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复习 2 可分离变量的方程 1 分离变量 2 两端积分 1 一阶微分方程 解法 分离变量法 定义6 2形如 例如 线性的 非线性的 上方程称为齐次的 上方程称为非齐次的 第三节一阶线性微分方程 齐次方程的通解为 1 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 使用分离变量法 2 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 解法 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质 未知函数的变量代换 作变换 设 是的解 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 定理6 1 一阶非齐次线性方程的解的结构 一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的一个特解之和 常数变易法的求解步骤 要求大家熟练掌握 把所给方程写成 这是一阶非齐次线性方程 解 先求对应的齐次方程的通解 再用常数变易法求式的通解 化简得 积分可得 即得所给方程的通解 这是一阶非齐次线性方程 可用公式 解 其通解为 其中 方法一公式法 解 由公式得原方程的通解 方法二常数变易法 所以通解为 化简 得 积分可得 由此得到原方程的通解为 解 将x看作未知函数 y看作自变量 这是一阶线性微分方程 按一阶非齐次线性方程的解法可求出其通解为 把方程变形为 解 排出盐的速率为 克 分 从而桶内盐的变化率为 即 解上面的微分方程 得其通解为 由此得 所以 这就是30分钟时桶内所存盐水的含盐量 2 线性非齐次方程 小结 1 齐次方程 常
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