三重积分的概念与计算ppt课件.ppt

作业 115页3 4 6 12 13 第三节 一 三重积分的概念 二 三重积分的计算 三重积分的概念与计算 第九章 一 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想 采用 引例 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的 物质 求分布在 内的物质的 可得 大化小 常代变 近似和 求极限 解决方法 质量M 密度函数为 定义 设 存在 称为体积元素 若对 作任意分割 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分 在直角坐标系下常写作 下列 乘积和式 极限 三重积分的性质 1 线性性质 单调性 积分估值公式 2 区域可加性 4 微元法 5 对称奇偶性 二 三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 方法1 投影法 先一后二 投影法 三次积分法 设区域 利用投影法结果 把二重积分化成二次积分即得 适用范围 由平面围成的情况 其中 为三个坐标 例 计算三重积分 所围成的闭区域 解 面及平面 计算 其中由锥面 及平面围成 解 例2 化为三次积分 由曲面 及平面围成 解 如图 所以 曲面与xOy坐标面交于x轴和y轴 例1 方法2 截面法 先二后一 特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得 截面范围易表示的情况 其中 为三个坐标 例3 计算三重积分 所围成的闭区域 面及平面 轴和围成的等腰直角三角形 所以 注 此题可用投影法求解 计算三重积分 解 则 而 原式 例4 例 计算三重积分 解 用 先二后一 补充 三重积分对称性 补充 三重积分对称性 2 奇偶对称性 解 积分域关于三个坐标面都对称 被积函数是的奇函数 球面关于xoy面对称 解 1 将 用三次积分表示 其中 由 所 提示 思考与练习 六个平面 围成 3 设 计算 提示 利用对称性 原式 奇函数 tobecontinue 作业 115页3 4 6 12 13 换元法 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 体积元素 一一对应 雅可比行列式 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M的柱坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 圆柱面 平面 半平面 圆柱面 半平面 平面 在柱面坐标下 若 从小到大边界到边界 则有 在投影区域上做极坐标变换 例 计算三重积分 解 在柱面坐标系下 所围成 与平面 其中 由抛物面 原式 4 计算 其中 解 利用对称性 利用球坐标计算三重积分 就称为点M的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系 在球面坐标系中 从小到大 从边界到边界 体积元素为 化为三次积分 求的体积 解 球面方程为 在球坐标系下方程为 所以 例6 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁 或 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 对应雅可比行列式为 变量可分离 围成 2计算 其中 为双曲面 锥面 及柱面 围成 思考与练习 3 设 由锥面 和球面 所围成 计算 提示 利用对称性 用球坐标 其中由锥面 平面围成 解法 用投影法 计算 例5 计算三重积分 解 在球面坐标系下 所围立体 其中 与球面 例6 求曲面 所围立体体积 解 由曲面方程可知 立体位于xoy面上部 立体体积为 yoz面对称