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空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量基本定理 定理 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 i j k 这个基底叫做单位正交基底 单位向量i j k都叫做坐标向量 一 空间向量的直角坐标运算 1 空间直角坐标系与原点 O xyz 2 坐标向量 3 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 分别称为xOy平面 yOz平面 zOx平面 4 右手直角坐标系 空间直角坐标系中的坐标 横坐标a1 纵坐标a2 竖坐标a3 在空间直角坐标系Oxyz中 已知任一向量a 根据空间向量分解定理 存在唯一数组 a1 a2 a3 使 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 为实数 a b a1b1 a2b2 a3b3 则 x y z 就是P的坐标 即P x y z 设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 AB OB OA x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 中点坐标公式 A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 设M为AB中点 M点坐标为M x0 yo zo 其中x0 x1 x2 2 y0 y1 y2 2 z0 z1 z2 2 二 空间向量平行和垂直的条件 a b b 0 a b 共线 垂直 例1已知a 1 1 0 b 0 1 1 c 1 0 1 p a b q a 2b c 求 p q p q 解 p a b 1 1 0 0 1 1 1 0 1 q a 2b c 1 1 0 2 0 1 1 1 0 1 0 3 1 p q 1 0 1 0 3 1 1 0 0 3 1 1 1 例题 例2已知向量a 2 2 0 b 2 0 2 求向量n使n a 且n b 解 设n x y z 则 n a x y z 2 2 0 2x 2y 0 n b x y z 2 0 2 2x 2z 0 所以y x z x 于是n x x x x 1 1 1 显然当x取任意实数时 可以得到无数个向量都满足题意 三 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 空间两点间的距离公式 例3已知A 3 3 1 B 1 0 5 求 线段AB的中点坐标和长度 解 设M x y z 是AB的中点 则 例4已知A 3 3 1 B 1 0 5 求 到A B两点距离相等的点P x y z 的坐标x y z满足的条件 解 设点P到A B的距离相等 则 化简 得4x 6y 8z 7 0 即到A B距离相等的点的坐标 x y z 满足的条件是4x 6y 8z 7 0 例5在正方体ABCD A1B1C1D1中 B1E1 D1F1
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