2.2.1函数的单调性

淮安中学程宏咏 函数的单调性 1 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 艾宾浩斯遗忘曲线 图象给人的直观感受是 问题1 通过实验研究 专家发现 中学生听课的注意力指标是随着老师讲课时间的变化而变化的 讲课开始时 学生的兴趣激增 中间有一段时间 学生的兴趣保持平稳的状态 随后开始分散 学生注意力指标数随时间变化的函数图象如图所示 指标数越大表示学生注意力越集中 案例2 x 时间 分 y 注意力指标数 0 20 10 20 45 48 2 学生注意力指标数随时间变化的函数图象变化图 指标数越大表示学生注意力越集中 我们学过的具体函数是否也有着相同的特点呢 问题2 问题3 你能明确说出 图象呈逐渐上升趋势 的意思吗 图象呈下降趋势当x的值增大时 函数值y反而减小 函数的这种性质称为函数的单调性 在某一区间内 图象呈上升趋势 当x的值增大时 函数值y也增大 问题4 怎样用规范的数学符号语言来表述函数的单调性呢 例如 怎样表述函数y f x 在区间 0 上当x的值增大时 函数值y也增大 1 对于函数y f x 若在区间 0 上 当x 1时 y 1 当x 2时 y 3 能说在区间I上函数值y随自变量x的增大而增大吗 问题5 2 对于函数y f x 若区间 0 上有n个数x1 x2 x3 xn 它们的函数值满足 y1 y2 y3 yn 能说在区间I上y随x的增大而增大吗 x应该取遍区间I内所有实数 真的要取遍所有的实数吗 如果在区间 0 上任意取两个值x1和x2 当x1 x2时 都有y1 y2 那么可不可以说随着x的增大 函数值y也增大呢 至此 你能给出函数y f x 在区间I上是单调增函数的定义吗 问题6 定义中的关键词有哪些 IA 任意 都有 问题7 问题8 如何定义一个函数是单调减函数 减函数定义 那么就说y f x 在区间I上是单调减函数 I称为y f x 的单调减区间 如果函数y f x 在区间I是单调增函数或单调减函数 那么就说函数y f x 在区间I上具有单调性 单调增区间和单调减区间统称为单调区间 单调性 单调区间 1 定义在R上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 是R上的增函数 2 函数f x 是R上的增函数 则必有f 2 f 1 3 定义在R上的函数f x 满足f 2 f 1 则函数f x 在R上不是减函数 辨一辨更清晰 例1 画出下列函数图象 并写出单调区间 例1 画出下列函数图象 并写出单调区间 两区间之间用和或用逗号隔开 能否写成 问题9 如果一个函数y f x 在某个区间上是单调增函数 那么在其定义域上是不是一定为单调增函数 有没有在定义域上没有单调性的函数 函数的单调性是对某个区间而言的 它反映的是函数局部性质 这里有多种情况 如常函数和定义域不是区间的函数等 问题10 问题11 思考 2 若把区间改为 结论变化吗 例2 求证 函数在区间上是单调增函数 1 怎样用定义来证明 练习1 证明 函数在区间 1 上是单调减函数 证明 函数在区间 1 上是单调减函数 证 在区间 1 上任意取两个值 且 取值 作差变形 定号 判断 则 2 函数单调性的定义 3 证明函数单调性的步骤 回顾小结 本节课主要学习了以下内容 1 单调函数的图象特征 布置作业 必做 P40练习1