广西民族学院理学院2014-2015第一学期课程教学大纲之解.doc

空间解析几何Spatial Analytic Geometry【课程编号】BJ25115【课程类别】专业必修课【学分数】 5【适用专业】数学与应用数学，信息与计算科学【学时数】 68【编写日期】2014年6月【先修课程】初等几何、高等代数一、教学目的、任务 “解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支，它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质；后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面等）的有关性质。空间解析几何是大学数学类专业的主要基础课程之一，它是利用笛卡尔和费马发明的坐标系把几何图形化为数与数之间关系的问题进行研究，即用代数的方法来研究几何问题，从而把几何问题的研究从定性的研究推进到可以计算的定量的层面.它的基础就是引入向量代数将空间的几何结构进行代数化、数量化. 然后通过代数方程来表示和研究曲线、曲面。通过本课程的教学，使学生领悟到向量坐标化为手段的数形”结合的典范，体会到空间几何如何被解析的核心理念：用三个几何不变量和一个半不变量来研究二次曲线的简化和分类；用4个几何不变量和2个半不变量来研究二次曲面的简化和分类. 另外，使学生能运用解析方法研究几何图形的性质，并对解析表达式予以几何解释，熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟练地进行某些几何量的计算；会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高空间想象能力, 培养用形数结合的方法来解决问题的能力；更为重要的是，使学生从向量对方向的重视提升到专业定位和人生定位的哲理高度. 同时通过学习，进一步提高学生对中学几何理论与方法的理解，联系中学数学的教学，充分利用矢量工具注意矢量法与坐标的联系，从而获得高观点下处理中学几何问题的能力，以及画图能力。二、课程教学的基本要求着重掌握坐标法和向量法，利用几何不变量化简二次曲线和二次曲面. 具体细节为1理解向量的有关概念，掌握向量的运算规律以及它们的几何性质；2. 熟练掌握坐标表达式进行向量运算，并能利用向量解决一些几何问题.3. 掌握把坐标法和向量法结合起来研究空间中平面和直线的方程以及它们的性质，学会利用坐标法和向量法讨论空间曲线和曲面的参数方程，特别是常见的曲面. 4、根据曲面的方程学会采用“平行截割法”去认识曲面在空间的形状5. 掌握利用移轴转轴的坐标变换和以二次曲线的主直径为坐标轴作坐标变换来化简一般二次曲线的方法，在此基础上提升到利用三个几何不变量和一个半不变量来研究二次曲线的简化和分类；6. 掌握利用移轴转轴的坐标变换和以二次曲曲的主径面或主方向出发作坐标变换来化简一般二次曲面的方法，在此基础上提升到利用4个几何不变量和2个半不变量来研究二次曲面的简化和分类.三、教学内容和学时分配（一）第一章向量（矢量）和坐标 14学时主要内容：矢量的概念，矢量的加法，数量乘矢量，共线矢量与共面矢量，矢量的分解与线性关系，标架与坐标，矢量在轴上的射影，两矢量的数量积，两矢量的向量积，直角坐标系下数量积、向量积的分量表示，矢量的方向余弦与方向数，两矢量的交角，三矢量的混合积及其在直角坐标系下的矢量表示，三矢量的二重向量积。教学要求：掌握向量的代数运算，以及向量的内积，外积和混合积其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：（二）第二章 轨迹与方程10学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：平面上的曲线方程，空间曲线方程，曲面的参数方程教学要求：掌握平面轨迹（平面曲线）的方程过度到复杂的空间轨迹（曲面与空间曲线）方程的研究，记住摆线、内摆线、圆柱螺旋线、球面、圆柱面的参数方程以及球面坐标系、柱面坐标系的坐标变换式.其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）（三）第三章 平面与直线12学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：平面的矢量方程与坐标方程（矢量式、参数式、一般式、三点式、截距式、法线式）;点与平面的相关位置；两平面的相关位置；直线的矢量方程与坐标方程（矢量式、参数式、标准式、一般式）；直线与平面的相关位置；两直线的相关位置；平面束。教学要求：掌握把坐标法和向量法结合起来研究空间中平面和直线的方程以及它们的性质；掌握平面的方程、平面与点的相关位置、两平面的相关位置、直线与点的相关位置；了解平面束。 其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）（四）第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 10学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：柱面，锥面，旋转曲面，椭球面，双曲面，抛物面，单叶双曲面与双曲抛物面的直母线教学要求：掌握几种常见曲面：球面和旋转面， 柱面和锥面， 二次曲面，单叶双曲面与双曲抛物面的两族直母线.其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：（五）第五章 二次曲线的一般理论 13学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：二次曲线与直线的相关位置，二次曲线的渐进方向、中心、渐进线，二次曲线的切线，二次曲线的直径，二次曲线的主直径和主方向，二次曲线的化简和分类，应用不变量化简二次曲线教学要求：掌握二次曲线方程的类型，掌握二次曲线方程的化简；理解二次曲线的不变量，中心、渐近线、共轭直径、主直径和对称轴等。其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）（六）第六章 二次曲面方程的化简 9学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：二次曲面的化简及二次曲面的不变量。教学要求：理解二次曲面的渐进方向、中心、主径面、主方向、不变量；掌握二次曲面的化简。其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）四、教学重点、难点及教学方法）1、课程教学重点与难点：教学重点在于坐标法和向量法，利用几何不变量化简二次曲线和二次曲面. 难点是根据曲面的方程采用“平行截割法”去认识曲面在空间的形状；利用移轴转轴的坐标变换和以二次曲线的主直径为坐标轴（或以二次曲曲的主径面或主方向出发）作坐标变换来化简一般二次曲线（一般二次曲面）的方法. 2、教学过程采用讲授为主和学生自学相结合的形式.教学方法上，教师要突出二次曲线的不变量和二次曲面的不变量是解析几何的中心理念，将数形结合的问题提高到一个新的认识.五、考核方式及成绩评定方式考核方式：闭卷考试. 总评成绩=平时成绩*20%+段考成绩*20%+期考成绩*60%.六、教材及参考书目（一）使用教材 吕林根，许子道. 解析几何（第四版）. 高等教育出版社，2006.（二）主要教学参考书：1. 丘维声. 解析几何.北京大学出版社，1996.2. 黄宣国. 空间解析几何与微分几何.上海：复旦大学出版社，20033.宋卫东.解析几何.北京：高等教育