1.3球.ppt

1 3空间几何体的表面积与体积 所谓表面积 是指几何体表面的面积 也即是立体图形的所能触摸到的面积之和 怎样理解棱柱 棱锥 棱台的表面积 各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积 表面积 侧面积 底面积 如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积 侧面展开图的构成 几何体的侧面展开图 一组平行四边形 一组梯形 一组三角形 探究 2 底面积 侧面积 几何体表面积 底面积 侧面积 上底面积 下底面积 侧面积 注意 将空间图形问题转化为平面图形问题 利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积 例1 课本P24 已知棱长为a 各面均为等边三角形的四面体S ABC 求它的表面积 分析 四面体有四个面 由四个全等的正三角形组成 因为SB a 所以 因此 四面体S ABC的表面积 交BC于点D 解 先求的面积 过点S作 例2 下图是一个几何体的三视图 单位 cm 想象对应的几何体 并求出它的表面积 解 直观图是四棱台 侧面是四个全等的梯形 上下底面为不同的正方形 正视图 侧视图 俯视图 直观图 旋转体的表面积 1 圆柱 一般地 对于圆柱 圆锥 圆台等旋转体 其底面是平面图形 圆形 其侧面多是曲面 需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算 最终得到这些几何体的表面积 圆柱的侧面展开图是一个矩形 底面是圆形 2 圆锥 侧面展开图是一个扇形 底面是圆形 3 圆台 底面是圆形 侧面展开图是一个扇状环形 扇环面积公式可以类比到梯形面积公式 代入 得 圆台侧面积公式的推导 圆柱 圆锥 圆台三者的表面积公式之间有什么关系 圆台 圆柱 圆锥 思考 1 一个圆柱形锅炉的底面半径为1米 侧面展开图为正方形 则它的表面积为多少 2 以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转 所得旋转体的表面积为多少 课堂作业 3 圆台的上 下底面半径分别是5cm和10cm 母线长为10cm 则侧面展开图扇环的圆心角为多少 4 课本P27练习2 几何体占有空间部分的大小叫做它的体积 一 体积的概念与公理 公理1 长方体的体积等于它的长 宽 高的积 V长方体 abc 推论1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积 V长方体 sh 推论2 正方体的体积等于它的棱长a的立方 V正方体 a3 公理2 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 幂势既同 则积不容异 祖暅原理 定理1 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的底面积s和高h的积 V柱体 sh 二 柱体的体积 空间几何体的体积 1 棱柱和圆柱的体积 柱体的体积公式 V Sh 底面积S 2 棱锥和圆锥的体积 A B C D E O S 底面积S 3 棱台和圆台的体积 柱体 锥体 台体的体积公式之间有什么关系 S为底面面积 h为柱体高 S S 分别为上 下底面面积 h为台体高 S为底面面积 h为锥体高 探究 课本P26 课本P29习题1 3第4题 解关于表面积 体积问题常用方法 1 分割法 一个几何体的体积等于它的各部分体积之和 2 补体法 与分割一样 有时为了计算方便 可将几何体补成易求体积的几何体 如长方体 正方体等 另外由台体的定义 我们在有些情况下 可以将台体补成锥体研究体积 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法 3 等积变换法 相同的几何体的体积相等 同一个几何体可以用不同的面做底 注意 三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面 液状物体的形状改变体积不变 比如 水在容器中形状可以多变 等底面积等高的两个同类几何体的体积相等 体积相等的两个几何体叫做等积体 4 计算圆柱 圆锥 圆台的体积时 关键是根据条件找出相应的底面面积和高 应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题求解 设球的半径为R 则有体积公式和表面积公式 R 球的体积和表面积 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 课堂练习 解 设球的半径为R 则圆柱的底面半径为R 高为2R 例1如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的体积等于圆柱体积的 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 1 因为 2 因为 变式2 把直径5cm的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 球内切于正方体 侧棱长为5cm 例题讲解 例 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 略解 变题1 如果球O和这个正方体的六个面都相切 则有S 变题2 如果球O和这个正方体的各条棱都相切 则有S 关键 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 3 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 作轴截面 7 将半径为1和2的两个铅球 熔成一个大铅球 那么这个大铅球的表面积是 5 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为 6 若两球表面积之差为48 它们大圆周长之和为12 则两球的直径之差为 课堂练习 球面距离 球面距离即球面上两点间的最短距离 是指经过这两点和球心的大圆的劣弧的长度 球心O A B 大圆圆弧 大圆劣弧的圆心角为 弧度 半径为R 则弧长为L R 球面距离 例4 已知地球的半径为R 在地球的赤道上经度差为1200的两点间距离 答案 题型二旋转体的表面积及其体积如图所示 半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴 旋转一周得到一几何体 求该几何体的表面积 其中 BAC 30 及其体积 先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状 再求表面积 解如图所示 过C作CO1 AB于O1 在半圆中可得 BCA 90 BAC 30 AB 2R AC BC R S球 4 R2 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状 再将图形进行合理的分割 然后利用有关公式进行计算 失误与防范1 将几何体展开为平面图形时 要注意在何处剪开 多面体要选择一条棱剪开 旋转体要沿一条母线剪开 2 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定有关元素间的数量关系