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北师大版七年级数学下册 专题训练系列（附解析专训2构造全等三角形的四种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的已知条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有：旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形 翻折法1如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D.试说明：21C.(第1题) 旋转法2如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BEDFEF，求EAF的度数(第2题) 倍长中线法3如图，在ABC中，D为BC的中点(1)试说明：ABAC2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范围(第3题) 截长补短法4如图，ABCD，CE，BE分别平分BCD和CBA，点E在AD上试说明：BCABCD.(第4题)答案1解：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)(第1题)因为BE平分ABC，所以ABECBE.因为BDAD，所以ADBFDB90.在ABD和FBD中，所以ABDFBD(ASA)所以2DFB.又因为DFB180AFC，1C180AFC，所以DFB1C.所以21C.2解：如图，延长CB到点H，使得BHDF，连接AH.因为ABE90，D90，所以DABH90.在ABH和ADF中，所以ABHADF.所以AHAF，BAHDAF.所以BAHBAFDAFBAF.所以HAFBAD90.因为BEDFEF，所以BEBHEF，即EHEF.在AEH和AEF中，所以AEHAEF.所以EAHEAF.所以EAFHAF45.点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF绕点A顺时针旋转90，使AD边与AB边重合，得到ABH.(第2题)3解：(1)如图，延长AD至点E，使DEAD，连接BE.因为D为BC的中点，所以CDBD.又因为ADED，ADCEDB，所以ADCEDB.所以ACEB.因为ABBEAE，所以ABAC2AD.(2)因为ABBEAEABBE，所以ABAC2ADABAC.因为AB5，AC3，所以22AD8.所以1AD4.点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将说明不等关系和求线段取值范围的问题转化为说明全等，从而利用全等三角形的性质解决问题(第3题)4解：如图，在BC上取一点F，使BFBA.连接EF.因为CE，BE分别平分BCD和CBA，(第4题)所以34，12.在ABE和FBE中，所以ABEFBE(SAS)所以A5.因为ABCD，所以AD180.又因为56180，所以6D.在EFC和EDC中，所以EFCEDC(AAS)所以FCDC.所以BCBFCFABCD.点拨：说明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段
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