2018江苏高考数学压轴题的分析与解.pdf

2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 2018 年江苏卷年江苏卷 11 若函数 32 21 f xxaxa R在 0 内有且只有一个零点 则 f x在 1 1 上的最大值与最小值 的和为 解析 3 函数 f x导函数为 2 622 3 0 1fxxaxxxaf 情况一 0a 此时 f x在 0 递增 又 0 1f 所以 f x在 0 无零点 舍去 情况二 0a 此时 f x在 0 3 a 递减 在 3 a 递增 在 0 上 在 3 a x 处取得极小值 333 227 327927 aaaa f 1 0 3a 此时 32 231f xxx 6 1 fxx x 1 1 x f x在 1 0 递增 在 0 1 递减 1 4f 1 0f 可得 max 0 1f xf min 1 4f xf maxmin 3f xf x 12 在平面直角坐标系xOy中 A 为直线 2l yx 上在第一象限内的点 5 0 B 以 AB 为直径的圆 C 与直 线 l 交于另一点 D 若0AB CD 则点 A 的横坐标为 解析 3 方法一 几何法 由0AB CD ACDCBC 可得ADB 为等腰直角三角形 因为 tan2DOB 5OB 所以 11 1 45 OMMBOB 22DMOM 构造如图所示一线三垂直 有 ANDDMB 2ANDM 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 3 A xOMAN 方法二 向量法 设 2 A aa 0a 2 D bb ba 则 5 2 a Ca 由0AB CD 和0AD BD 得 5 5 2 2 0 2 5 4 5 1 0 a AB CDa baba AD BDba bb babba 解得 3 1 a b 3 A xa 方法三 解析法 设 2 A aa 0a 则 5 2 a Ca 圆 C 方程 2 222 5 5 24 aa xyaa 与2yx 联立 得 1 D x 1 2 D 55 3 1 5 1 2 2 0 22 aaa AB CDaaa 3 A xa 13 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 120ABC ABC 的平分线交AC与点 D 且 1BD 则4ac 的最小值为 解析 9 方法一 正余弦定理 ABD 和CBD 中 正弦定理得 sin60sin ADc sin60sin DCa 所以 ADc DCa 角平分线分线段成比例 ABD 和CBD 中 余弦定理得 22 1ADcc 22 1CDaa 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 所以 22 22 1 1 ccc aaa 即 ac acac ac 恒成立 可得 acac 11 1 ac 1144 4 4 5529 caca acac acacac 当且仅当 4ca ac 即2ca 时取等 方法二 面积法 由ABC 面积可得 111 sin120sin60sin60 222 acac acac 1 1 1ac 44 1 1 52 4 1 1 59acacac 当且仅当 4ca ac 即2ca 时取等 方法三 几何法 1 如图作垂线 可得 1 21 2 tan 33 2 a a CDM 1 21 2 tan 33 2 c c CDN 222 3 1 3 tan 3 4221 12 1 3 ac ac CDMCDN acac acac acac 同上可求 方法四 解析法 建立如图所示坐标系 则 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 3 22 c c A 3 22 a a B 1 0 D 于是 3 AB ca k ca 直线 AB 的方程为 3 223 acaa yx ca 又直线 AB 经过点 D 有 3 1 223 acaa ca acac 同上可求 方法五 向量法 由角平分线分线段成比例 得 c CDAD a 向量共线定理 ca BDBCBA acac 对上式进行平方得 22 2 1 a c ac acac 同上可求 方法六 几何法 2 构造如图所示图形 则 11c ac acac 同上可求 14 已知集合 21 Ax xnn N 2 n Bx xn N 将AB 的所有元素从小到大依次排列构 成一个数列 n a 记 n S为数列 n a的前 n 项和 则使得 1 12 nn Sa 成立的 n 的最小值为 解析 27 由 1 12 nn Sa 可知 24n 且 1n aB 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 当 1 22 1 12 mm nm 即 1 2121 22 mm mnm 此时5m 且 1 2 1 121 n anmnm 21 22 m n Snm 由 1 12 nn Sa 得 21 2212 21 m nmn 221 2 12 22414 0 m nmnmm 若5m 解 和 得27n 成立 所以 min 27n 此题亦可先将5m 带入得 1 29 n an 2 5 62 n Sn 从而求出 min 27n 18 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 C 过点 1 3 2 焦点 12 3 0 3 0 FF 圆 O 的直径为 12 FF 1 求椭圆 C 及圆 O 的方程 2 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 求点 P 的坐标 直线 l 与椭圆 C 交于 A B两点 若OAB 的面积为 2 6 7 求直线l的方程 解析 1 椭圆C的方程 2 2 1 4 x y 圆O的方程 22 3xy 2 x y O F1 F2 第 18 题 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 方法一 利用一元二次方程求解 直线 l 存在斜率 设直线 l 方程为 0 0 ykxm km 与椭圆方程联立 相切0 有 2222 a kbm 则 22 41km 与圆方程联立 相切0 则 22 33km 解得 2k 3m 所以直线 l 方程为 23yx 与圆方程联立得切点 2 1 P 方法二 利用切线方程求解 设直线 l 与圆切点 00 P xy 00 0 0 xy 则直线 l 方程为 00 3x xy y 设直线 l 与椭圆切点 11 Q x y 则直线 l 方程为 11 44x xy y 直线 l 方程是相同的 所以 00 11 3 44 xy xy 即 10 4 3 xx 10 1 3 yy 由于点 11 Q x y在椭圆上 有 22 11 44xy 带入得 22 00 4 1 99 xy 又点 00 P xy在圆上 有 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 22 00 3xy 解得 0 2x 0 1y 所以切点 2 1 P 设直线 l 方程为 0 0 ykxm km 与椭圆方程联立得 222 41 8440kxkmxm 设与椭圆的两交点 11 A x kxm 22 A x kxm 由 知与圆相切 与椭圆相交 有 22 22 33 41 km km 解得 2k 2 3 1 mk 22 16 41 km 方法一 利用三角形底高公式求解 222 2 12 2 4 411 1 41 kmk ABxxk k 原点 O 到直线 l 距离 2 1 m d k 22222 22 2 223 1 1 4 4112 6 241417 1 AOB kkkmkm S kk k 解得 5k 3 2m 所以直线 l 方程为 53 2yx 方法二 利用三角形宽高公式求解 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 将0 x 带入直线 l 方程 得 0 Dm 2222 12 22 223 1 11 4 412 6 2241417 AOB kkkm Sxx ODm kk 解得 5k 3 2m 所以直线 l 方程为 53 2yx 19 记 fx g x 分别为函数 f x g x的导函数 若存在 0 x R 满足 00 f xg x 且 00 fxg x 则 称 0 x为函数 f x与 g x的一个 S点 1 证明 函数 f xx 与 2 22g xxx 不存在 S点 2 若函数 2 1f xax 与 lng xx 存在 S点 求实数a的值 3 已知函数 2 f xxa e x b g x x 对任意0a 判断是否存在0b 使函数 f x与 g x在区 间 0 内存在 S点 并说明理由 解析 1 对 f x和 g x求导 得 1fx 22g xx 因为 00 f xg x 且 00 fxg x 得 2 000 0 22 122 xxx x 无解 所以 f x与 g x不存在 S点 2 对 f x和 g x求导 得 2fxax 1 g x x 因为 00 f xg x 且 00 fxg x 得 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 2 00 0 0 1ln 1 2 axx ax x 解得 2 e a 3 对 f x和 g x求导 得 2fxx 2 1 x bex g x x 因为 00 f xg x 且 00 fxg x 0 0 x 得 0 0 2 0 0 0 0 2 0 1 2 x x be xa x bex x x 因为0b 由 得 0 01x 将 带入 可得 2 00 0 0 1 2 axx x x 分离变量 232 2 000 0 00 23 11 xxx ax xx 构造函数 3232 33 01 0 11 xxxxaxa h xaxa xx 构造函数 32 3 0 m xxxaxa a 由于 0 0 1 20mam 所以 m x在 0 1 上有零点 所以 h x在 0 1 上有零点 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 即对于任意0a 总存在 0 01x 和0b 使得 成立 函数 f x与 g x在区间 0 内存在 S 点 20 设 n a是首项为 1 a 公差为d的等差数列 n b是首项为 1 b 公比为q的等比数列 1 设 11 0 1 2abq 若 1 nn abb 对1 2 3 4n 均成立 求 d 的取值范围 2 若 11 0 1 2 m abmq N 证明 存在d R 使得 1 nn abb 对2 3 1nm 均成立 并 求d 的取值范围 用 1 b m q表示 解析 1 将1 2 3 4n 分别带入 1 nn abb 0 11 21 241 381 d d d 解得 75 32 d 2 由 11 0 1 2 m abmq N可得 1 11 1 n nn abnd bbq 带入 1 nn abb 有 1 111 1 n bndbqb 即 11 11 2 11 nn b qbq d nn 对2 3 1nm 均成立 比较 1 1 2 1 n b q n 与 1 1 1 n bq n 大小 1 11 1111 2 22 0 1111 n nn m b qbbbq nnnn 所以存在d R 使得 1 nn abb 对2 3 1nm 均成立 构造函数 2018 江苏高考数学压轴题的分析与解 卞进宇 1 1 1 2 21 1 n b q f nnmnN n 对 1 f n求导 111 111 1 22 ln 1 2 lnln1 2 1 1 nnn bqq nb qb qnqq fn nn 令 1 1 lnln1 2 n g nqnqq 12 11 1 ln0