《勾股定理》例题精与同步练习.doc

勾股定理例题精讲与同步练习【重点难点解析】本节重难点在于熟练掌握定理内容并运用定理解决有关线段的计算问题.例1 直角三角形两直角边长为5，12，求斜边上的高.分析 利用勾股定理先求斜边，再用面积公式求斜边的高.解 设直角边a=5,b=12,斜边为c，斜边高为h,a2+b2=c2.c=13.又ab=ch h=.例2 直角三角形三边长为连续偶数，求三边的长.分析 三边长为连续偶数，可分别设为a,a+2,a+4，显然a+4为斜边，再利用勾股定理列方程.注意a为偶数.若求出的结论中a可以取奇数值，则舍去.解 设三边长为a,a+2,a+4(a为偶数且a0),斜边最长为a+4.由勾股定理a2+(a+2)2=(a+4)2 a2-4a-12=0.(a-6)(a+2)=0 a0 a+20,a-6=0 a=6.三边为6,8,10.图3.16-1例3 等腰三角形顶角为120,求底与腰的比.(图3.16-1)分析 合理的作高，将斜三角形的问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思路.解 ABC中，AB=AC BAC=120,求.AB=AC，BAC=120B=C=30，作ADBC于D，BD=DC.RtABD中，B=30，ADB=90, AD=AB.BD2=AB2-AD2=AB2-AB2=AB2 图3.16-2BD=AB,BC=AB,.例4 已知CD为RtABC斜边上的高(图3.16-2)，求证(1)CD2=ADDB (2)AC2=ADAB (3)BC2=BDAB分析 本题中有三个直角三角形RtACD,RtBCD，RtABC,合理利用这些直角三角形，用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思路.证 (1)CD为RtABC斜边上的高.ACD，BCD均为直角三角形AD2+CD2=AC2 BD2+CD2=BC2 + AD2+BD2+2CD2=AC2+BC2=AB2=(AD+DB)2=AD2+BD2+2ADBD.2CD2=2ADBD CD2=ADBD.(2)AC2=AD2+CD2 由(1)CD2=ADDB.AC2=AD2+ADDB=AD(AD+DB)=ADAB.(3)BC2=BD2+CD2 由(1)CD2=ADDBBC2=BD2+ADBD=(BD+AD)BD=ABBD.注:本例的三个结论又称“射影定理”图3.16-3【难题巧解点拨】例1 RtABC的一条直角边长BC=5，另两边为自然数，AD为角平分线，求AD的长，图(3.16-3)分析 本例首先要求出ABC的三边，考虑到AB、AC为自然数，求三边即求方程AC2+25=AB2的正整数解，直接求不好着手，可将上式变形为(AB+AC)(AB-AC)=25，利用两自然数的和、差同奇偶来求出AB，AC，求出三边后，再求AD，考虑AD为角平分线到角两边距离相等，作DEAB于E，则DC=DE，再利用RtABC，RtACD，RtAED，RtBED中的三边关系，利用勾股定理合理列出方程来求出AD的长.解 设AC=b AB=c.则b,c为自然数且c2-b2=52 (c+b)(c-b)=25.25=251=55. b0 c+bc-b且c+b,c-b均为正整数. .过D作DEAB于E. AD为角平分线DE=DC. 在RtADE和RtADC中，DE=DC DA=DAAC=AE=12.AB=13 BE=1.设CD=DE=x BD=y. AD2=AC2+CD2=()2+122=()226. AD=.本题综合性强，先利用AC，AB为自然数，利用勾股定理求出另两边，再利用角平分线性质作出DEAB于E.制造RtBDE.进而到方程求出AD的长.例2 ABC中，BC=a,CA=b AB=c BAC=120(图3.16-4)，求证a2=b2+c2+bc.图3.16-4分析 将斜三角形问题通过作高巧妙地转化为直角三角形，利用勾股定理解决有关边的计算问题是常用办法之一.证 作CDAB交BA延长线于D，BAC=120,CAD=60, D=90,AD=AC=b. CD=b.在RtCDB中图3.16-5a2=(b)2+(b+c)2=b2+b2+bc+c2=b2+c2+bc.【课本难题解答】P116复习题三B组3如图3.16-5，折叠长方形的一边AD，使D落在BC上的点F处，已知AB=8 BC=10 求EC.解 D落在F处 ADEAEF.DE=EF.AF=AD=BC=10 AB=8BF=6 FC=4.设EC=x 则FE=DE=8-x在RtCEF中，C=Rt.EC2+FC2=EF2 x2+16=(8-x)2 x=3 EC=3.【命题趋势分析】本节定理常结合三角形及直角三角形相关知识加以运算.将勾股定理作为求线段长度的重要方法一，利用特殊直角三角形(30,60,90)的直角三角形.等腰直角三角形的三边特殊的比例关系，通过作高来解决含特殊角(30,45，60,75等)的斜三角形问题，是考试中经常出现的考题.【典型热点考题】例1 已知RtABC中，C=Rt.求证：(1)若A=30,则BCCAAB=12;(2)若A=45,则BCCAAB=11.解 (1)C=Rt A=30BC=AB BC2+CA2=AB2CA=BCBCCAAB=12.(2) C=Rt A=45 B=45 CA=CB.AB2=CA2+CB2=2BC2 AB=CB BCCAAB=11点评 上述两特殊三角形中的三边的特殊比，在以后解决线段长问题中经常运用，请大家记住这两组比.图3.16-6例2 如图3.16-6，ABC中C=90,AC=BC,D在AC上，且DBC=30,求.解 设AC=BC=1, C=90AB=.DBC=30BC=DC=AC,AD=AC-DC=AC-AC=.图3.16-7例3 如图3.16-7 AC、BD交于O，且相互垂直平分，若ACAB=4825,求BDDC.解 ACAB=4825,设AC=48k,AB=25k(k0).AC,BD相互垂直平分于OOA=OC=24k OB=OD=BD.CD2=OC2+OD2=OA2+OB2=AB2 CD=25kRtCOD中，OC=24k, DC=25k OD=7kBD=14k BDDC=14k25k=1425勾股定理【同步达纲练习】一、判断(4分6=24分)( )1.直角三角形直角边长为6，8，则斜边上的高为2.4.( )2.直角三角形两边为1，2则另一边为.( )3.两直角边的比为1的直角三角形三内角比为123.( )4.等腰直角三角形斜边中线与直角边的比为1.( )5.面积为12，底边为6的等腰三角形腰长为5.( )6.高为h的等边三角形面积为h2.二、选择(5分6=30分)1.周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为( )A.12 B.16 C.20 D.242.ABC中，C=90, A=30，M为AB中点，MDAB交AC于D.若DM=7，则BC长为( )A.7 B.14 C.7 D.143.直角三角形锐角平分线分对边为15和25两部分，则斜边长为( )A.50 B.60 C.70 D.804.三角形内角比为123，则三边长度比为( )A.123 B. 12 C.1 D.135.直角三角形斜边上的高分斜边为12两部分，则三条高的比为( )A.12 B. C.1 D.26.顶角为150的等腰三角形，腰上的高与腰的比为( )A.12 B.1 C.2 D.13三、填空(5分6=30分)1.已知线段a,求作线段a时，可分别以2a和 为直角边作直角三角形，斜边即为所求.2.等腰直角三角形直角边长为1，则斜边长为 .3.等边三角形边长为2，则面积为 .4.CD为RtABC斜边上的高，AB=13，AC=12，则CD= .5.周长为30，面积也为30的直角三角形斜边中线长为 .6.两直角边之和为14，斜边长为12的直角三角形斜边上的高是 .四、解答题(8分2=16分)1.计算:RtABC中，C=Rt,CDAB于D，M为AB中点，MD=CD，求B.2.ABC中，D为BC上一点，且AB=AD，求证AC2-AB2=BCDC.【素质优化训练】1.若a,b,c,为RtABC三边的长，c为斜边长，斜边上的高为h.求证c+ha+b.2.ABC中，AB=18，BC=17，AC=18，P为形内一点，PDBC于D.PEAC于E.PFAB于F，且BD+CE+AE=27，求BD+BF的值.【生活实际运用】图3.16-8(如图3.16-8)某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路上某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么，该店与车站D的距离是多少米？【知识探究学习】利用勾股定理求线段长：若求直角三角形的边长，可由勾股定理列出含待求线段的等式即含待求线段的方程，设法解这个方程.【同步达纲练习】参考答案一、 二、D C A B B A三、1.3a 2. 3. 4. 5. 6.四、1.CDAB CD=MD CMB=45 又CM=MB B=67.52.作AEBD于E，AB=AD ED=EB.AC2-AB2=(EC2+AE2)-(EB2+AE2)=(EC+EB)(EC-ED)=BCDC【素质优化训练】1.a2+b2=c2 ab=ch(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ch(c+h)2c+ha+b.2.设BD=x CE=y