中考复习之专题八 三角形.doc

第二讲 中考复习之专题八 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形一. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180；三角形三个外角的和等于360；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点3 等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于60。知识点4 直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点5 全等三角形定义、判定、性质知识点6 相似三角形知识点7 锐角三角函数与解直角三角形二、例题精讲例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例2. 已知：如图，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90，D为AB边上的一点，求证：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。分析：要证ACEBCD，已具备ACBC，CECD两个条件，还需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD显然能证;要证ADAEDE，需条件DAE90，因为BAC45，所以只需证CAEB45，由ACEBCD能得证。例3. 已知：点P是等边ABC内的一点，BPC150，PB2，PC3，求PA的长。分析：将BAP绕点B顺时针方向旋转60至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD为直角三角形。【变式】若已知点P是等边ABC内的一点，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度数吗？请试一试。例4. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由 点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BCEF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ABCDFE_ 分析：ABC与DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解 点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题例6. 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所用时间为1.5秒（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从A点到B点的速度只需求出AB的距离， 点评：此题应用了直角三角形中30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用例7. 如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了RtABC请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等 简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定理的逆定理“若两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图例8. 如图所示，在ABC中，ABAC1，点D、E在直线BC上运动，设BDx，CEy（1）如果BAC30，DAE105，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，当、满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例9. 如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：EDMFBM；（2）若DB9，求BM例10. 已知ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23且CD6。求（1）AB；（2）AC。分析：设AD2k，BD3k。根据直角三角形和它斜边上的高，可知ABCACDCBD。通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是如果根据射影定理，那么就可以直接计算出k的大小。三、课后练习1. 如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形2. （1）已知如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。求证：ACBD，APB60。（2）如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_。（3）如图，在AOB和COD中，OAkOB，OCkOD（k1），AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；AP