2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第05单元第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 基础梳理 1 角的概念的推广 1 任意角的定义角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 2 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 一条射线没有作任何旋转 那么也把它看成一个角 叫做零角 3 角的顶点为坐标原点 角的始边为x轴正半轴 角的终边 除端点外 在第几象限 就说这个角是第几象限角 4 一般地 与角 终边相同的角的集合为 k 360 k Z 2011届高考迎考复习更多资源请点击 高中教学网 2 弧度制 1 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角 用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做弧度制 在弧度制下1弧度记作1rad 2 rad 360 2 设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成的角为 为任意角 单位为弧度 旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角 所对的弧 设弧长为l 则有 即l r 特别地 若取r 1 则有l 若 2 则有圆心角为 的扇形的面积为 3 任意角的三角函数定义设 是一个任意角 的终边上任意一点P的坐标是 x y 它与原点的距离为那么 5 三角函数值在各象限的符号 sin cos tan 4 单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数 如图 sin MP cos OM tan AT 分析由于 是第二象限的角 可以利用终边相同的角的表达式表示出 的范围 进而求得 2 的范围 判定其所在的象限 解由 是第二象限的角 得k 360 90 k 360 180 k Z 1 k 180 45 k 180 90 k Z 当k 2n n Z 时 n 360 45 n 360 90 n Z 则是第一象限角 典例分析 题型一象限角问题 例1 若 是第二象限的角 则是第几象限的角 是第几象限的角 2 是第几象限的角 当k 2n 1 n Z 时 n 360 225 n 360 270 n Z 则是第三象限角 综合 可知 是第一或第三象限角 2 360 30 360 60 k Z 当k 3n n Z时 n 360 30 n 360 60 n Z 则是第一象限角 当k 3n 1 n Z时 n 360 150 n 360 180 n Z 则是第二象限角 当k 3n 2 n Z时 n 360 270 n 360 300 n Z 则是第四象限角 综合 可知 是第一 第二或第四象限的角 3 2k 360 180 2 2k 360 360 k Z 故2 是第三 第四象限角或是终边落在y轴的非负半轴上 学后反思知道 所在的象限 所在的象限也可由象限等分法得到 下面以为例说明 如图所示 将每一个象限二等分 若是则三等分 从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1 2 3 4 1 2 3 4 若 是第一象限角 则在标有数字1的区域内 若 是第二象限角 则在标有数字2的区域内 依次类推 则很容易确定所在的象限 举一反三 1 若 60 k 360 k Z 则为第象限角 解析 30 k 180 k Z 当k 2n n Z 时 为第一象限的角 当k 2n 1 n Z 时 为第三象限的角 答案 一或三 题型二扇形弧长 面积公式应用 例2 一个扇形的周长为20cm 当扇形的圆心角 等于多少弧度时 这个扇形的面积最大 并求出这个扇形的最大面积 分析运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系 运用函数的性质来解决最值问题 解设扇形的半径为r 则弧长为l 20 2r 于是扇形的面积为当r 5时 l 10 2 弧度 S取到最大值 此时最大值为25cm2 故当扇形的圆心角 等于2弧度时 这个扇形的面积最大 最大面积是25cm2 学后反思求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式 将其转化为关于半径 或圆心角 的函数表达式 进而求解 除此之外 也可直接设出两个参数 利用均值不等式求最值 举一反三2 已知一扇形的中心角是 所在圆的半径为r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 2 若扇形的周长是一定值C C 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 解析 1 设弧长为l 弓形面积为S弓 2 方法一 扇形周长C 2r l 2r r 当且仅当 即 2 2舍去 时 扇形面积有最大值 方法二 由已知得2r l C l C 当扇形圆心角为2弧度时 扇形面积有最大值 题型三三角函数的定义 例3 14分 已知角 的终边经过点3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 分析本题求 的三角函数值 依据三角函数的定义 可在角 的终边上任取一点P 4t 3t t 0 求出r 由定义得出结论 解 角 的终边在直线3x 4y 0上 在角 的终边上任取一点P 4t 3t t 0 2 则x 4t y 3t r 5 t 4 当t 0时 r 5t 8 当t 0时 r 5t 12 综上可知 t 0时 sin cos tan t 0时 sin cos tan 14 学后反思某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关 当终边确定时三角函数值就相应确定 但当终边落在某条直线上时 这时终边实际上有两个 因此对应的函数值有两组要分别求解 举一反三 3 已知角 的终边在直线y x上 求sin tan 的值 解析 设点P a a a 0 是角 终边y 3x上一点 则tan 若a 0 则 是第一象限角 r 2a sin 若a 0 则 是第三象限角 r 2a sin 题型四求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域 分析首先作出单位圆 然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围 解 1 如图1 2 如图2 3 4sin2x 0 sin2x sinx 学后反思求定义域的问题 其实质是解不等式 当不等式中含有三角函数时 可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解 举一反三4 当x取什么值时 有意义 解析 由题意知 tanx 0 x k k Z 又x k k Z x k k Z 当x x x k k Z 时 有意义 例 已知则2 的范围为 错解由所以 0 即0 2 由 得 易错警示 由 得 2 错解分析上述解题过程分别求出 的范围 所采用的做法是不等价的 扩大了范围 正解设2 A B A B为待定系数 则2 A B A B 比较两边系数 得 解得所以2 10 若点P从 1 0 出发 沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点 求Q点的坐标 考点演练 11 已知 是第二象限角 试判断sin cos cos sin 的符号 解析 xQ 1 cos yQ 1 sin Q点的坐标为 解析 在第二象限 1 cos 0 0 sin 1 cos 作为角在第四象限 sin 作为角在第一象限 sin cos 0 cos sin 0 sin cos cos s