空间问题的基本解法.ppt

小结 基本方程与边界条件 1 平衡微分方程 3个 2 几何方程 6个 应变协调方程 由几何方程导出 不作为基本方程 第七章空间问题的基本解法 3 物理方程 6个 共15个方程 15个未知函数 在适当的边界条件下可求出 4 边界条件 1 位移边界条件 第一类边值问题 2 应力边界条件 第二类边值问题 3 混合边界条件 第三类边值问题 边界 fi 平衡方程 本构关系 几何方程 静力学方面 几何学方面 相应的解法有 1 按位移求解 2 按应力求解 3 混合解法 7 1空间问题的位移解法 物理方程 直角坐标 代入平衡方程 拉梅 Lam 方程 边界条件 在直角坐标系中 对于轴对称问题 求解方程成为 对于球对称问题 求解方程成为 7 2位移势函数 当不计体力时 Lam 方程成为 如何求解 引入位移函数 使方程变得简单 假设位移是有势的 从而有 特别的 取 则 如果找到适当的调和函数 使得 能够满足边界条件 就得到该问题的 正确解答 问题归结为 此时 轴对称问题 代入无体力的平衡方程中 得到 取 应为调和函数 此时 问题归结为 如果找到适当的调和函数 使得给出的 能够满足边界条件 就得到该问题的 正确解答 应当指出 并不是所有问题中的位移都是有势的 如果位移势函数存在 表示体积应变在整个弹性体是常量 这种情况非常特殊 因而位移势函数所能解决的问题极其有限 7 3伽辽金位移函数 代入无体力的平衡方程中 于是 对于一般的空间问题 只须找到三个恰当的重调和函数 使得按上式给出的位移和应力能够满足边界条件 就得到该问题的正确解答 特殊形式 在直角坐标系可表示为 应力分量表达式为 在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量的表达式为 伽辽金位移函数不要求有势 求解范围广 7 4空间问题的应力解法 应力解法以应力张量 即以6个应力分量为基本未知函数 除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外 为了保证位移唯一存在 应力 或应变 必须满足应变协调方程 对上式进行缩并运算 将物理方程代入 并利用平衡微分方程简化得到 称为密切尔 Michell 方程 在体力为常量的情况下 简化为拜尔特拉密 Beltrami 方程 不变性型式 7 5应力函数 按应力求解 当不计体力时 应力分量应满足 仿照按位移求解引入位移函数的思路 引进应力函数 把应力用应力函数表示 并使得平衡方程能自动满足 按应力解法的弹性力学问题就转变为求解以应力函数表示的相容方程 当然 解得的应力还须满足应力边界条件和多连域的位移单值条件 1 麦克斯威尔 Maxwel 应力函数 则平衡方程恒满足 代入相容方程得到 2 莫勒 Morera 应力函数 则平衡方程恒满足 代入相容方程得到 3 拜尔特拉密应力函数 一般形式 自然满足平衡方程 1 特例 2 Maxwell应力函数 3 Morera应力函数 7 6叠加原理 应用 同一弹性体 1 2 描述 如弹性体存在齐次约束条件 证明 和满足如下方程和条件 和满足如下方程和条件 将两式相对应的方程和条件相加 得 由上式可见 和满足在体力和面力共同作用下的所有方程和条件 因此它们是两组荷载共同作用下的解答 7 7解答的唯一性 弹性体处于平衡时 体内各点的应力 应变和位移时唯一的 反证