离散傅立叶变换-1.ppt

2020年2月12日星期三 1 第三章离散傅立叶变换CHARPTER3DISCRETEFOURIERTRANSFORM 第一节傅立叶变换的几种形式第二节周期序列的傅立叶级数第三节离散傅立叶变换定义及性质第四节离散傅立叶变换的应用 2020年2月12日星期三 2 第一节离散傅氏变换的形式 傅氏变换是以时间为自变量的 信号 与以频率为自变量的 频谱 函数之间的一种变换关系 当自变量 时间 和 频率 取连续值或离散值时 就形成不同的形式的傅立叶变换对 2020年2月12日星期三 3 一 非周期连续时间 频率 傅氏变换 非周期连续时间信号x t 和它的频谱密度函数X j 构成的傅立叶变换对为 以连续时间矩形脉冲为例 2020年2月12日星期三 4 二 周期连续时间 离散频率 傅氏级数 周期为T的连续时间信号x t 傅氏级数系数为X jk X jk 是以角频率 为间隔的离散函数 离散频谱 与时间信号周期之间的关系 傅氏级数将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为 整数倍的谐波 k为各次谐波序号 2020年2月12日星期三 5 三 非周期离散时间 连续频率 序列傅氏变换 非周期离散时间信号 序列 的傅氏变换 式中 是数字频率 若序列x n 由模拟信号x t 抽样所得 抽样间隔为Ts 则抽样角频率为 S 2 Ts 由于 T 所以 S STS 上式亦可表示为 2020年2月12日星期三 6 时域的离散造成频域的周期延拓时域的非周期性对应与频域的连续性 离散时间序列及其频谱 2020年2月12日星期三 7 对于一个有限长序列将其以N为周期进行周期性延拓得 由于周期序列不是绝对可和 无论z取任何值 其z变换都是不收敛的 即 因此周期序列不能用z变换或傅立叶变换来进行讨论 第二节周期序列的离散傅氏级数 2020年2月12日星期三 8 一 离散傅立叶级数定义 设是周期为T的模拟信号的抽样 每个周期抽样N个 即 则也是周期的 周期为或N 将展成付氏级数 是付氏级数系数 离散非周期 对上式抽样 2020年2月12日星期三 9 抽样间隔为的序列的频谱函数应以 S 2 Ts为周期 因为是离散和周期的 所以频谱函数也是离散 周期的 上式表明频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N 即离散傅氏变换的时间序列和频率序列的周期都是N 2020年2月12日星期三 10 2020年2月12日星期三 11 从而得到离散傅立叶变换对为 2020年2月12日星期三 12 离散傅立叶级数表明是以N为周期的周期序列 其基波成分为 k次谐波成分为 为DFS的k次谐波分量的复系数 由于的周期性 当已知0 N 1次谐波成分后 根据周期性就可以确定其余的谐波分量 令 则DFS变换对可写成 2020年2月12日星期三 13 二 离散傅立叶级数的性质 假定和是周期皆为N的两个离散周期序列 它们的DFS为 线性式中为任意常数 可见由两个离散周期序列和线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列 2020年2月12日星期三 14 移位特性时域移位频域移位如果 N 那么证明 2020年2月12日星期三 15 时域卷积特性两个周期都为N的周期序列和 它们卷积的结果也是周期为N的周期序列 即m的取值由0 N 1 因此称为周期卷积 2020年2月12日星期三 16 设若则有这就是时域卷积定理 周期卷积与DFS的关系 2020年2月12日星期三 17 证明 2020年2月12日星期三 18 频域卷积特性对于时域周期序列的乘积 同样对应于频域的周期卷积 若则 2020年2月12日星期三 19 第三节离散傅立叶变换 设x n 是长度为N的有限长序列 可以把它看作是周期为N的周期序列的一个主周期 而将看作是x n 以N为周期进行周期延拓得到 即同理 2020年2月12日星期三 20 反变换 离散傅立叶变换的正变换 2020年2月12日星期三 21 二 离散傅立叶变换的性质 线性若两个有限长序列和的线性组合 则有 式中为任意常数 若和长度均为N 则长度为N 若和的长度不等 分别为N1和N2 则的长度为N max N1 N2 若和都是N点的有限长序列 有 2020年2月12日星期三 22 有限长序列x n 的圆周移位是以其长度N为周期 将其延拓成周期序列并进行移位 然后取主值区间 n 0到N 1 上序列值 一个有限长序列的右圆周移位定义为 序列的圆周移位 2020年2月12日星期三 23 证明 由周期序列的时域移位性质由于有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列 有 时域移位定理 2020年2月12日星期三 24 若 则 上式称为频率移位定理 也称为调制定理 此定理说明时域序列的调制等效于频域的圆周移位 频域移位定理 2020年2月12日星期三 25 任一序列都可表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和 周期序列的共轭对称分量和共轭反对称分量都是周期的 且周期为N 其主值序列为有限长序列 分别称为圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量 共轭对称性 2020年2月12日星期三 26 设序列x n 的长为N 以N为周期的周期延拓序列为 该延拓序列的共轭对称分量和共轭反对称分量为 2020年2月12日星期三 27 有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量定义为 由于满足 有 2020年2月12日星期三 28 DFT的一系列的对称性质 式中x n 是x n 的共轭复序列 复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称部分 2020年2月12日星期三 29 复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称部分 即 若x n 是实序列 则X k 只有圆周共轭对称部分 即 若x n 是纯虚数序列 则X k 只有圆周共轭反对称部分 即满足 7 2020年2月12日星期三 30 例 设x1 n 和x2 n 都是实数序列 试求X1 k 和X2 k 解 先利用这两个实数序列构成复序列 有又故同样故因此可以用一次DFT计算出Y k 然后用上面的公式计算出X1 k 和X2 k 2020年2月12日星期三 31 例 试利用DFT的对称特性求和的DFT 解 设因为所以 2020年2月12日星期三 32 而因为所以 2020年2月12日星期三 33 帕斯瓦尔 Parseval 定理证明 若y n x n 则即 2020年2月12日星期三 34 圆周卷积 时域圆周卷积设x1 n 和x2 n 都是N点的有限长序列 有若则此卷积过程与周期卷积和过程一致 不过要取结果的主值序列 仅在0 m N 1取值 因而是圆周移位 因此这个卷积和称为圆周卷积和 2020年2月12日星期三 35 频域圆周卷积利用时域与频域的对称性若则 圆周相关定理若则 2020年2月12日星期三 36 若信号x n 和单位抽样响应h n 都是有限长序列 能否用圆周卷积的运算来代替线性卷积运算 设x1 n x2 n 分别为N1点 N2点有限长序列 x1 n 和x2 n 的线性卷积 x1 m 的非零区间为0 m N1 1 x2 n m 的非零区间为0 n m N2 1 则 0 n N1 N2 2 用圆周卷积求线性卷积 2020年2月12日星期三 37 设x1 n 和x2 n 进行L圆周卷积 L max N1 N2 将两个序列都补零为长度为L点的序列 即则 x1 n 和x2 n 的圆周卷积 2020年2月12日星期三 38 将任一序列变成L点周期延拓序列 即L点的圆周卷积y n 是线性卷积yl n 以L为周期的周期延拓序列的主值序列若L N1 N2 1 则L点圆周卷积能代表线性卷积 2020年2月12日星期三 39 两个有限长序列的圆周卷积和线性卷积 2020年2月12日星期三 40 第四节离散付氏变换应用 一 对连续时间非周期信号傅氏变换逼近连续时间非周期信号x t 的傅立叶变换对为 2020年2月12日星期三 41 采样 对x t 以T为间隔进行采样 由于因此 截断 将x n 截成长为N的有限长序列 有由于时域抽样频率为fS 1 T 频域产生以fS为周期的周期延拓 若频域为带限信号 则有可能不产生频域混迭 而成为连续周期频谱 2020年2月12日星期三 42 频域抽样 在频域一个周期中取N个样点 样点间隔为F0 fS F0 频域抽样使频域积分变成求和 而在时域就得到原截断离散时间序列的周期延拓 时域周期为 F0 因此有 从而得 2020年2月12日星期三 43 因此得到 2020年2月12日星期三 44 二 对连续时间周期信号的傅氏级数的逼近 连续时间周期信号x t 的傅立叶级数对为 T0为连续时间周期信号的周期 1 时域抽样x n x nT x t t nT 设一个周期内的样点数为 2020年2月12日星期三 45 因此得到逼近连续时间周期信号傅立叶级数对的公式 将频域离散序列截断 截断长度为一个周期 时域抽样造成频域周期延拓的一个周期 有 2020年2月12日星期三 46 三 DFT计算模拟信号可能出现的问题 频域的混迭失真及参数的选择 截断效应 栅栏效应 2020年2月12日星期三 47 由采样定理可知仅当采样频率fS大于信号最高频率fh两倍时才能避免频域混迭 即抽样间隔满足 1 fS 1 2fh实际信号持续时间有限 其频谱宽度无限 所以一般先对信号进行低通滤波 抗混迭滤波 以限制高频分量 DFT得到的频率函数是离散的 其频域间隔为F0 频率分辨力 T0 1 F0为最短信号记录长度 为了对全部信号进行采样 必须使抽样点数N满足条件 频域的混迭失真及参数的选择 2020年2月12日星期三 48 例 某频谱分析用FFT处理器 其抽样点数必须是2的整数幂 假定没有采用任何特殊的数据处理措施 已知给定的条件为 频率分辨率 10Hz 信号最高频率 4kHz 试确定以下参量 最小记录长度 抽样点间最大时间间隔 最小抽样频率 在一个记录中最少点数 解 最小记录长度 抽样点间的最大时间间隔 2020年2月12日星期三 49 实际序列x n 长度往往很长 用DFT对其进行谱分析时 须将它截为长度为N的有限长序列 即 根据频率卷积定理 有式中 其中部分称为主瓣 假设 则 截断效应 2020年2月12日星期三 50 2020年2月12日星期三 51 序列截断后的频谱与原序列频谱有着明显的差别 对谱分析带来两方面影响 1 频谱泄露原序列x n 频谱是离散谱 经截断后使每根谱线都带上一个辛格谱 好象使谱线向两边延伸 通常将这种因时域上截断导致频谱展宽称之为 泄露 泄露使频谱变得模糊 分辨率降低 2020年2月12日星期三 52 因截断在主谱线两边形成旁瓣 引起不同分量间的干扰 称之为谱间干扰 这不仅影响频谱分辨率 严重时强信号的旁瓣可能湮灭弱信号的主谱线 或将强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的谱线 从而形成假信号 使谱分析产生较大的偏差 截断效应无法完全消除 只能根据要求折衷处理 A 取更长的数据 即使截断窗加宽 当然数据增大必然导致存储量和运算量增加B 数据不突然截断 即不加矩形窗 而是缓慢截断 加缓变窗 如三角窗 升余弦窗等 使窗谱的旁瓣能量更小 卷积后