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一 格林 Green 公式及其应用 4 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 4 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 B A 如果在区域D内 则称曲线积分 否则与路径有关 在D内与路径无关 有 积分与路径无关时 曲线积分可记为 说明 定理2设D是单连通域 在D内具有一阶连续偏导数 1 沿D中任意光滑闭曲线C 有 2 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在D内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分 即存在可微函数使 证明 B A C 即 故积分与路径无关 有 采用循环方式 得 封闭曲线 设 取起点为定点 与路径无关 只与起终点有关 终点为动点 只须证 由积分中值定理 偏增量 定积分 同理可证 因可微 的偏导数存在 因连续 偏导数连续 从而相等 于是 有 故的二阶混合 由格林公式 对任何闭曲线C 它所围成 的区域为D 有 证毕 由定理2知 曲线积分与路径无关 可以取路径为平行于 坐标轴的折线 即 注1 解 原积分与路径无关 由定理2知 由于积分与路径无关 可以取路径为平行于坐标轴的折线 这样就可求出u x y 称全微分方程 全微分 注2 例7验证 是某个函数的 全微分 并求出这个函数 证设 由定理2可知 存在函数u x y 使 是全微分方程 的通解 注 解 因积分与路径无关 故 又 知 故 由 小结 四个等价命题 设D是平面单连通区域 在D内具有一阶连续偏导数 则以下四个命题等价 在D内与路径无关 1 对D内任意闭曲线L有 4 在D内有 3 在D内有 若在某单连域内 函数P Q偏导连续 则 且 等价命题的应用 1 利用等价命题简化第二类曲线积分的计算 可选择方便的积分路径 2 可用积分法求 在D内的原函数 因积分与路径无关 故可选择方便的积分路径 比如 平行于坐标轴的折线 设 思考
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