（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之平面向量与其它知识的综合 新人教A版.doc

三、平面向量与其它知识的综合：典型例题：例1.对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=【】a b.1 c. d. 【答案】c。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。【解析】由定义 ，=，。 ，即。，。又，=。 ，=。故选c。例2.对任意两个非零的平面向量，定义若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则【 】a b c d 【答案】d。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。【解析】由定义 ，=，。 ，即。，。=。故选d。例3.在abc中，ab=2，ac=3，= 1则【 】a. b. c. d. 【答案】 a。【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理。【解析】如图知。又由余弦定理得，即，解得。故选a。例4.在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。平行四边形中，。设，则。由得，。的横坐标为，的纵坐标为。函数在有最大值，在时，函数单调增加。在时有最小值2；在时有最大值5。的取值范围是。版权归锦元数学工作室，不得转载】例5.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过所在直线为轴建立平面直角坐标系。在矩形中， ，。设，则。由得，。的坐标为。，。的取值范围是。例6.若平面向量满足：；则的最小值是 来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】，。 又，。 的最小值是。例7.已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（）求a；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。【答案】解：（）。 函数的最大值为6。而 。（）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。当时，.。函数g（x）在上的值域为。【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。【解析】（）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定a。（）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。例8.已知向量，设函数的图像关于直线=对称，其中为常数，且（）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（）函数的图像关于直线=对称，。又，。的最小正周期为。（ii）若的图像经过点，则有，。，。函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和的范围，计算的值，从而得函数的最小正周期。（ii）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。例9.在中，已知（1）求证：；（2）若求a的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，。【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得a的值。例10.对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称x具有性质p. 例如具有性质p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性质p，求证：1x，且当n1时，1=1；（6分） （3）若x具有性质p，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则y中与垂直的元素必有形式。 ，从而=4。 （2）证明：取，设满足。 由得，、异号。 1是x中唯一的负数，所以、中之一为1，另一为1。故1x。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为1。若=1，则，矛盾；若=1，则，矛盾.=1。 （3）猜测，i=1, 2, , 。 记，=2, 3, , 。 先证明：若具有性质p，则也具有性质p。 任取，、.当、中出现1时，显然有满足。 当且时，、1。 具有性质p，有，、，使得。从而和中有一个是1，不妨设=1，假设且，则。由，得，与矛盾。，从而也具有性质p。现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , 。当=2时，结论显然成立。 假设时，有性质p，则，i=1, 2, , ； 则当时，若有性质p，则 也有性质p，所以。 取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为1。 若，则，所以，这不可能； ，又，所以。 综上所述，i=1, 2, , 。 【考点】数集、集合的基