偏导数与全微分(6).ppt

1 2 3 5 6 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二节偏导数与全微分 一 偏导数的定义及其计算方法 三 高阶偏导数 二 全微分的定义 看作常数 一 偏导数的定义及其计算法 一般地 设函数 在研究一元函数时 已经看到变化率的重要性 但与一元函数比较 多元函数的情况要复杂得多 在这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况 1 偏导数的定义 注 1 求多元函数对某一自变量的导数时 切记将其它自变量都视为常数 运用一元函数求导的方法求出偏导数 2 fx x0 y0 就是fx x y 在点 x0 y0 的值 算f x x0 y0 可用3种方法 fy x0 y0 fy x y f y x0 y0 1 用定义算 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如在处 例1 求 解法1 解法2 在点 1 2 处的偏导数 例2 设 证 例3 求 的偏导数 解 求证 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证 证 说明 R为常数 不能看作 分子与分母的商 此例表明 整体记号 有关偏导数的几点说明 当用偏导函数不能求出多元函数在某一点的偏导数时 不能断言在该点的偏导数不存在 必须用偏导数定义求 尤其是分界点 不连续点处的偏导数要用定义求 解 例5 解 按定义可知 2 二元函数偏导数的几何意义 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 对y轴的 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 如图 一边长分别为x y的长方形金属薄片 受热后 在长和宽两个方向上都发生变化 分别增加了 x y 则该金属薄片的面积A改变了多少 A称为面积函数A xy的全增量 由两部分组成 x y的线性部分 当 x y 0 0 时 是一个比 高阶无穷小 例 二 全微分的定义 定义设函数在点 x y 的某个邻域内有定义 点 x x y y 在该邻域内 如果函数在点 x y 的全增量 可以表示为 其中A B不依赖于 x y无关 而仅与x y有关 则称函数在点 处可微 称为函数在点 x y 全微分 记作dz或df x y 即 显然 dz z 1 全微分的定义 x y 处的 定理如果函数z f x y 在 x0 y0 点可微 则函数z f x y 在点 x0 y0 处连续 证根据函数可微的定义 有 当时 有 根据函数连续性定义 z f x y 在点 x0 y0 处是连续的 因此 在一元函数中 可导与可微是等价的 对于多元函数是否有此结论 结论 多元函数 可微一定连续 但连续不一定可微 问题 下面两个定理回答了此问题 定理 可微的必要条件 证明 由函数在点 x y 处可微有 如果函数在点 x y 处可微 则它在该点 x y 处的两个偏导数必定存在 且函数在点 x y 的全微分为 即 又因为中的A B与 x y无关 也就是该式对任意的 x y都成立 不妨取 y 0 则有 上式两边同除以 x 再令 x 0 则有 即说明存在 且 故有 注意 此命题不可逆 即若两偏导数都存在 也不能保证函数在点 x y 可微 例如函数 由以前的讨论可知 在点 0 0 处它的两个偏导数都存在 可该函数在此点却不连续 不连续肯定不可微 定理 可微的充分条件 如果函数的两个偏导数在点 x y 都存在且连续 则函数在该点可微分 多元函数连续 可导 可微的关系 小结 以上有关概念和定理均可以推到三元及三元以上的函数中去 由于自变量的增量等于自变量的微分 故二元函数的全微分习惯上可写为 类似地 三元函数的全微分为 所以 例3求函数在点 2 1 处的全微分 解 因为 所以 解 先求函数的两个偏导数 例2求函数的全微分 例4设函数在点 0 0 有增量 x 0 2 y 0 3 求全微分dz 解 所以 此题可理解为 在点 0 0 处x y分别有增量 x 0 2 y 0 3时 函数也产生增量 z 并且 z dz 1 8 例5求的全微分 解 1 偏导数的概念及有关结论 定义 记号 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 小结 4 多元函数连续 可导 可微的关系 三 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 则称它们是z f x y 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导 数 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 z f x y 关于x的n 1阶偏导数 再关于y的一阶 偏导数为 例1 求函数 解 注意 此处 但这一结论并不总成立 的二阶偏导数 只有当混合偏导数连续时 才与求导顺序无关 1 偏导数的概念及有关结论 定义 记号 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2 偏导数的计算方法