高中数学 1.2.2 集合的运算 课件一 新人教B版必修1.ppt

1 2 2集合的运算 知识整合 1 交集对于两个给定的集合a b 由属于a又属于b的所有元素所构成的集合 叫做a和b的 记作 2 并集一般地 对于两个给定的集合a b 由两个集合的所有元素构成的集合 叫做a与b的 记作a b 3 全集在研究集合与集合之间的关系时 如果 那么称这个给定的集合为全集 通常用u表示 特别警示 1 全集决定了我们所研究的其他集合都是它的子集 2 全集选择的不同 则运算的结果就有可能不同 4 补集如果给定集合a是全集u的一个子集 由 叫做a在全集u中的补集 记作 ua 5 交集的运算性质对于任何集合a b 有 1 a b b a 2 a a 3 a 4 a b a a b b 5 a b a 6 并集的运算性质 1 a b b a 2 a a 3 a 4 a b a a b b 5 a b b 7 交集 并集 补集的关系a ua a ua u 8 常见结论 1 a b a a b a b a a b 2 a ua u a ua 9 经验公式 1 u a b ua ub u a b ua ub 2 card a b card a card b card a b 其中card a 表示集合a中的元素的个数 对于 1 可理解 并之补 等于 补之交 交之补 等于 补之并 可通过venn图加以记忆 答案 1 交集a b2 并集3 所要研究的集合都是某一给定集合的子集4 u中不属于a的所有元素构成的集合5 a a b6 aa a b 名师解答 1 可否用venn图理解a与b的交集及a与b的并集的几种情况 1 用venn图表示a b有下列几种情况 阴影部分为a b a与b相交 有公共元素 但互不包含 a与b分离 无公共元素 2 用venn图表示a b有下列几种情况 阴影部分为a b a与b相交 有公共元素 但互不包含 a与b分离 无公共元素 2 设集合u为全集 集合a b是全集u的子集 则有以下两个重要结论 u a b ua ub u a b ua ub 这两个结论 可否通过venn图清楚明了地表示出来呢 1 用venn图表示 u a b ua ub 2 用venn图表示 u a b ua ub 深入学习 答案 1 c 2 a分析 注意集合m p中的元素 确定出m p 再求m p 1 解法一 m中x 1 0 x 1 即m x x 1 p中x 3 0 x 3 即p x x 3 m p x 1 x 3 故选c 解法二 m p的元素不是 x y 排除a 比较b与c 取x 1 1 m 1 p 1 m p 排除b 比较c与d 取x 2 2 m 排除d 故选c 评析 解法一是直接法 求交集 并集时一般需先具体确定集合再求 解法二是排除法 即抓住选择项之间的差异 采用取特殊值或举反例等办法排除错选择项 达到去伪存真的目的 此法对求解选择题很有效 评析 本节重点是交集 并集的概念 正确理解概念是进行集合间的交 并运算的关键 关于定义需注意 a b中 或 的意义与日常用语中的 或 的意义不尽相同 用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的 x a 或x b 包括下列三种情况 x a 但x b x b 但x a x a 且x b 因为并不是任何两个集合总有公共元素 当a与b没有公共元素时 不能说a与b的交集不存在 而应说a b 变式训练1集合a x x2 3x 2 0 b x x2 ax a 1 0 c x x2 mx 2 0 已知a b a a c c 求实数a m的值 解 a b a b a 又a c c c a a x x2 3x 2 0 1 2 b x x2 ax a 1 0 x x a 1 x 1 0 又 b a a 1 2或a 1 1 即a 3或a 2 当a 3时 b 1 2 当a 2时 b 1 题型二集合的运算 例2 设u r 已知集合a x 5 x 5 b x 0 x 7 求 1 a b 2 a b 3 a ub 4 b ua 5 ua ub 分析 本题是不等式问题 凡不等式中的交 并 补问题 可以画数轴解决 解 如下图 1 a b x 0 x 5 2 a b x 5 x 7 3 如下图 ub x x 0 或x 7 a ub x x 5 或x 7 4 如下图 ua x x 5 或x 5 b ua x 5 x 7 5 解法一 ub x x 0 或x 7 ua x x 5 或x 5 如下图 ua ub x x 5 或x 7 解法二 ua ub u a b x x 5 或x 7 评析 1 数轴法的特点是简单直观 因此 要注意将数轴画出来 只有对数轴的运用达到熟练掌握了 就可以不必画数轴了 但也应在草稿上或自己的头脑中画出数轴 避免出错 2 要注意各个端点的画法 能取到端点的值时 用实心的点在数轴上表示 取不到端点的值时 用空心的圈在数轴上表示 3 一定要注意a ua u a ua 从而决定端点的去留 题型三利用韦恩图解题 例3 已知全集u 不大于20的质数 m n是u的子集 且满足m un 3 5 um n 7 19 um un 2 17 求m n 解 m un 3 5 3 m 5 m 3 n 5 n 又 um n 7 19 7 m 19 m 7 n 19 n 又 um un u m n 2 17 2 m 2 n 17 m 17 n 由以上分析 画出图 又 11 u m n 11 m n 11 m un 11 n 或11 m n 又 11 um n 11 m 或11 m n 11既不在m un 中 同时又不在 um n中 所以即11 m n 同理 13 m n m 3 5 11 13 n 7 11 13 19 评析 对于一些与数集有关的问题 直接凭空去想 很容易陷入误区 理不清头绪 如果采用韦恩图来分析问题 则题目会变得很直观 很容易理清思路 使问题获解 变式训练3某班举行数理化竞赛 每人至少参加一科 已知参加数学竞赛的有27人 参加物理竞赛的有25人 参加化学竞赛的有27人 其中参加数学 物理两科的有10人 参加物理 化学两科的有7人 参加数学 化学两科的有11人 而参加数 理 化三科的有4人 求出全班人数 分析 本题考查集合的运算 解题的关键是把文字语言转化成集合语言 借助于韦恩图的直观性把它表示出来 再根据集合中元素的互异性求出问题的解 解 设参加数学 物理 化学三科竞赛的同学组成的集合分别为a b c 由题意可知a b c三集合中元素个数分别为27 25 27 a b b c a c a b c的元素个数分别为10 7 11 4 画出韦恩图 如图可知全班人数为10 13 12 6 4 7 3 55 人 评析 1 能正确使用一些集合符号把文字语言转化成集合语言 图形语言是我们把实际问题转化成数学问题的重要一步 它实现了实际问题向数学问题的转化 2 一般地 用card a card b card c 分别表示集合a b c中元素的个数 则有card a b c card a card b card c card a b card b c card a c card a b c 题型四利用集合运算性质求参数的取值范围 例4 已知集合a x x2 4x 3 0 b x x2 ax 1 a 0 c x x2 mx 1 0 且a b a a c c 求a m的取值或取值范围 分析 可知求集合a 再由a b a b a a c c c a 然后根据方程根的情况进行讨论 解 a 1 3 b x x 1 x 1 a 0 a b a b a a 1 3 或a 1 1 a 4 或a 2 又a c c c a 若c 则 m2 4 0 2 m 2 若1 c 则12 m 1 0 m 2 此时c 1 a c c 评析 分类讨论在中学数学中有着极其重要的地位 在本章应用广泛 本题中易犯的错误是忽略对c 的讨论 变式训练4已知集合a x x2 ax a2 19 0 b x x2 5x 6 0 c x x2 2x 8 0 1 若a b a b 求实数a的值 2 a b a c 求实数a的值 分析 集合a b c的关系比较明确 从代数角度看 它们分别是方程x2 ax a2 19 0 x2 5x 6 0和x2 2x 8 0的解集 由于集合a所对应的方程含有字母 因此本题宜先考虑的b c再由 1 中a b b a 2 中 a b a c 等条件出发 确定a的值 评析 对于 1 必须理解a b a b的意义 由a a b a b b a b b a b a b a b a 所以a b 对于 2 关键在于抓住空集这个特殊集合的含义和性质 即由 a b a b 整体探究解读 题型一集合的运算问题集合的基本运算广泛地用于函数 方程 不等式 三角函数 解析几何等知识中 在高考中占有相当重要的地位 要熟练掌握交 并 补的含义及运算性质 学会用venn图 数轴工具来解决问题 例1 已知集合p x x a2 4a 1 a r q y y b2 2b 3 b r 求p q和p rq 分析 集合p q分别是指对应的自变量a b在实数范围内变化时 函数值的变化范围 解 因为x a2 4a 1 a 2 2 3 3 所以p x x 3 又因为y b2 2b 3 b 1 2 4 4 所以q y y 4 利用数轴表示可知 p q x 3 x 4 如下图 1 又因为 rq y y 4 所以p rq p x x 3 如下图 2 评析 1 在求集合的交集 并集 补集时 应首先求出各集合 本题中 虽然表示集合元素的字母不同 但它们都是数集 2 在求集合的补集时要注意边界 3 求数集的交集 并集 补集往往借助于数轴 例2 设a x a x a 3 b x x5 当a为何值时 1 a b 2 a b 3 a b a 4 a rb rb 2 由补集的定义可知 a b 的反面就是a b 当a2时 a b 3 a b a a b 由下图得 a 35 即a5时 a b a 题型二解探索性问题 例3 已知a x y x n y an b n z b x y x m y 3m2 15 m z c x y x2 y2 144 问是否存在实数a b使得 1 a b 2 a b c同时成立 分析 假设存在a b 使得 1 成立 得到a与b的关系后与a2 b2 144联立 然后讨论联立的不等式组 评析 此解法中 0 仅是一个方程有解的必要条件 也就是说 0只能保证直线与抛物线有公共点 但这个公共点不一定是整数点 进而再利用另一个条件 由于求得的a b不能使两曲线的交点为整数点 所以符合题意的a b就不存在了 解答探索性数学问题 凡是涉及 是否存在 是否具有某种性质 等这一类的未定结论的讨论式探索性问题 我们总是先假定结论成立 进而进行演绎推理 在推导过程中 若出现矛盾 即可否定我们的假设 则问题的另一面成立 如果推导过程流畅 没有受阻 没有矛盾成立 一直能推导到符合已知的真理 公理 定理等 或已知条件 这时我们说假设存在 题型三用 正难则反 的策略解题 正难则反 策略是指某一类问题从正面解决比较困难时 我们可以反面入手解决 这种 正难则反 的解题方法 运用的就是补集思想 设全集为u 求子集a 若直接求a困难 可先求 ua 再由 u ua a求a 例4 若三个方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0至少有一个方程有实数解 求实数a的取值范围 分析 此题若从正面入手 需对各种可能情况一一讨论 非常繁琐 若考虑反面 则只有一种情况 三个方程都没有实数解 利用判别式去求解 然后取补集即可 评析 一般地 如果一个数学问题从正面入手困难可作逆向思考则常可奏效 如含有 至多 至少 等条件的题目 不要忘记取其补集 1 进行集合的运算时应当注意 1 勿忘对空集情形的讨论 2 勿忘集合中元素的互异性 3 对于集合a的补集进行运算 勿忘a必须是全集的子集 4 对于含参数 或特定系数 的集合问题 勿忘对所求数值进行合理取舍 2 在集合运算过程中应力求做到 三化 1 意义化 即首先分清集合的类型 是表示数集 点集 还是某类图形 是表示函数的自变量的取值范围 或因变量的取值范围 还是表示方程或不等式的解集 2 具体化 具体求出相关集合中函数的自变量 因变量的范围或方程 不等式的解集等 不能具体求出的 也应力求将相关集合转化为最简形式 3 直观化 借助数轴 直角坐标平面 韦恩图等将有关集合直观地表示出来 从而借助数形结合思想解决问题 例5 已知集合a x x2 4ax 2a 6 0 b x x 0 若a b 求a的取值范围 解 由b x x 0 a b 可知 方程x2 4ax 2a 6 0至少有一个负根 因此本题要分 有两个负根 一负根一零根 一负根一正根这三种情况求解 比较麻烦 这时 我们不妨考虑问题的反面 方程x2 4ax 2a 6 0没有负根的情形 评析 1 对于一些解题过程繁琐 难以从正面解决的问题 不妨从问题的反面入手 探求已知和未知的联系 用间接的方法将问题解决 我们称这种解决问题的策略为 正难则反 的策略 其实质是运用了 补集思想 2 由于 ua是a的补集 因此在解题时 遇到比较困难的问题 可以转化为求问题的反面 采用间接的方法将问题解决 题型四数学在日常生活中的应用 例6 某地对农户抽样调查 结果如下 电冰箱拥有率为49 电视机拥有率为85 洗衣机拥有率为44 至少拥有上述三种电器中两种以上的占63 三种电器齐全的为25 那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为 a 10 b 12 c 15 d 27 答案 a分析 这是一个小型应用题 把各种人群看做集合 本题就是已知全集元素个数 求其某个子集的元素个数 可借助venn图解决 解 不妨设调查了100户农户 u 被调查的100户农户 a 100户中拥有电冰箱的农户 b 100户中拥有电视机的农户 c