高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版.pptx

第二章空间向量与立体几何 4用向量讨论垂直与平行 二 1 会利用平面法向量证明两个平面垂直 2 能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直 线线 线面 面面 关系 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点空间垂直关系的向量表示 思考直线的方向向量和平面的法向量在确定直线 平面的位置时各起到什么作用 答案 1 方向向量的选取 在直线上任取两点P Q 可得到直线的一个方向向量 方向向量的不惟一性 直线的方向向量不是惟一的 可以分为方向相同和相反两类 它们都是共线向量 解题时 可以选取坐标最简的方向向量 非零性 直线的方向向量是非零向量 2 对平面法向量的两点说明 平面法向量的选取 平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量 即只需作一条垂直于平面的直线 选取该直线的方向向量 平面法向量的不惟一性 一个平面的法向量不是惟一的 一个平面的所有法向量共线 在应用时 可以根据需要进行选取 答案 返回 题型探究重点突破 题型一证明线线垂直问题例1如图 ABC和 BCD所在平面互相垂直 且AB BC BD 2 ABC DBC 120 E F分别为AC DC的中点 求证 EF BC 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 证明由题意 以点B为坐标原点 在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴 BC所在直线为y轴 在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 求直线的方向向量 证明向量垂直 得到两直线垂直 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 垂足为A AB AD于A AC CD于C ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 求证AE CD 证明以A为坐标原点建立空间直角坐标系 设PA AB BC 1 则A 0 0 0 P 0 0 1 ABC 60 ABC为正三角形 解析答案 反思与感悟 题型二证明线面垂直问题例2如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 D1B1的中点 求证 EF 平面B1AC 解析答案 反思与感悟 证明方法一设正方体的棱长为2 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 2 0 0 C 0 2 0 B1 2 2 2 E 2 2 1 F 1 1 2 1 0 1 2 1 2 0 EF AB1 EF AC 又AB1 AC A AB1 平面B1AC AC 平面B1AC EF 平面B1AC 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 同理 EF B1C 又AB1 B1C B1 AB1 平面B1AC B1C 平面B1AC EF 平面B1AC 反思与感悟 本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系 用坐标表示向量或用基底表示向量 证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算 解析答案 跟踪训练2如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为AC与BD的交点 G为CC1的中点 求证 A1O 平面GBD 解析答案 证明方法一如图取D为坐标原点 DA DC DD1所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体棱长为2 则O 1 1 0 A1 2 0 2 G 0 2 1 B 2 2 0 D 0 0 0 即OA1 OB OA1 BG 而OB BG B OA1 平面GBD 方法二同方法一建系后 设面GBD的一个法向量为n x y z 令x 1得z 2 y 1 平面GBD的一个法向量为 1 1 2 解析答案 反思与感悟 题型三证明面面垂直例3如图 底面ABCD是正方形 AS 平面ABCD 且AS AB E是SC的中点 求证 平面BDE 平面ABCD 证明设AB BC CD DA AS 1 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 又因为AS 平面ABCD 所以OE 平面ABCD 又OE 平面BDE 所以平面BDE 平面ABCD 反思与感悟 反思与感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直 二是直接求解两个平面的法向量 证明两个法向量垂直 从而得到两个平面垂直 跟踪训练3在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC AB BC AB BC 2 AA1 1 E为BB1的中点 求证 平面AEC1 平面AA1C1C 解析答案 返回 解析答案 解由题意知直线AB BC B1B两两垂直 以点B为原点 分别以BA BC BB1所在直线为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系 设平面AA1C1C的法向量为n1 x y z 令x 1 得y 1 故n 1 1 0 设平面AEC1的法向量为n2 a b c 令c 4 得a 1 b 1 故n2 1 1 4 因为n1 n2 1 1 1 1 0 4 0 所以n1 n2 所以平面AEC1 平面AA1C1C 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 已知平面 的法向量为a 1 2 2 平面 的法向量为b 2 4 k 若 则k等于 A 5B 4C 4D 5解析 a b a b 2 8 2k 0 k 5 D 1 2 3 4 5 解析答案 2 设直线l1 l2的方向向量分别为a 2 2 1 b 3 2 m 若l1 l2 则m等于 A 2B 2C 6D 10解析 l1 l2 a b 0 2 3 2 2 m 0 m 10 D 1 2 3 4 5 解析答案 3 若平面 垂直 则下面可以作为这两个平面的法向量的是 A n1 1 2 1 n2 3 1 1 B n1 1 1 2 n2 2 1 1 C n1 1 1 1 n2 1 2 1 D n1 1 2 1 n2 0 2 2 解析 1 3 2 1 1 1 0 n1 n2 0 故选A A 1 2 3 4 5 解析答案 4 若直线l的方向向量为a 2 0 1 平面 的法向量为n 4 0 2 则直线l与平面 的位置关系为 A l与 斜交B l C l D l 解析 a 2 0 1 n 4 0 2 n 2a a n l D 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知平面 和平面 的法向量分别为a 1 1 2 b x 2 3 且 则x 解析 a b 0 x 2 2 3 0 x 4 4 课堂小结 返回 1 利用空间向量解决立体几何问题的 三个基本步骤 1 建