高中数学 2.5 等比数列的前n项和 第2课时课件 新人教A版必修5.ppt

第2课时等比数列前n项和的性质 1 数列 an 为等比数列 sn为其前n项和 则sn s2n sn s3n s2n 仍构成 且有 s2n sn 2 sn s3n s2n 若q 1 则n为偶数时 上述性质不成立 2 若数列 an 的前n项和公式为sn an 1 a 0 a 1 则 an 为 等比数列 等比数列 3 在等比数列中 若项数为2n n n s偶与s奇分别为偶数项与奇数项的和 则s偶 s奇 q 4 若 an 是公比为q的等比数列 则sn msn qn sm 答案 b 2 等比数列 an 中 s2 7 s6 91 则s4为 a 28b 32c 35d 49解析 s2 s4 s2 s6 s4成等比数列 s4 s2 2 s2 s6 s4 s4 7 2 7 91 s4 s4 28 选a 答案 a 3 在等比数列中 已知a1 a2 a3 6 a2 a3 a4 3 则a3 a4 a5 a6 a7 a b c d 答案 a 4 在等比数列 an 中 公比q 2 前99项的和s99 56 则a3 a6 a9 a99 答案 32 5 已知实数列 an 是等比数列 其中a7 1 且a4 a5 1 a6成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 数列 an 的前n项和记为sn 证明 sn 128 n 1 2 3 例1 在等比数列 an 中 已知sn 48 s2n 60 求s3n 分析 用求和公式直接求解或用性质求解 点评 通过两种解法比较可看出 利用等比数列的性质解题 思路清晰 过程较为简捷 迁移变式1已知等比数列 an 中 前10项和s10 10 前20项和s20 30 求s30 例2 等比数列 an 共有2n项 其和为 240 且奇数项的和比偶数项的和大80 则公比q 点评 本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃而解 迁移变式2一个等比数列的首项为1 项数是偶数 其奇数项的和为85 偶数项的和为170 求此数列的公比和项数 例3 银行按规定每经过一定时间 贷款利率中的时间间隔 结算贷款的利息一次 结算后将利息并入本金 这种计算利息的方法叫复利 现在某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款10万元 第一年便可获利1万元 以后每年比前一年增加30 的利润 乙方案 每年年初贷款1万元 第一年便可获利1万元 以后每年比前一年多获利5千元 两种方案的实施期限都是十年 到期一次性归还本息 若银行贷款利息按年息10 的复利计算 比较两个方案 哪个获利更多 参考数据 1 110 2 594 1 310 13 786 分析 本题考查用等比数列求和公式解决实际问题 明确复利的含义 利用等比数列求和公式分别求出两种方案所获得的利润 再比较它们的大小 点评 在实际问题中 若量与量之间的比值为常数 则可构造等比数列模型 具体构造时 可从特例入手 归纳猜想出其通项公式 也可从一般入手 寻求递推关系 再求通项公式 迁移变式3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房 银行贷款的年利息为10 按复利计算 即本年的利息计入次年的本金生息 若这笔款要分10年等额还清 每年年初还一次 并且以贷款后次年年初开始归还 问每年应还多少元 解 方法1 设每年还款x元 需10年还清 那么各年还款利息情况如下 第10年付款x元 这次还款后欠款全部还清 第9年付款x元 过一年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 元 第8年付款x元 过2年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 2元 第1年付款x元 过9年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 9元 依题意得 x x 1 10 x 1 10 2 x 1 10 9 20000 1 10 10解得x 3255 元 方法2 第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000 1 10 x 20000 1 1 x 第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行 20000 1 10 x 1 10 x 20000 1 12 1 1x x 第10次还款x元后 还欠银行20000 1 110 1 19x 1 18x x 依题意得 第10次还款后 欠款全部还清 故可得20000 1 110 1 19 1 18 1 x 0 解得x 3255 元 分析 确定 an 的通项公式 利用错位相减法解题 点评 一般情况下 错位相减后 sn q sn中的首项a1和末项an要单独计算 中间的n 1项则应用等比数列前n项和公式求和 2 等比数列前n项和的性质 1 数列 an 为等比数列 sn为其前n项和 则sn s2n sn s3n s2n 仍构成等比数列 且有 s2n sn 2 sn s3n s2n 2 若某数列前n项和公式为sn an 1 a 0 a