留数定理在定积分中的应用.doc

留数定理在定积分中的应用李平 指导老师：王汝军（河西学院数学与应用数学专业2010届5班8号， 甘肃张掖 734000）摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型举例说明几类特殊函数的定积分关键词 留数定理；定积分；应用中图分类号 O175Theorem of Residues in Definite Integral ApplicationLi Ping Mentor: wang Rujun（NO8，Class 5 of 2010Specialty of Mathematics and Applied Mathematics，Department of Mathematics，Hexi University，Zhangye，Gansu，734000，China）Abstract residue theory is a product which the duplicate integral and the duplicate progression theory unify, may transform using the theorem of residues along the close up integral as the computation isolated point place residue.In addition, in the mathematical analysis and the actual problem, often some integrand primary function cannot use the elementary function to indicate, even if sometimes may, the computation extremely be also complex.We use the theorem of residues to be possible to transform the request integral as the complex variable function along the closed curve integral, thus waits the squaring revolution per minute to change into the residue computation.This article first introduced the residue definition and the theorem of residues, then explain with examples specifically in view of the different integral type several kind of special function definite integrals.Keyword theorem of residues definite integral applicationChinese Library Classification O1751 留数定义及留数定理11留数的定义设函数以有限点为孤立点，即在点的某个去心邻域内解析，则积分为在点的留数，记为：12留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设是由复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则定理1 （留数定理） 设在周线或复周线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则（ “大范围”积分） （1）证明 以为心，充分小的正数为半径画圆周（）使这些圆周及内部均含于，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得，由留数的定义，有特别地，由定义得 ，代入（1）式得 2留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分21形如型的积分这里表示的有理函数，并且在上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为，这样当作定积分时从经历变到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设，则， 得 例1 计算解 令，则 例2 计算解 ，由于分母有两个根，其中，因此 22形如型的积分把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次；第二：在半平面上的极点为（1，2，3，），在实轴上的极点为（1，2，3，）则有例3 计算解 取，孤立点为，其中落在上半平面的为，故。例4 计算解 由于，且上半平面只有一个极点，因此 23形如型的积分231留数公式定理2 （若尔当引理）设函数沿半径圆周（）上连续，且在上一致成立，则证明 ，使当时，有 于是 （2）这里利用了 以及于是由若尔当不等式（）将（2）化为 即 232举例例5 计算解 不难验证，函数满足若尔当引理条件这里，函数有两个一阶极点及，于是 24形如和型积分定理3 设，其中和是互质多项式，并且符合条件：（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3）则有 （3）特别地，将（3）式分开实虚部，就可用得到形如及的积分例6 计算解 利用以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点和，得到 例7 计算（）解 被积函数为偶函数，所以，设函数关系式为，它共有四个一阶极点，即（）得 （），因为，所以在上半面只有两个一阶极点及，于是 ，故 3.小结上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理能收到很好的效果.致谢：感谢王汝军老师悉心的指导！参 考 文 献1钟玉泉.复变函数论M高等教育出版社，2004.2盖云英.复变函数