光学习题答案

第五章53. 用劈形棱镜的相位变换函数导出傍轴光束斜入射时产生的偏向角.图53解 如图53，入射光束傍轴倾斜角为，其波前函数为.经薄棱镜相位变换函数作用以后，出射波前函数为，式中，.运用相因子判断法可知，出射光为倾角等于的平行光，所以偏向角为.最后一个等号右边的负号说明，当顶角在上方时，则偏向角朝下（顺时针偏转）；当顶角在下方时，则偏向角朝上（逆时针偏转）。54. 在一相干成像系统中，镜头（作为入射光瞳）的相对孔径为，求此系统的截止频率。设物平面在前焦面附近，照明波长为.图54解 如图54，系统的截止频率由镜头口径限制的最大出射角决定，其关系为.从几何上看，大体上，所以.取镜头的相对孔径，算得.511. 如本题图a，参考光束和物光束均为平行光，对称地斜入射于记录介质上，即，二者间的夹角.（1）试说明全息图上干涉条纹的形状；（2）试分别写出物光波和参考光波在平面上的相位分布和；（3）试证明全息图上干涉条纹的间距公式为,（4）试计算，当夹角时间距为多少？当夹角时间距为多少？（采用激光记录，）（5）某感光胶片厂生产一种可用于全息照相的记录干版，其性能如下：感光层厚度为，分辨率为以上。利用题（4）所得数据，试说明：当夹角时，用该记录干版是否构成一张体全息图？当夹角时，该记录干版的分辨率是否匹配？（6）如本题图b，采用与参考光束同样波长同样倾角的照明光束照射该张全息图，试分析级、级、级三个衍射波都出现在什么方向上，并在图上画出？图511解 （1）条纹形状为一组与轴正交的等距直线。（2）物光波和参考光波在平面上的相位分布函数分别为，式中为物光波和参考光波在面坐标原点处的相位差。（3）应从相位差的改变来确定条纹的间距。当场点坐标改变一个条纹间距时，则相位差改变，干涉强度还原。由（2）知道，物光波与参考光波在面上的相位分布为，其改变量为.令，得.（4）当时，得；当时，得.（5）当时，条纹间距和感光层厚度之间满足.故该记录干版可以构成一张体全息图。干版的最小分辨率距离为.可见，且两者同数量级，是匹配的。（6）记录时，干涉场的强度分布为.经线性冲洗后，这张全息底片的透过率函数为.经照明光波作用，投射场为.式中，分别为照明光波、物光波、参考光波三列平面波的波前函数：，.于是透射场的具体形式为.运用相因子判断法可以看到，透射场包含的主要成分是三列平面衍射波（图54（c），可写成，其中级波是照明光束照直前进的投射平面波，振幅有所下降；级波是物光波的再现波，但振幅有所变化；级波是方向被进一步偏转的物光共轭波.偏转角的正弦值为. 如选，则；如选，则，不符合正弦函数的取值范围。实际上，此时的级衍射波已经失掉正常平面波的特性而成为隐失波。513. 如本题图a，用正入射的平面参考光波记录轴外物点发出的球面波。（1）如本题图b所示，用轴上的点源发出的球面波来重建波前，求级两像点的位置；（2）用与记录全息图时不同波长的正入射平面波照明，求级两像点的位置。图513解 （1）首先分别写出物光波、参考光波、照明光波的波前函数。设物点的坐标为，物点的初相位不为零，以使其波前在面原点处的位相为零。于是在傍轴条件下，有.正入射时的平面参考光波波前函数为.设轴上照明点源的坐标为，在傍轴条件下，其波前函数为.将它们代入线性冲洗条件下透射场的标准形式：，即可分别求得，级衍射波。其中级衍射波的波前函数为.显然，它表示中心在点处的发散球面波，也就是照明波的直接透射波，但振幅不同于.级衍射波的波前函数为，式中，（无关紧要的常数）.运用相因子判断法可知，波是一列中心在轴外的发散球面波，其中心坐标（即像点位置）为；换句话说，是变换后的物光波，与物光波的中心坐标相比，波的纵向位置，横向位置.横向放大率为 .级衍射波的波前函数为式中，（无关紧要的常数）.运用相因子判断法可知，波是一列中心在轴外的傍轴球面波。究竟它是汇聚球面波还是发散球面波，要看的符号.不难看出，当时，波为汇聚球面波；当时，波为发散球面波。总之，级球面衍射波的中心坐标（即像点位置）为；横向放大率为 .当时，;当时, .通过以上具体分析，有两点值得强调指出：照明球面波的作用是在和波前面提供一个二次相位因子的变换函数，实际上相当于透镜的作用。当照射球面波为发散型时，其作用相当于负透镜；当照射球面波为会聚型时，其作用相当于正透镜。等效透镜的焦距便是照明点源的纵向距离。所谓“全息成像是无透镜的透镜成像”，其道理就在于此。通常说，全息底片再现时将孪生两个像：一个是物光波的再现像（虚像）；另一个是物光波的共轭像（实像）。这个具体结论是有条件的，即在参考光波和照明光波均为平面波时通常如此。如果照明光波或参考光波为球面波时，情况就不一定是这样了。既然此时照明光波或参考光波相当于一个透镜的作用，和波将重新成像而被移位、缩放，甚至可能使得它们全是发散播（全是虚像）或全是会聚波（全是实像）。（2）此时，照明光波波前函数为.透射场仍然包含三项，即.在运用相因子判断法分析衍射场的主要特征时，必须将波函数改写为以照明波的波数为特征的标准形式。上式中的第一项很简单，代表正出射的平面衍射波。第二项为，式中，（无关紧要的常数）.由此可见，波前代表轴外发散的球面衍射波，其发散中心坐标（即级像点位置）为。纵向放大率为，而横向坐标不变。第三项为，式中，（无关紧要的常数）.由此可见，波前代表轴外会聚的球面衍射波，其会聚中心坐标（即级像点位置）为。纵向放大率为，而横向坐标不变。不过，应当注意到，如果照明光波是斜入射的平面波时，横向放大率将不等于，与波长比值有关。第六章63. 将一偏振片沿角插入一对正交偏振器之间，自然光经过它们强度减为原来的百分之几？图63解 设偏振片，正交，则最终通过的光强为（消光）.若在，之间插入另一块偏振片，与夹角为（如图63），则最终通过的光强为，式中为入射光强，分别为通过，后的光强。当时，.64. 计算从空气到水面的布儒斯特角（水的折射率）。解 光从一介质（折射率为）到另一介质（折射率为）时的布儒斯特（Brewster）角公式为.据此算出从空气到水的布儒斯特角.638. 强度为的单色平行光通过正交尼科耳棱角。现在两尼科耳棱镜之间插入一片，其主截面与第一尼科耳棱镜的主截面成角，求出射光的强度（忽略反射、吸收等损失）。图638解 用偏振光干涉的方法求解。如图638，对通过第一块尼科耳棱镜的线偏振光的振幅作两次投影，得第二块尼科耳棱镜透振方向的两个振动的振幅，其值分别为，.再仔细分析这两个振动之间总的相位差，式中为片入射点处振动的相位差：；为晶片体内传播附加的相位差：（我们取）；为轴、轴正向朝方向投影的相位差：.所以.最后通过的光强是，相干叠加的结果，即.如果取，上式等号右边的第三项（交叉项）仍然为零，不变。639. 一块厚的方解石晶片，表面平行于光轴，放在正交尼科耳棱镜之间，晶片的主截面与它们成角，试问：（1）在可见光范围内哪些波长的光不能通过？（2）如果将第二个尼科耳棱镜的主截面转到与第一个平行，哪些波长的光不能通过？图639解（1）如图639所示，这是一个由偏振光干涉而引起的显色问题。我们须知，对于给定的某一厚度的晶片来说，虽然，光的光程差是确定的，即，但相位差却因波长而异：.凡是使相位差满足的光从晶片出来后，仍为与透振方向一致的线偏振光，如图。因与正交，这些光将不能通过.据此，算出这一系列波长满足.将钠黄光的，及代入上式分子，得.故当时，可算出，其中大体落在可见光波段。（2）如果转到与平行的方向，情况正好相反。上述几种波长的光将完全通过，而使相位差满足的光经晶片作用后，虽然仍为线偏振光，但其振动方向绕光轴转，正好与正交而消光。据此，算出这一系列波长应满足，故当时，可算出，.这些波长大体落在可见光波段。643. 已知水晶对钠