海森堡不确定关系的证明.pptx

海森堡不确定性原理证明 物理与科学技术学院 陈涛2014 11 21 狄拉克 保罗 狄拉克 PaulAdrienMauriceDirac 1902年8月8日 1984年10月20日 英国理论物理学家 量子力学的奠基者之一 并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献 曾经主持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位 并在佛罗里达州立大学度过他人生的最后十四个年头 他给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为 并且预测了反物质的存在 1933年 因为 发现了在原子理论里很有用的新形式 即量子力学的基本方程 薛定谔方程和狄拉克方程 狄拉克和埃尔温 薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖 浅谈狄拉克方程 我们谈论的模型是能量的哈密顿 P值可为正 可为负 对于一个给定的P其波函数为 负能量粒子和正能量粒子 如果有能量为负的粒子 真空空间会不会是最低能的状态 我们可以取一个真空 然后说它的能量为零 你可以将负能量粒子放进去 负能量粒子会降低总能量 因为万物都是趋向与低能态的 如果粒子具有负能量 那么真空不是稳定的了 不稳定是说它会产生很多的正能量粒子和负能量粒子 因为能量不能无中生有 所以粒子与反粒子对中一个参与者有正能量而另一个参与者有负能量 由能量守恒可知 必须同时制造两种粒子 相反 如果只有正粒子呢 这也是不可能的 因为能量守恒不允许这一点 而且我们知道良好的稳定世界要求所有的粒子具有相对真空为正的能量 而H CP不是一良好稳定的世界 因为P可正可负 那怎么办呢 狄拉克知道怎么办 但是只有在费米子的情况下 什么是费米子 简单的来说 费米子就是不能处与相同状态的简单粒子 符合泡利不相容原理的粒子就叫费米子 什么是玻色子 简单的来说 玻色子与费米子相反 玻色子可以处于相同的状态的粒子 且不符合不相容原理 所以狄拉克说 看我有一个十分简单的解 试想一下 真空空间这个状态里负能量的粒子真的会同时填满真空 但你不能放入更多的粒子 因为不允许存在相同状态的粒子 假设绝对真空是绝对的最低能的状态 那现在再来看看绝对真空 你会把它看成普通真空吗 这是能量最低状态吗 答案是NO 我们可以放入一个负能量的粒子来降低能量 这样就有了更底状态了 不管是何状态我们可以再放入一个负能量粒子 并降低其能量 所以说通往绝对最低的能态的唯一途径就是简单的用负能量粒子填满它 但是你只能针对具有某种特性的粒子这么做 那些粒子不能处于同一个状态 如果你可以将多于一个的粒子放入同一状态 那么将会发生什么 那么你就无法阻止负能量粒子不断的进入真空 世界将不会是稳定的 所以这是一个合理的理论 P可为正 可为负 这就是狄拉克方程最简单版本 这个理论可以用来描叙一维中微子 但是不适用于光子 光子是玻色子 玻色子的玩法根本不一样 海森堡 维尔纳 卡尔 海森堡 1901年12月5日 1976年2月1日 德国物理学家 量子力学的主要创始人 哥本哈根学派的代表人物 1932年诺贝尔物理学奖获得者 量子力学是整个科学史上最重要的成就之一 他的 量子论的物理学基础 是量子力学领域的一部经典著作 鉴于他的重要影响 在 影响人类历史进程的100名人排行榜 海森堡名列第46位 不确定性原理 不确定性原理来自何方 它来自于一个事实 即坐标X和P不对易 当两个坐标或两个观测值不对易时 我们不可能同时测量两者 特别是X的本征矢和P的本征矢完全不同 X的本征矢是窄而尖高度局域化的 而动量的本征矢首先是复数eipx 但它们的实部和虚部都在完全空间中振动 所以它覆盖全空间 而不是填满全空间 不是粒子填满空间 仅仅是粒子可能出现在空间的任意地方 原因是它的动量已知 所以这就是不确定原理中原始版本 如果你知道粒子的位置 你就不可能知道它的动量 我们将波函数看出X的函数 它的关系由傅立叶变换表示 越窄 越宽 反之亦然 如果很窄这意味着它只是单一的平面波 在此会证明稍微简化版本的定理 这个简化版本也包含了基本要素 首先 一个变量里的不确定性是什么意思 x 该变量的分布已知 在讨论它不确定性之前的第一件事是 我们总是可以移动坐标轴使得x的平均值为0 即 0 不确定性是什么 由不确定性的定义可知 就是x平方的平均值 实际上原点是x2为0的唯一位置 所以x2的平均值不可能为0 事实上波函数分布越广泛 x2的平均值就越大 这是很明显的 所以x2是描述分布宽度的良好指标 你可以称之为x的不确定性 事实上x不确定性的定义就是x2的平均值 即 对于一个给定的概率分布 首先x的平均值为0 那么x的不确定性为 如果波函数已知 如何计算 x呢 很简单 同理 动量不确定性定义方式本质上是相同的 你可以用波函数的傅立叶变换来定义 由上述可知 到了这里你或许有点担心 这里有一个负号 为什么p的不确定性会是负数呢 P具有负的不确定性是什么意思 这里一个负号到底是什么意思 很简单 因为积分的值为负 在这里我们要用到数学中的分部积分法 积分公式为 在这里我们可以将看成是F 看成是G则有 在此p不确定性为负值的问题得到了完美解决 构造不等式 我们都知道三角形两边之和一定大于第三边 将三条边进行向量可得 两边同时取平方可得 两边再同时平方可得 在这里我们用到了两个简单假设 第一个简单假设是 x 和p的期望值是0 这样可以减少大量的代数运算 这个假设前面已经用到 第二个简单假设是 波函数是实数 如果不是实数 就要换算 这样我们又可省下一堆代数运算 在前面我们已经得到 三角不等式完全适用于左矢右矢 现在我们可以把向量A B看成是左矢或右矢 由于是实数 它们是左矢或者右矢都无关紧要 现在我们描叙向量A 表示向量A的波函数是 换句话说就是算子x作用在上 同理 我们描叙向量B 表示B向量的波函数是 由不等式 在这里不必担心i和 因为最终会取绝对值