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函数零点 问题情境 引例 3 两者之间有何关系 1 求方程的根 2 求函数与x轴交点的坐标 x1 1 x2 3 1 0 3 0 学生活动 方程 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 y x2 2x 1 函数 方程的实数根 x1 1 x2 3 x1 x2 1 无实数根 函数的图象与x轴的交点 1 0 3 0 1 0 无交点 x2 2x 3 0 x y 0 1 3 y x2 2x 3 y x 0 1 x y 0 一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点的横坐标 函数的图像 方程的实数根 对于一般地一元二次方程与对应的二次函数 上述结论是否仍然成立 方程 函数 x1 x2 x1 x2 无实数根 函数的图象与x轴的交点 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 x y 0 x1 x2 y x 0 x y 0 x1 函数的图像 探究活动一 ax2 bx c 0 a 0 y ax2 bx c a 0 思考 对于一般的函数y f x 与方程f x 0是否也有上述的结论成立呢 方程 0 0 0 2 5 1函数的零点 数学建构 一般地 我们把使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的零点 函数y f x 有零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与x轴有交点 实数x 零点 例1 求下列函数的零点 数学运用 1 f x 2x 3 2 f x 3 x 1 3 f x x2 2x 1 x y 0 1 3 2 1 在区间 1 3 上有 f 1 0 f 0 0 f 1 0 f 2 0 f 3 0 结合函数的零点 试猜想有何规律 探究活动二 函数在区间端点上的函数值的符号情况 与函数零点是否存在某种关系 思考 观察函数f x 的图象 0 y x a b c d 在区间 c d 上 零点 f c f d 0 在区间 a b 上 零点 f a f b 0 在区间 b c 上 零点 f b f c 0 有 有 有 一般地 若函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条不间断的曲线 且f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 上有零点 函数零点存在性定理 1 若f a f b 0 则函数y f x 在区间 a b 内有零点 2 若函数y f x 在区间 a b 内有零点 f a f b 0 判断下列命题的真假 3 若f a f b 0 函数y f x 在区间 a b 内只有一个零点 数学建构 不间断的 有 数学运用 例2 求证 函数f x x3 x2 1在区间 2 1 上存在零点 证明 因为f 2 2 3 2 2 1 3 0f 1 1 3 1 2 1 1 0且函数f x 的图象在区间 2 1 上的图象是不间断的 所以函数f x 在区间 2 1 上存在零点 小结反思 1 数学知识 函数零点的定义函数零点的存在性定理 2 思想方法 数形结合 猜想 3 拓展延伸 你能利用本节课所学知识
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