《第1章 勾股定理》2010年综合水平测试卷.doc

菁优网第1章 勾股定理2010年综合水平测试卷 第1章 勾股定理2010年综合水平测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）已知x、y为正数，且|x24|+（y23）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A5B25C7D152（3分）直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）A4个B5个C6个D8个3（3分）下列命题：如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（ab=c），那么a2：b2：c2=2：1：1其中正确的是（）ABCD4（3分）若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定5（3分）已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A40B80C40或360D80或3606（3分）直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（）Aab=h2Ba2+b2=h2C+=D+=7（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A25B12.5C9D8.58（3分）（2005枣庄）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是（）ABCD39（3分）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A25海里B30海里C35海里D40海里10（3分）（2002福州）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A450a元B225a元C150a元D300a元二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11（3分）已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的正方形的面积为_12（3分）一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_13（3分）如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个面积是2的直角三角形；一个面积是2的正方形14（3分）把一根长为10cm的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9cm2，那么还要准备一根长为_的铁丝才能按要求把三角形做好15（3分）（2012翔安区质检）如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是_cm16（3分）已知点P是边长为4的正方形ABCD的AD边上一点，AP=1，BEPC于E，则BE=_17（3分）已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为_cm时，这三条线段能组成一个直角三角形18（3分）（2003吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2三、解答题（共8小题，满分66分）19（6分）如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米20（6分）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CAAB于A，DBAB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？21（7分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高22（7分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90，求四边形ABCD的面积23（10分）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km，那么：（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）最好选择什么方向？24（10分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？25（10分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？26（10分）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为_cm第1章 勾股定理2010年综合水平测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）已知x、y为正数，且|x24|+（y23）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A5B25C7D15考点：勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方744438 分析：本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长斜边长的平方即为正方形的面积解答：解：依题意得：x24=0，y23=0，x=2，y=，斜边长=，所以正方形的面积=（）2=7故选C点评：本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系2（3分）直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）A4个B5个C6个D8个考点：勾股定理；因式分解的应用744438 分析：设直角三角形的斜边是c，另一条直角边是a根据勾股定理，得c2a2=122=144，则（c+a）（ca）=144，借助因式分解的方法即可求得另外两边的可能值解答：解：设直角三角形的斜边是c，另一条直角边是a根据勾股定理，得c2a2=122=144，即（c+a）（ca）=144，则有或或或则另外两边可能是37，35或20，16或15，9或13，5故选A点评：根据勾股定理得到另外两条边的平方差，再进一步借助因式分解和因数分解的知识，得到关于两条边的方程组，从而求解3（3分）下列命题：如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（ab=c），那么a2：b2：c2=2：1：1其中正确的是（）ABCD考点：勾股定理的逆定理；勾股数744438 分析：本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形解答：解：正确，a2+b2=c2，（4a）2+（4b）2=（4c）2，错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”错误，122+212252，不是直角三角形；正确，b=c，c2+b2=2b2=a2，a2：b2：c2=2：1：1，故选C点评：此题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识点的综合运用4（3分）若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定考点：勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式744438 分析：将a2+b2+c2=10a+24b+26c338进行配方，求出a，b，c，根据勾股定理的逆定理判断ABC的形状解答：解：ABC是直角三角形理由是：a2+b2+c2=10a+24b+26c338，（a5）2+（b12）2+（c13）2=0，a5=0，b12=0，c13=0，即a=5，b=12，c=1352+122=132，ABC是直角三角形故选C点评：本题考查了勾股定理逆定理的应用，是基础知识，比较简单5（3分）已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A40B80C40或360D80或360考点：勾股定理；等腰三角形的性质744438 分析：根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况，然后根据勾股定理计算求解即可解答：解：由题意可作图左图中AC=10，CD=6，CDAB根据勾股定理可知AD=8BD=2BC2=22+62=40右图中AC=10，CD=6，CDBD，根据勾股定理知AD=8BD=18BC2=182+62=360故选C点评：本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可6（3分）直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（）Aab=h2Ba2+b2=h2C+=D+=考点：勾股定理744438 分析：根据直角三角形的面积的计算方法，以及勾股定理就可解得解答：解：根据直角三角形的面积可以导出：c=再结合勾股定理：a2+b2=c2进行等量代换，得a2+b2=两边同除以a2b2，得+=故选D点评：熟练运用勾股定理、直角三角形的面积公式以及等式的性质进行变形7（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A25B12.5C9D8.5考点：三角形的面积744438 专题：网格型分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答解答：解：如图：小方格都是边长为1的正方形，四边形EFGH是正方形，SEFGH=EFFG=55=25SAED=DEAE=12=1，SDCH=CHDH=24=4，SBCG=BGGC=23=3，SAFB=FBAF=33=4.5S四边形ABCD=SEFGHSAEDSDCHSBCGSAFB=251434.5=12.5故选B点评：本题考查的是勾股定理的运用，根据图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答8（3分）（2005枣庄）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是（）ABCD3考点：圆锥的计算；平面展开-最短路径问题744438 分析：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题解答：解：图扇形的弧长是2，根据弧长公式得到2=，n=120即扇形的圆心角是120，弧所对的弦长AA=23sin60=3，故选C点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决9（3分）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A25海里B30海里C35海里D40海里考点：勾股定理的应用；方向角744438 分析：根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角然后根据路程=速度时间，得两条船分别走了32，24再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离解答：解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，BAC=90，两小时后，两艘船分别行驶了162=32，122=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）故选D点评：熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单10（3分）（2002福州）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A450a元B225a元C150a元D300a元考点：解直角三角形的应用744438 专题：压轴题分析：求出三角形地的面积即可求解如图所示，作BDCA于D点在RtABD中，利用正弦函数定义求BD，即ABC的高运用三角形面积公式计算面积求解解答：解：如图所示，作BDCA于D点BAC=150，DAB=30，AB=20米，BD=20sin30=10米，SABC=3010=150（米2）已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要150a元故选C点评：本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11（3分）已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的正方形的面积为100或28考点：勾股定理744438 专题：分类讨论分析：以x为边长的正方形的面积是x2，所以只需求得x2即可但此题应分8为直角边和为斜边两种情况考虑解答：解：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2=36+64=100；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2=6436=28所以以x为边长的正方形的面积为100或28点评：此题一定要注意分两种情况，不要漏解12（3分）一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是10考点：平面展开-最短路径问题744438 分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB=10，即蚂蚁所行的最短路线长是10点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线13（3分）如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个面积是2的直角三角形；一个面积是2的正方形考点：作图基本作图744438 分析：面积是2的直角三角形只需两直角边长为2，2即可；面积是2的正方形的边长为，是直角边长为1，1的两个直角三角形的斜边长解答：解：如图所示：点评：直角三角形的两直角边的积等于面积的2倍；边长为无理数应先找到所求的无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长14（3分）把一根长为10cm的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9cm2，那么还要准备一根长为8cm的铁丝才能按要求把三角形做好考点：勾股定理的逆定理744438 分析：设两直角边分别为x，y，再根据已知利用完全平方公式可求得两边的平方和，从而得到了斜边的平方即可求得斜边的长，即求得了还需的铁线的长度解答：解：设两直角边分别为x，yx+y=10，xy=9（x+y）2=x2+y2+2xy=102x2+y2+218=100x2+y2=64=82还需要准备一根8cm的铁丝点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的运用能力15（3分）（2012翔安区质检）如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是11cm考点：勾股定理的应用744438 专题：应用题分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，故：c=13cm，h=2413=11cm点评：本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键16（3分）已知点P是边长为4的正方形ABCD的AD边上一点，AP=1，BEPC于E，则BE=考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质744438 分析：在RtPDC中，由勾股定理可求出PC的长，由于四边形ABCD是正方形且BEPC于E，可证出BECCDP，所以=，分别将BC、CD、PC的值代入即可求出BE的长解答：解：如下图所示：PD=ADAP=41=3在RtPDC中，PD=ADAP=41=3，DC=4，由勾股定理可得：PC2=PD2+DC2，即：PC=5，BCE+CBE=90，BCE+DCP=90CBE=DCP，又BEC=D=90，BECCDP，=，BE=CD=4=点评：本题主要考查了运用勾股定理的能力，用到的知识点有相似三角形的判定及性质，此题属于常考类型题17（3分）已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为13或cm时，这三条线段能组成一个直角三角形考点：勾股定理的逆定理744438 分析：已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果解答：解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；当12为斜边时，第三条线段长为=故填13或点评：本题考查了勾股定理的逆定理，注意要分两种情况讨论18（3分）（2003吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2考点：勾股定理744438 专题：压轴题分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积解答：解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2点评：熟练运用勾股定理进行面积的转换三、解答题（共8小题，满分66分）19（6分）如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米考点：勾股定理的应用744438 分析：将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接AB，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可解答：解：将正面和左面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则ABC为直角三角形，AC=8+6=8m，BC=5m，AB=m故壁虎爬到蚊子处的最短距离为m将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6m，垂直距离为7m，此时的最短距离为m将下面和右面展开，则A到B的水平距离为11m，垂直距离为2m，此时的最短距离为5m综上所述，壁虎爬到蚊子处的最短距离为米点评：本题考查勾股定理的应用，本题的关键是将长方体展开，用勾股定理求出壁虎所走的最短距离20（6分）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CAAB于A，DBAB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？考点：勾股定理的应用744438 分析：设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解解答：解：设AE=xkm，则BE=（25x）km；在RtACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152；同理可得：DE2=（25x）2+102；若CE=DE，则x2+152=（25x）2+102；解得：x=10km；答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等点评：此题主要考查的是勾股定理的应用21（7分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高考点：勾股定理的应用744438 分析：根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高解答：解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在RtABC中，AB2+BC2=AC2x2+52=（x+1）2解得x=12AB=12旗杆的高12m点评：此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力22（7分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90，求四边形ABCD的面积考点：勾股定理的逆定理；勾股定理744438 分析：连接BD，根据已知分别求得ABD的面积与BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积解答：解：连接BD，AB=3cm，AD=4cm，A=90BD=5cm，SABD=34=6cm2又BD=5cm，BC=13cm，CD=12cmBD2+CD2=BC2BDC=90SBDC=512=30cm2S四边形ABCD=SABD+SBDC=6+30=36cm2点评：此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算连接BD，是关键的一步23（10分）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km，那么：（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）最好选择什么方向？考点：勾股定理的应用744438 专题：应用题分析：（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程速度进行计算（2）根据在30千米范围内都要受到影响，可以根据游人的速度求游人撤离的时间，再结合第一问的结论进行分析解答：解：（1）在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=120.12020=6时；（2）根据题意，得游人最好选择沿AD所在的方向撤离撤离的时间=306=5又台风到点D的时间是6小时即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿AD所在的方向点评：此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析24（10分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？考点：勾股定理的应用744438 分析：（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离（3）设这个相等的距离为x，根据勾股定理，列出方程，求解，得出x，则梯子距离地面的距离为（24x）米解答：解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：=24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为（244）=20米，根据勾股定理：，解得AB=8米即下端滑行了8米（3）设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x，根据题意，解得，x=17米，即梯子顶端距离地面的高度为（2417）=7米答：（1）梯