中考第一轮复习_第12课时_二次函数(含答案).doc

精品教案_第12课时 二次函数基础知识回放考点1 二次函数的解析式 1二次函数的定义形如=ax2+bx+c (a0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数特别当a0，b=c=0时，y=ax2是二次函数的特例。规律总结：判断一个函数是不是二次函数的方法与步骤： 先将函数进行整理，使其右边是含自变量的式子，左边是因变量； 判断右边的自变量是否是整式； 判断含自变量的最高项次数是否为2； 判断二次项系数是否为0。 2二次函数的解析式 (1)一般式：y=ax2+bx+c (a0，a、b、c为常数)； (2)顶点式：y=a(xh)2+k(aO，a、k、h为常数，其中h，k分别为顶点的横坐标、纵坐标)； (3)交点式：y=a(xx1)(xx2)(a0，a、x1、x2为常数)；其中x1、x2为抛物线与x轴的交点横坐标。 (4)顶点式一般式交点式 温馨提示：对于一般式，只要试题中出现3个已知条件就能求出二次函数的解析式，但是对于顶点式、交点式要根据实际操作中来确定不同的解析式。如果题目中出现或隐含着抛物线的顶点坐标一般采用顶点式；如果出现抛物线与x轴的交点坐标宜采用交点式。所以在求解析式中要依据三种解析式各自的优点，合理选择，才能使解析过程简捷明了考点2 二次函数的图象及其性质 1二次函数的图象是一条 2求二次函数y=ax2+bx+c (a0，a、b、c为常数)最大值或最小值的一般方法： 配方法：y=ax2+bx+c=a（x2+x）+c= a（x2+x+ ）a +c= a（x2+x+ ）+ = a（x+ ）2+ 所以当x= 时，y最值= 。初中英语词汇表注：n 名词 v 动词 adj形容词adv 副词 prep介词 conj连词phr.短语 num数词第一册 1-8331 what pron 什么2 is v 是3 whats what is的缩写形式4 your pron 你的,你们的5 name n 名字6 my pron 我的7 I pron 我8 am v 是9 Im I am的缩写形式10 in prep 在.里(内,上)11 row n (一)排,(一)行12 one num 一13 number n 数字,号码14 two num 二15 too adv 也16 three num 三17 are v 是18 you pron 你,你们19 yes adv 是20 four num 四21 five num 五22 no adv & adj 不,不是23 not adv 不24 hi interj 喂(问候或唤起注意)25 class n (学校里的)班级,年级26 grade n 年级27 six num 六28 seven num 七29 eight num 八30 nine num 九31 ten num 十32 zero num & n 零33 plus prep 加,加上34 it pron 它35 its it is的缩写形式36 how adv (指程度)多少,怎样37 old adj .岁的,老的38 eleven num 十一39 twelve num 十二40 minus prep 减,减去41 thirteen num 十三42 fourteen num 十四43 fifteen num 十五44 hello interj 喂(问候或唤起注意)45 please interj 请46 can v.aux 能,可以,会47 spell v 拼写48 that pron 那,那个49 secret n 秘密50 this pron 这,这个51 in prep 用.(表达)52 English n & adj 英语,英国人 英国的,英国人的53 in English phr. 用英语(表达)54 a art 一(个,件.)55 clock n 钟56 and conj 和,又,而57 pencil-box n 铅笔盒58 an art 一(个;件.)(用于元音开头的词前)59 pencil n 铅笔60 ruler n 尺子61 pen n 钢笔62 sharpener n 卷笔刀63 eraser n 橡皮擦64 room n 房间65 book n 书66 map n 地图67 desk n 书桌68 cup n 杯子69 bag n 书包70 computer n 电脑,电子计算机71 mouse n 鼠,耗子,鼠标72 bed n 床73 keyboard n 键盘74 isnt is not的缩写形式75 pear n 梨76 cake n 蛋糕,饼,糕77 banana n 香蕉78 apple n 苹果79 orange n 橙子,橘子80 egg n 蛋81 bike n 自行车82 bus n 公共汽车83 car n 汽车,小汽车84 jeep n 吉普车85 Chinese adj 中国的,中国人的 n 中国人,汉语86 Japanese adj 日本的,日本人的 n 日本人,日语87 look v 瞧,看88 who pron 谁89 she pron 她90 he pron 他91 bird n 鸟92 its pron 它的93 do v.aux (构成否定句,疑 问句的助动词)94 dont do not的缩写形式95 know v 知道,懂得96 think v 想,认为97 Mr=mister n 先生(用于姓名前)98 very adv 很,非常99 picture n 图画,照片100 Mrs n 夫人101 boy n 男孩102 girl n 女孩103 woman n 妇女,女人104 man n 男人,人105 cat n 猫106 his pron 他的107 teacher n 教师108 her pron 她的109 everyone pron 每人,人人110 here adv 这里,这儿111 today adv & n 今天112 at prep 在113 school n 学校114 at school phr. 在学校115 sorry adj 对不起,抱歉的116 where adv 在哪里117 home n 家118 at home phr. 在家119 How are you? 你(身体)好吗?120 fine adj (身体)好的121 thanks n 谢谢(只用复数)122 OK adv (口语)好,对,不错,可以123 thank v 谢谢124 goodbye interj 再见,再会125 bye interj 再见126 parrot n 鹦鹉127 sister n 姐,妹128 father n 父亲129 mother n 母亲130 box n 盒子,箱子131 excuse v 原谅132 me pron 我133 Here you are. 给你134 but conj 但是135 these pron 这些136 they pron 他(她,它)们137 good adj 好的138 those pron 那些139 boat n 船140 hill n 小山141 tree n 树142 their pron 他们(她们,它们)的143 much adv 多,很,非常144 very much phr. 很,非常145 all adv 都,完全146 right adv & adj 对的,正确的147 all right phr. 好,行,不错148 mum n (口语)妈妈149 friend n 朋友150 brother n 兄,弟151 nice adj 令人愉快的152 to prep (表示方向)到,向 动词不定式符号153 meet v 见面,会面,遇见154 child n 小孩155 children n child的复数形式156 welcome v 欢迎157 our pron 我们的158 come v 来159 come in phr. 进来,进入160 morning n 早晨,上午161 class n 同一个班的学生162 on prep 在,在.上163 duty n 职责,责任164 on duty phr. 值日165 we pron 我们166 arent are not的缩写形式167 have v 有 公式法：当x= 时，y最值=。 3二次函数y=ax2+bx+c (a0，a、b、c为常数)通过配方可得y=a(xh)2+k(aO，a、k、h为常数)，其顶点坐标为，对称轴方程为直线x= 4当a0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；在对称轴左侧(即x)时，y随x的增大而；当x=时，函数有极小值y =；当a0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；在对称轴左侧(即x )时，y随x的增大而 ；当x= 是时，函数有极大值y =. 5对称轴：x=，对称轴在原点左侧a，b同号；对称轴在原点右侧a，b异号；对称轴与y轴重合b=0 6顶点坐标M(， )，点M在x轴上方a,异号；点M在x轴上方a,同号；点M在x轴上=0（其中=b24ac） 7抛物线与M轴的交点：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0，c)；若方程ax2+bx+c=0有根x1，x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(x1，0)(x2，0) 8抛物线y=ax2+bx+c中a，b，c的作用 (1)a决定开口方向及开口大小a0，抛物线开口向上；a0，抛物线开口，|a|越大，抛物线的开口越 ，|a|越小，抛物线的开口越. (2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=，故：b=0时，对称轴为y轴；0时，对称轴在y轴左侧；0，抛物线与y轴交于正半轴；cO时，抛物线与x轴有两个交点；当= b24ac =0时，抛物线与x轴有一个交点；当= b24acO时向上无限伸展； 当aO时开口向上； aO时，当x=时，y有最小值为；aO时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；aO时，当x时，y随x的增大而增大；aO时，当x时，y随x的增大而减小10二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的平移 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相等，那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到，所以形如y=ax2，y=ax2+k，y=a(xh)2+k(aO，a、k、h为常数)形式的函数图象可以相互平移得到，而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定平移方式如下图： 任意抛物线y=ax2+bx+c可以由抛物线y=ax2经过适当地平移得到，具体平移方法下图所示： 注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不用死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便例如，要研究抛物线L1：y=x22x+3与抛物线L2：y=x2的位置关系，可将y=x22x+3通过配方变成顶点式y=(x1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(O，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2 温馨提示：以y=a(xh)2+k(aO，a、k、h为常数)为例，函数y=ax2的顶点坐标为A(O，0)，而y=a(xh)2+k(aO，a、k、h为常数)的顶点坐标为B (，)只要正确说出由点A到点B的平移方式，也就是函数y=ax2平移到函数y=a(xh)2+k(aO，a、k、h为常数)的方式 10二次函数与一元二次方程、二元一次不等式的联系 (1) y=ax2+bx+c(a0，a、b、c)等号左边是函数y，右边是自变量x的二次三项式，若函数值y=0(即图象上的点在x轴上)，函数即转化为一元二次方程ax2+bx+c =0；方程是否有解即为抛物线与x轴是否有交点；方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标 (2)函数和不等式的联系：若函数y0(或)y0)即得到一元二次不等式(或ax2+bx+c 0)，此时确定不等式的解集就转化为抛物线相应点横坐标的取值集合 温馨提示：理解变量x，y双重含义 代值计算时：x自变量；y一函数值；在函数图象中：x图象上点的横坐标；y图象上点的纵坐标参考答案：抛物线、（h，k）、x=h、减小、增大、增大、减小、向下、小、大.中考热点难点突破例1 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象，如图所示，它们的解析式可能分别是( )(A) y=，y=kx2x (B)y=，y=kx2+x (C)y= , y=kx2+x (D)y=, y=kx2k，分析：采用排除法.先通过反比例函数的图象可知，在A中，k0，则开口向下，对称轴x0，这与图象不符合，同理B中，k0，这与图象符合；C中，kO，对称轴xO，对称轴x0，这与图象不符合，所以选择B例2图 【点拨】解决此题的关键是能通过图象确定系数。反之，知道系数的正负也能确定图象的大概形状二次函数图象主要就是看开口方向及对称轴的正负，相对应的系数之间的关系应该清楚大多数情况下，要对各选项分别讨论例2（09湖北黄石市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0 2a+b0 4a2b+c0 a+c0，其中正确结论的个数为（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个分析:从图像的开口方向和图像与y轴交点的纵坐标可以直接得到a0.对于b,要根据抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在y轴右侧,即0,则0;所以abc0.对于2a+b,需要根据抛物线顶点横坐标与1的大小比较.观察图像可得, 1,所以2a+b0.而4a2b+c是二次函数当自变量取值为2时的函数值,观察图像可发现点(2, 4a2b+c)在x轴下方,所以4a2b+c0,所以a+c0.故选答案B.【点拨】由抛物线开口方向判定的符号，由对称轴的位置判定的符号，由抛物线与轴交点位置判定的符号。由抛物线与轴的交点个数判定的符号，若轴标出了1和1，则结合函数值可判定、的符号。例3已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0），解得 原抛物线的解析式为：【点拨】解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；例4某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元件)的一次函数 (1)试求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少? 分析：总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值利润、销售额、销售价格等之间的关系是：销售金额=销售量价格，利润=销售金额进货价 解：(1)依题意设y=kx+b，则有 解得k=30，b=960 y=30x+960(16x32) (2)每月获得利润P=(30x+960)(x16) =30(x2+48x512) =30(x24)2+1920 当x=24时，P有最大值，最大值为1920 答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元例5如图所示，将一个下底为3，上底为1，且底角为45的等腰梯形ABCD放置在直角坐标系中，一条动直线x=t；从点A开始自左向右右匀速运动，至B点处停止运动，它扫过的梯形面积为S(图中阴影部分). (1)求出梯形ABCD各顶点的坐标； (2)求过B、C两点的直线解析式； (3)求出S关于t的函数关系式(从三种情况去考虑：1t0，0t0，1t2 分析： (1)利用等腰梯形底角等于45，可求出梯形各顶点的坐标.（2）由B、C两点坐标可求出过B、C两点的直线解析式，(3)动直线x=t是垂直于x轴的直线，由A点运动到B点的过程中，动直线扫过的面积要分类讨论，即1t0，0t1，1t2，并借助数形结合的方法求解.解：(1)B=A=45 A(1，0)， B(2，0)， C(1，1)， D(0，1)(2)设过B、C两点的直线解析式为y=kx+b(k0)， 解得， y=x+2 即解析式为：y=x+2 (1)动直线x=t是垂直于x轴的直线，它与x轴的交点为(t，0)，在它由点A运动到点B的过程中，有1t2，设这条动直线与x轴的交点为E，与AD、DC、BC的交点为F，如图(1)所示，当1t0时，EOt，EFAEOAOE=1t.S（1+t）2（1t0）如图(2)所求，当0t1时，SSAODS矩形DOEF11+t1=+t；如图(3)所求，当1t2时，BEF为等腰直角三角形EFEB2t，【点拨】研究动态问题通常采用分类讨论的方法解答。首先根据运动的路径判断点所在的位置；其次根据运动的速度及运动路程确定自变量的取值范围；最后根据相应的数学模型建立相应的函数关系式。中考效能测试1.（09湖北荆州市）抛物线的对称轴是（ ）A BC DA【解析】本题考查利用顶点式求对称轴.在顶点式的抛物线解析式y=a(xh)2+k中,(h,k)是抛物线的顶点坐标,其中x=h是抛物线的对称轴.2.（09广州）二次函数的最小值是（ ）（A）2 （B）1 （C）1 （D）2 A【解析】本题考查利用顶点式求极值. 在顶点式的抛物线解析式y=a(xh)2+k中,若a0,当x=h时,y=k是函数的最小值; 若aO，bO，则函数y=ax2+bx的开口向上，对称轴为x=0，所以应该选择B4.二次函数yax2bxc与一次函数yaxc在同一坐标系中的图象大致是（）A B C DD【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这两个函数图像与y轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于A、B,直线yaxc与二次函数yax2bxc不经过同一点(0,c),所以不正确.对于C、D,直线都经过第一、二、四象限,所以a0,所以抛物线开口向下.答案为D.5把抛物线y=2x2的图象先向下平移2个单位后，再向左平移1个单位，那么这样平移后抛物线的解析式是 ( ) Ay=2(x1)22 By=2(x+1)22 Cy=2(x1)2+2 Dy=2(x+1)2+2A【解析】把抛物线y=2x2的图象先向下平移2个单位，得到y=2x22，再向左平移1个单位，得到y=2(x1)226.如图所示，二次函数yx24x3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则ABC的面积为（ ）第7题图A. 6 B. 4 C. 3 D. 1第6题图C【解析】本题考查抛物线与坐标轴的交点坐标.当y=0时,即x24x3=0,所以x1=1,x2=3,所以A(1,0)、B(3,0).当x=0时,y=3,所以C(0,3).所以SABC=ABOC=23=3.7.（09贵州黔东南）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A、y=x2x2 B、y=C、y= D、y=D【解析】本题考查根据图像判断函数的解析式.首先求出函数图像与x轴的交点坐标.A、B、D选项的函数与x轴的交点坐标为(2,0)、(1,0),C选项的函数与x轴的交点坐标为(2,0)、(1,0).显然C不符合.对于A、B、D来说,A选项的抛物线开口向上,不符合.而对于B、D来说,抛物线开口向下似乎都符合,但从抛物线与y轴的交点坐标就可以排除B,而选D.8已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( )A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D由b24ac的值确定A【解析】抛物线二次函数yax2bxc与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程ax2bxc=0有两个不同的根，则选择A9.自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在轴两侧C有两个交点，且它们均在轴同侧 D无交点C【解析】由表格可以观察点(0,)与(2,)关于直线x=1对称,由此可以判断抛物线与x轴有两个交点并且在y轴两侧.Oyx第10题图10.（09安徽省芜湖）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：；，其中正确结论是（ ）ABCDB【解析】本题考查利用函数图像判断代数式的符号或大小问题.由抛物线开口向下能够得到a0;根据对称轴=1能够推出b+2a=0,在根据a0,所以bc0;当x=1时,y=a+b+c,根据图像可以观察到点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,所以a+b+c0.所以、正确.答案为B.二、填空题11. 已知抛物线yx23x4，则它与x轴的交点坐标 .（1，0），（4，0）【解析】本题考查抛物线与x轴的交点坐标.当y=0时,即x23x4=0,所以x=1,x=4.所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（4，0）.yxO3x=1第13题图12.（09贵州黔东南）二次函数的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是_。【解析】本题考查二次函数解析式的求法.首先求出二次函数图象上的两个特殊点坐标,如顶点坐标、抛物线与y轴的交点坐标. 顶点坐标为（1，4），与y轴的交点坐标为（0，3），所以这两个点关于原点对称的电的坐标为（1，4），（0，3），然后利用顶点式求出二次函数的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是.13.（09襄樊）抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 y=x2+2x3【解析】本题考查二次函数解析式的求法.根据对称轴为x=1（这里a=1），可以求出b=2；然后把点（0，3）代入抛物线y=x2+2x+c中得c=3.14.若二次函数的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c 。（只要求写出一个）5(答案不唯一)【解析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系. 若二次函数的图象与x轴没有交点时，也就是一元二次方程x24x+c=0没有实数根，所以b24ac0,所以(4)24c4,所以可取c=5.15.（09鄂州市）把抛物线yax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是yx3x+5，则a+b+c=_ 17【解析】本题考查利用平移法求抛物线解析式.首先把抛物线yx3x+5化成顶点式y=(x)2+,然后把抛物线y=(x)2+先向左平移3个单位得到y=(x3)2+,再向上平移2个单位得到y=(x3)2+2=x29x+25,所以a+b+c=17.16.用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示。（1）观察图象，当x m时，窗户透光面积最大。（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是 m。1，1.5【解析】本题考查利用函数图像解决实际问题.有图像观察当x=1时,y有最大值,也就是说当x=1时, 窗户透光面积最大.然后利用矩形面积公式求出另一边长等于1.5米.17.二次函数的图象开口向上，图象经过点（1，2）和（1，0），且与轴相交于负半轴.给出四个结论： ； ； ； .其中正确结论的序号是 ；【解析】本题考查利用抛物线求代数式的符号.因为图象开口向上,所以a0;同时二次函数的图象过点（1，0），所以;又抛物线与y轴交于负半轴,所以c0、对称轴x=0.18.（09安徽省）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ，【解析】本题考查抛物线解析式的求法.首先根据抛物线与x轴的另一交点到原点的距离为1,可得该点坐标为(1,0)或(1,0).然后把(0,0)、（，）、(1,0)或(0,0)、（，）、(1,0)代入y=ax2+bx+c中得出抛物线解析式为或.19（09甘肃白银）抛物线的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）答案不唯一如：c=3；b+c=1；c3b=9；b=2；抛物线的顶点为（1，4），或二次函数的最大值为4；方程x2+bx+c=0的两个根为3，1；y0时，3x1；或y0时，x1；当x1时，y随x的增大而减小；或当x1时，y随x的增大而增大等等【解析】本题考查根据二次函数图像性质写出满足条件的关系式.第20题图第19题图20.（09辽宁本溪）如图所示，抛物线（）与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是 x2【解析】本题考查根据抛物线求不等式的解集.当y0时，即抛物线上点的纵坐标小于0，对应的自变量取值范围是x2.三、解答题21.已知二次函数（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；解：=（x+2）24.5 顶点坐标（2，4.5），对称轴：直线x2；因为二次项系数大于0，所以函数有最小值4.5（2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标； 解：令y0，则，解得x5，x1 所以抛物线与x轴的交点坐标为（5，0），（1，0）令x0，则y所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，） （3）作出函数图象，并观察图象，x为何值时，y0；x为何值时，y0；当5x1时，y10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。25(09哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD设AB边的长为x米矩形ABCD的面积为S平方米 （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值 （参考公式：二次函数yax2bxc（a0），当x时，y