偏导数与全微分(14).ppt

1 一 基本概念及结论 第六章偏导数与全微分 1 平面点集 邻域 区域的概念 1 平面点集 例2 2 3 开园域称为点的邻域 即 4 3 平面区域 由一条或几条连续曲线所围的平面的 一部分称为平面区域记为D 围成区域的曲线称为边界 连同边界在内的区域称为闭区域 不包括边界的区域称 为开区域 如果可延伸到无穷远处 就称为无界区域 否则称为有界区域 我们这里讨论的区域是一种特殊的 区域 任何平行于X轴或Y轴的直线与该平面区域的交 点不多于两点 但容许边界曲线包含平行坐标轴的线 段 5 是有界闭区域 6 2 多元函数的定义 二元函数的定义域是平面点集 通常用平面区域D表示 7 8 对应关系的求法同一元函数 9 10 3 二元函数的几何意义 11 12 4 二元函数的极限 13 例4 若有 C 则极限存在 当点沿无穷条路径趋向定点时 有 14 方式应是任意方向任意路径 同时取极限过程中各变量 变化是同步的 与累次极限没有关系 由此 C 成立 即连 续必有极限 5 二元函数连续性定义 15 4 闭区域上连续函数的有界性定理介值定理 最大最小值定理 零值定理 6 二元函数偏导数定义 16 同样可定义关于y的偏导数 注 17 18 7 二元函数的二阶偏导数 19 1 8 二元函数的全微分 20 21 22 三元函数的全微分 多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和 23 1 2 3 4 9 连续 偏导数存在与可微之间的关系 混合偏导数相等 24 25 二 基本问题及解法 26 27 例2 已知则 所以应按定义去做 28 故应选 B 29 30 解 1 31 32 搞清复合关系 哪是自变量 中间变量 通常画变量关系图 再按变量关系图的路径求导 从应变量到自变量有多少条路径 求导时就有多少项 每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积 注 有些复杂的函数也可引进中间变量画出变量关系图后再求导 33 解 变量关系如图 34 35 36 37 抽象 的复合函数偏导数的求法 对抽象的二元复合函数求偏导数时 有的偏导数无法法具体求出只能保留 抽象 的形式 视情况可画变量关系图 也可不画变量关系图 38 例1 设可导 则 分析 应填2Z 39 另解 40 例3 设函数 解 41 由三元方程F x y z 0所确定的z是x y的函数z f x y 称二元隐函数 因变量不能单独出现在等号一边 42 43 44 45 两边求导法 公式法 46 问题 四 求二元函数的极值 1 定义 47 3 极值存在的充分条件 48 步骤 49 条件极值及解法 求条件极值有两种方法 1 化为无条件极值 50 2 拉格朗日乘数法 求极值步骤 1 2 3 无须判定 直接根据实际问题下结论 51 52 53 例2 条件极值 某厂生产甲 乙两种产品 其销售单价分别为10万元和9万元 生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本为 又已知两种产品的总产量为100件 求企业获得最大 利润时 两种产品的产量各是多少 54 55 答 企业获得最大利润时 两种产品的产量分别为70件和30件 56 例3 某公司可通过电台 报纸两种方式做销售某种商品的广告 根据统计资料 销售收入R 万元 与电台广告费 万元 及报纸广告费用 万元 之间有关系式 1 在广告费用不限的情况下 求最优广告策略 解 1 无条件极值 利润函数 57 2 求条件极值 拉格朗日乘数法 注 因驻点唯一 且实际问题存在最大利润 故当电台广告费为0 75万元 报纸广告费为1 25万元时利润最大此为最优广告策略 以此代替检验 构造拉格朗日函数 58 解得 59 三 课后练习 60 61 62 11 已知函数 设 63 A 2和2 B 2和 2 C 3和3 D 3和 3 64 65 计算 解 变量关系如图 66 于是 67 68 解 变量关系如图 由对x求导 得 1 2 69 将 2 代入 1 得 整理解出 17 设 70 提示 18 设 71 提示 可引进中间变量 也可直接求导 令 72 19