江苏省连云港市田家炳中学高三数学 212节函数模型与应用复习课件.ppt

第十二节函数模型与应用 基础梳理 常用的几种函数模型 blogax c a 0且a 1 ax b a 0 ax2 bx c a 0 bax c a 0且a 1 基础达标 1 在函数 y ex y 100lnx y x100 y 100 2x中 随x增大而增长速度最快的是 2 据调查 某自行车寄存处在某星期天的存车量为4000辆次 其中变速车存车费是每辆一次0 3元 普通车存车费是每辆一次0 2元 若普通车存车数为x辆次 存车费总收入为y元 则y关于x的函数关系式为 解析 y 0 2x 0 3 4000 x 0 1x 1200 x 0 4000 且x n y 0 1x 1200 x 0 4000 且x n 3 某种商品降价10 后 欲恢复原价 则应提价 解析 设原价为a 应提价x a 1 10 1 x a x 11 11 11 11 4 设甲 乙两地的距离为a a 0 小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟 在乙地休息10分钟后 他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟 则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 解析 y表示全路程 故全路程y最后为2a 排除 在乙地休息10分钟 说明该时间段内y不变 停止于乙地 因此选 看图象时一定要关注每时刻的实际含义 5 某商店将原价每台2640元的彩电以9折出售后仍获利20 则彩电每台进价为 解析 设进价为a 则2640 90 a 20 a 解得a 1980 1980元 经典例题 题型一一次函数与分段函数模型 例1 电信局为了配合客户不同需要 设有a b两种优惠方案 这两种方案应付话费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 注 图中mn cd 试问 1 若通话时间为2小时 按方案a b各付话费多少元 2 方案b从500分钟以后 每分钟收费多少元 3 通话时间在什么范围内 方案b才会比方案a优惠 分析 由图可知 两种方案都因时间段的不同导致收费不同 因此 需分段列式 解 由图可知 两种方案都是由线性函数组成的分段函数 不妨用待定系数法 结合图形 先求出函数解析式 再根据题意解题 由图知m 60 98 n 500 230 c 500 168 mn cd 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fa x fb x 则 变式1 1南京市有甲 乙两家乒乓球俱乐部 两家设备和服务都很好 但收费方式不同 甲俱乐部每张球台每小时5元 乙俱乐部按月计费 一个月中30小时以内 含30小时 收费90元 超过30小时的部分每张球台每小时2元 小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动 其活动时间不少于15小时 也不超过40小时 1 设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f x 元 15 x 40 在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g x 元 15 x 40 试求f x 和g x 2 你认为小张选择哪家俱乐部比较合算 请说明理由 解析 1 f x 5x 15 x 40 2 若15 x 30 令5x 90 解得x 18 即当15 xg x 若3030 2x恒成立 即f x g x 恒成立 综上所述 当15 x 18时 小张选甲俱乐部比较合算 当x 18时 两家一样合算 当18 x 40时 小张选乙俱乐部比较合算 题型二二次函数模型 例2 2008年北京奥运会中国跳水队取得了辉煌的成绩 据科学测算 跳水运动员进行10m跳台跳水训练时 身体 看成一点 在空中的运动轨迹 如图所示 是一经过坐标原点的抛物线 图中标出数字为已知条件 且在跳某个规定动作时 正常情况下运动员在空中的最高点距水面m 入水处距池边4m 同时运动员在距水面5m或5m以上时 必须完成规定的翻腾运动 并调整好入水姿势 否则就会出现失误 1 求抛物线的解析式 2 在某次试跳中 测得运动员在空中的运动轨迹为 1 中的抛物线 且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为m 问此时跳水会不会失误 请通过计算说明理由 3 某运动员按 1 中抛物线运行 要使得此次跳水成功 他在空中调整好入水姿势 距池边的水平距离至多应为多大 分析 设出函数表达式 代入点的坐标计算 求出距离 进行判断 解 1 由已知可设抛物线方程为y a x h 2 其中a0 又抛物线过点 0 0 和 2 10 代入解得a h 所以解析式为 2 当运动员在空中距池边的水平距离为3m时 即当x 3 2 时 所以此时运动员距水面距离为10 5 故此次跳水会出现失误 3 要使得某次跳水成功 必须10 y 5 即y 5 亦即 解不等式得 所以运动员此时距池边的水平距离最大为m 变式2 1 2011启东中学期中考试 为了加强对烟酒生产的宏观管理 实行征收附加税政策 已知某种酒每瓶60元 在不加收附加税时 每年大约销售90万瓶 若政府征收附加税 每销售100元要征收r元 叫做税率r 则每年的销售量将减少mr m 0 万瓶 据测算税率为6 时 征收的附加税为108万元 设此项经营中所收取的附加税为y 1 求y f r 的表达式 2 当y 120 万元 时 试问税率r 应控制在什么范围内 解析 1 若征收附加税 则每年的销售量为90 mr万瓶 此时征收的附加税总额为 90 mr 60 r 万元 当r 6时 90 mr 60 r 108 解得m 10 y 6r2 54r r 0 2 由题意得 6r2 54r 120 r2 9r 20 0 4 r 5 税率r 应控制在 4 5 内 题型三指数函数模型 例3 某城市现有人口总数为100万人 如果年自然增长率为1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市人口总数y 万人 与年份x 年 的函数关系式 2 计算10年以后该城市的人口总数 精确0 1万人 3 计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 精确到1年 1 01210 1 127 1 01215 1 196 1 01216 1 210 分析 先列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系 观察其规律 总结出y与x的函数关系 解 1 1年后该城市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 1 1 2 100 1 1 2 3 x年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 x x n 2 10年后人口总数为y 100 1 1 2 10 112 7 万 3 设x年后该城市人口将达到120万人 即100 1 1 2 x 120 x log1 0121 20 15 28 年 因此 大约16年以后该城市人口将达到120万人 变式3 1一种放射性元素 最初的质量为500g 按每年10 衰减 1 求t年后 这种放射性元素质量的表达式 2 求这种放射性元素的半衰期 精确到0 1年 解析 1 最初的质量为500g 经过1年 y 500 1 10 500 0 91 经过2年 y 500 1 10 2 500 0 92 经过t年 y 500 0 9t 2 由题意500 0 9t 250 即0 9t 0 5 两边取对数 有 tlg0 9 lg0 5 t 6 6 年 即这种放射性元素的半衰期约为6 6年 题型四函数模型的综合应用 例4 2010 江苏苏北四市联考 某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求 进行了20天的测试 人为地调控每天产品的单价p 元 件 前10天每天单价呈直线下降趋势 第10天免费赠送品尝 后10天呈直线上升 其中4天的单价记录如下表 而这20天相应的销售量q 百件 天 与x对应的点 x q 在如图所示的半圆上 1 写出每天销售收入y 元 与时间x 天 的函数关系式y f x 2 在这20天中哪一天销售收入最高 为使每天销售收入最高 按此次测试结果应将单价p定为多少元为好 结果精确到1元 解 1 由表中数据可知 x n x 1 20 x n y 100qp 100 x 1 20 x n 变式4 1某企业投入81万元经销某产品 经销时间共60个月 市场调研表明 该企业在经销这个产品期间第x个月的利润 单位 万元 为了获得更多的利润 企业将每月获得的利润投入到次月的经营中去 记第x个月的当月利润率g x 例如