的级数作为比较级数 怎样选择比较级数呢 如果级数的通项 不收敛于0 那么该级数必发散 如果 即 是无穷小量 那么 的无穷小阶数来选择比较级数 通过分析 例3 讨论下列级数的敛散性 定理4 积分准则 设 为一正项级数 若存在一 个单调递减的非负连续函数 则级数 与无穷积分 具有相同的敛散性 从而有 故 由此可知 与无穷积分 具有相同的敛散性 例 讨论级数 的敛散性 无论是比较准则 还是积分准则 在使用时都必须借助于敛散性已知的级数或广义积分 因此很不方便 有时甚至非常困难 下面介绍的另外两个审敛准则 它们都是利用给定级数自身的条件来判断级数敛散性 定理5 比值审敛法 D Alembert判别法 设 为正项级数 且 则 1 当 2 当 证 1 收敛 时 级数收敛 或 时 级数发散 由比较审敛法可知 因此 所以级数发散 时 2 当 说明 当 时 级数可能收敛也可能发散 例如 p 级数 但 级数收敛 级数发散 从而 例5 讨论级数 的敛散性 解 根据定理4可知 级数收敛 级数发散 对任意给定的正数 定理6 根值审敛法 Cauchy判别法 设 为正项级 则 证明提示 即 分别利用上述不等式的左 右部分 可推出结论正确 数 且 时 级数可能收敛也可能发散 例如 p 级数 说明 但 级数收敛 级数发散 例6 证明级数 收敛于S 似代替和S时所产生的误差 解 由定理6可知该级数收敛 令 则所求误差为 并估计以部分和Sn近 例7 用适当的方法判定下列正项级数的敛散性 注 由于对负项级数的每一项都乘以 1就变成正项级数 因此 正项级数的所有审敛准则都可用于负项级数 正项级数与负项级数统称为同号级数 三 变号级数及其审敛准则 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 定理6 Leibnitz判别法 若交错级数满足条件 则级数 收敛 且其和 其余项满足 证 是单调递增有界数列 又 故级数收敛于S 且 故 收敛 收敛 用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 发散 收敛 收敛 利用Leibnitz准则不能解决所有交错级数的审敛问题 更不能判别更一般的变号级数的敛散性 判别变号级数的一个常用方法是下面的所谓绝对收敛准则 绝对收敛与条件收敛 定义 对任意项级数 若 若原级数收敛 但取绝对值以后的级数发散 则称原级 收敛 数 为条件收敛 均为绝对收敛 例如 绝对收敛 则称原级 数 条件收敛 定理7 绝对收敛的级数一定收敛 证 设 根据正项级数的比较审敛法 显然 收敛 收敛 也收敛 且 收敛 令 例7 证明下列级数绝对收敛 证 1 而 收敛 收敛 因此 绝对收敛 2 令 因此 收敛 绝对收敛 P274 例1 12例1 13 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质 定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和 说明 定理9 绝对收敛级数的乘法 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛 设级数 与 都绝对收敛 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质 内容小结 1 利用部分和数列的极限判别级