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No.1: 12.1,12.2,12.3,12.7,12.9,12.12(选作) 附录附录附录附录IIII附录II 平面图形的几何性质附录II 平面图形的几何性质?为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质?为什么要研究截面图形的几何性质?静矩和形心及其相互关系静矩和形心及其相互关系静矩和形心及其相互关系?静矩和形心及其相互关系?惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩 惯性积惯性积惯性积?惯性积?平行平行平行平行移轴公式移轴公式移轴公式?移轴公式?转轴公式、主惯性轴与主惯性矩转轴公式、主惯性轴与主惯性矩转轴公式、主惯性轴与主惯性矩?转轴公式、主惯性轴与主惯性矩?确定组合图形的形心主轴和形心主矩的确定组合图形的形心主轴和形心主矩的确定组合图形的形心主轴和形心主矩的确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法方法方法?方法?结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第13.3节节引言引言返回研究杆件的应力与变形，研究失效问题研究杆件的应力与变形，研究失效问题研究杆件的应力与变形，研究失效问题研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。轴等。轴等。轴等。引言引言返回? 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。?能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。? 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将涉及不同的几不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将涉及不同的几不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将涉及不同的几不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将涉及不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。状有关。状有关。状有关。const.x=拉伸：NxxFA =Cyx=xAxFANd =()dxAA yM=xzMyI = =AzAyId2yz弯曲弯曲:扭转扭转:ddGGx =()dAAT=PTI =2PdAIA =dA dA 第第II.1节节定义定义返回II.1 静矩和形心静矩和形心=AyAzSdy yz zO Od dA Az zy y=AzAySd图形对于图形对于图形对于图形对于 y y 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于图形对于图形对于 z z 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩,yzCCSSyzAA= 截面图形形心坐标 截面图形形心坐标y yz zO Oy yC Cz zC CC CA AC C静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系y yz zO Od dA Az zy yy yz zO OAAyASyAzC=dCyAzS=AyAzSd=AzAySdCzAyS =AAzASzAyC=d? ? ? 已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标?已知静矩可以确定图形的形心坐标? ? 已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩( (y yC Cz zC C) )C C? ? ? 截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。静矩的数值可正、可负、可为零。静矩的数值可正、可负、可为零。静矩的数值可正、可负、可为零。静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为长度的三次方。量纲为长度的三次方。量纲为长度的三次方。量纲为长度的三次方。? ? 截面图形对形心轴的静矩等于零。截面图形对形心轴的静矩等于零。II.1 静矩和形心静矩和形心A Ay yC Cz zC CC C0,0CCyzSS= = =组合图形的形心坐标组合图形的形心坐标=+ +=+ +=niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211=niiniCiiyCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111II.1 静矩和形心静矩和形心第第II.2节节惯性矩和极惯性矩惯性矩和极惯性矩II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积惯性矩 极惯性矩 惯性积2dyAIzA= = 2PdAIA = = 2dzAIyA= = 图形对图形对图形对图形对 y y 轴的轴的轴的惯性矩轴的惯性矩惯性矩惯性矩图形对图形对图形对图形对 z z轴的轴的轴的惯性矩轴的惯性矩惯性矩惯性矩图形对图形对图形对图形对 O O 点的点的点的极惯性矩点的极惯性矩极惯性矩极惯性矩y yz zO Od dA Az zy y A A 0 0 0yyIiA= =zzIiA= =图形对图形对 y 轴的惯性半径轴的惯性半径图形对图形对图形对图形对 y y 轴的轴的轴的惯性半径轴的惯性半径惯性半径惯性半径图形对图形对图形对图形对 z z 轴的轴的轴的惯性半径轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性矩和极惯性矩性质惯性矩和极惯性矩性质2dyAIzA= = 2PdAIA =2dzAIyA= = y yz zO Od dA Az zy y A AzyIII+=P? ? ? 截面图形对不同坐标轴的惯性矩是截面图形对不同坐标轴的惯性矩是截面图形对不同坐标轴的惯性矩是截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同的，但惯性矩恒为正。量纲：不同的，但惯性矩恒为正。量纲：不同的，但惯性矩恒为正。量纲：不同的，但惯性矩恒为正。量纲：L L4 4? ? ? 组合截面对某一轴的惯性矩等于各部组合截面对某一轴的惯性矩等于各部组合截面对某一轴的惯性矩等于各部组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对该轴的惯性矩之代数和。分对该轴的惯性矩之代数和。分对该轴的惯性矩之代数和。?分对该轴的惯性矩之代数和。? ? 惯性矩与极惯性矩的关系：惯性矩与极惯性矩的关系：惯性矩与极惯性矩的关系：惯性矩与极惯性矩的关系：11()()nzziinyyiiIIII=II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积惯性矩 极惯性矩 惯性积惯性积惯性积zdyzAIyA= = 图形对图形对图形对图形对 y, z y, z 轴的轴的轴的惯性积轴的惯性积惯性积惯性积y yz zO Od dA Az zy y?当当当当 y y ，z z 轴中有一个是图形的对称轴时，轴中有一个是图形的对称轴时，轴中有一个是图形的对称轴时，轴中有一个是图形的对称轴时，图形对这一对坐标的惯性积图形对这一对坐标的惯性积图形对这一对坐标的惯性积图形对这一对坐标的惯性积 I Iyzyz恒为零恒为零恒为零恒为零 0 , 0?I Iyzyz的数值可正、可负、可为零。的数值可正、可负、可为零。的数值可正、可负、可为零。的数值可正、可负、可为零。量纲：量纲：量纲：量纲：L L4 4II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积惯性矩 极惯性矩 惯性积, = 0例题例题例题例题II.1II.1II.1II.1已知：圆截面直径已知：圆截面直径d求求：Iy， Izd2 dAr r=()422012264dddrrr=432PdI = =202Pd212dzyArIIId dr rd dr rd dA AC Cz zy y例题例题例题例题II.2II.2II.2II.2已知：矩形截面已知：矩形截面b h求求：Iy， Iz312zhbI = =312ybhI = =C Cz zy yb bh hy y d dy yd dA Az zd dz zd dA A第第II.3节节平行移轴公式平行移轴公式II.3 平行移轴公式平行移轴公式移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。y1=yb , z1=za已知：已知：已知：已知： I Iy y、I Iz z、I Iyzyz求：求：求：求： I Iy y1 1、I Iz z1 1、I Iy y1 1z z1 12112111 111dddyAzAyzAIzAIyAIy zA=A Ay yz zO Od dA Az zy yy y1 1z z1 1O O z z1 1y y1 1ab平行移轴公式平行移轴公式已知：已知：已知：已知： I Iy y、I Iz z、I Iyzyz求：求：求：求： I Iy y1 1、I Iz z1 1、I Iy y1 1z z1 12112111 111dddyAzAy zAIzAIyAIy zA=y1=yb z1=za()()()()()()()()21211 1dddyAzAy zAIzaAIybAIybzaA=+=+=+=+=+=+21211 122yyyzzzy zyzyzIIaSa AIIbSb AIIbSaSabA=+=+ =+=+ =+=+ II.3 平行移轴公式平行移轴公式A Ay yz zO Od dA Az zy yy y1 1z z1 1O O z z1 1y y1 1abA Ay yz zO Oz zy y平行移轴公式平行移轴公式已知：已知：已知：已知： I Iy y、I Iz z、I Iyzyz求：求：求：求： I Iy y1 1、I Iz z1 1、I Iy y1 1z z1 1Sy=0Sz=0 如果如果如果如果y y、z z轴通过图形形心轴通过图形形心轴通过图形形心轴通过图形形心21211 1yyzzy zyzIIa AIIb AIIabA=+=+ =+=+ =+=+ II.3 平行移轴公式平行移轴公式y y1 1z z1 1O O z z1 1y y1 1ab21211 122yyyzzzy zyzyzIIaSa AIIbSb AIIbSaSabA=+=+ =+=+ =+=+ z zy yayzC Cd dA AbA A平行移轴公式平行移轴公式b ba aCyCzC Cy yz zO O2cyyIIa A=+=+2czzIIb A=+=+c cyzy zIIabA= =+ +? 因为面积及包含因为面积及包含因为面积及包含因为面积及包含a a2 2、b b2 2的项恒为正，故的项恒为正，故的项恒为正，故的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。总是增加的。总是增加的。总是增加的。平面图形对形心轴的惯性矩最小。平面图形对形心轴的惯性矩最小。平面图形对形心轴的惯性矩最小。平面图形对形心轴的惯性矩最小。?a a、b b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时正负号；二者同号时正负号；二者同号时正负号；二者同号时abAabA为正，异号时为负。为正，异号时为负。为正，异号时为负。为正，异号时为负。移轴后惯性积有可能增加，也可能减少。移轴后惯性积有可能增加，也可能减少。移轴后惯性积有可能增加，也可能减少。移轴后惯性积有可能增加，也可能减少。II.3 平行移轴公式平行移轴公式第第II.4节节转轴公式转轴公式II.4.1 转轴公式转轴公式已知：已知：已知：已知：I Iy y、I Iz z、I Iyzyz求：求：求：求：I Iy y1 1、I Iz z1 1、I Iy y1 1z z1 12112111 11 1dddyAzAy zAIzAIyAIy zA=所谓所谓所谓转轴定理所谓转轴定理转轴定理转轴定理（rotationrotation- -axis theoremaxis theorem）是研究坐标轴绕原点是研究坐标轴绕原点是研究坐标轴绕原点是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。11cossincossinyyzzzy = =+=+=y yz zO Oy y1 1z z1 1 d dA Az zy yz z1 1y y1 1转轴公式转轴公式已知：已知：已知：已知：I Iy y、I Iz z、I Iyzyz求：求：求：求：I Iy y1 1、I Iz z1 1、I Iy y1 1z z1 12112111 111dddyAzAy zAIzAIyAIy zA=11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIII + +=+=+=+=+1 1sin2cos22yzy zyzIIII =+=+( () )22211PddyzyzAAIIIIyzAAI + +=+=+=+=+=图形对过同一点的任意一图形对过同一点的任意一图形对过同一点的任意一图形对过同一点的任意一对垂直轴的惯性矩之和为对垂直轴的惯性矩之和为对垂直轴的惯性矩之和为对垂直轴的惯性矩之和为常数。即在轴转动时，其常数。即在轴转动时，其常数。即在轴转动时，其常数。即在轴转动时，其惯性矩和保持不变。惯性矩和保持不变。惯性矩和保持不变。惯性矩和保持不变。II.4.1 转轴公式转轴公式11cossincossinyyzzzy = =+=+=y yz zO Oy y1 1z z1 1 d dA Az zy yz z1 1y y1 1O Oy yz z主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩y0 ，z0轴是图形的主惯性轴，简称主轴轴是图形的主惯性轴，简称主轴y y0 0 ，z z0 0轴是图形的轴是图形的轴是图形的主惯性轴，轴是图形的主惯性轴，主惯性轴，主惯性轴，简称简称简称主轴简称主轴主轴主轴0z0y0O OO O1y1z=AyzAyIzd 0, 0 ,1 111z dy zAIyA=0000z dy zAIyA= 0II.4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩过点过点O存在坐标系存在坐标系y0Oz0 ，满足特例，满足特例图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩图形对于主轴的惯性矩图形对于主轴的惯性矩图形对于主轴的惯性矩图形对于主轴的惯性矩称为称为称为主惯性矩称为主惯性矩主惯性矩主惯性矩00,yzIIy yz z主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩0000z d0y zAIyA=II.4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩任意平面图形上的任意点任意平面图形上的任意点O（图形内或图形外）都有主轴，即过该点存在坐标系（图形内或图形外）都有主轴，即过该点存在坐标系y0Oz0，满足满足y yz zO Oy y0 0z z0 0 0 0 0 0d dA Az zy yz z0 0y y0 0y0 ，z0轴是图形的主惯性轴，简称主轴轴是图形的主惯性轴，简称主轴y y0 0 ，z z0 0轴是图形的轴是图形的轴是图形的主惯性轴，轴是图形的主惯性轴，主惯性轴，主惯性轴，简称简称简称主轴简称主轴主轴主轴图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩图形对于主轴的惯性矩图形对于主轴的惯性矩图形对于主轴的惯性矩图形对于主轴的惯性矩称为称为称为主惯性矩称为主惯性矩主惯性矩主惯性矩00,yzII主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩0000z d0y zAIyA=II.4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩任意平面图形上的任意点任意平面图形上的任意点O（图形内或图形外）都有主轴，即过该点存在坐标系（图形内或图形外）都有主轴，即过该点存在坐标系y0Oz0，满足满足y yz zy y0 0z z0 0d dA Az zy yz z0 0y y0 0 0 0 0 0主轴主轴主轴主轴的方位由的方位由的方位由的方位由 0 0确定，确定，确定，确定，0 00002sin2cos2yzy zyzIIII=+=+20tan2yzyzIII = = 1 1sin2cos22yzyzyzIIII =+=+O O 0 0满足下式满足下式满足下式满足下式主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩II.4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩y yz zy y1 1z z1 1d dA Az zy yz z1 1y y1 1 0dd0dd11=zyII，当当当当 改变时，改变时，改变时，改变时，I Iy yl l l l、I Iz zl l l l的数值也发的数值也发的数值也发的数值也发生变化，而当生变化，而当生变化，而当生变化，而当 = = = = 0 0 0 0时，二者分别为时，二者分别为时，二者分别为时，二者分别为极大值和极小值。极大值和极小值。极大值和极小值。极大值和极小值。I Iy y0 0 0 0、I Iz z0 0 0 0主主主主惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩11cos2sin222cos2sin222yzyzyyzyzyzzyzIIIIIIIIIIII + +=+=+=+=+0 = =202022maxminyyzyzyzzIIIIIIIII=+=+=+=+=y y0 0z z0 0z z0 0y y0 0 0 0 0 0O O形心主惯性轴和形心主惯性矩形心主惯性轴和形心主惯性矩000 C0d0CCyzCAIy zA=yC0，zC0轴是图形的形心主惯性轴轴是图形的形心主惯性轴y yC0C0，z zC0C0轴是图形的轴是图形的轴是图形的形心主惯性轴是图形的形心主惯性形心主惯性形心主惯性轴轴轴轴图形对于图形对于yC0，zC0轴的惯性矩称为形心主惯性矩轴的惯性矩称为形心主惯性矩图形对于图形对于图形对于图形对于y yC0C0，z zC0C0轴的惯性矩称轴的惯性矩称轴的惯性矩称轴的惯性矩称为为为形心主惯性矩为形心主惯性矩形心主惯性矩形心主惯性矩II.4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩对于对于对于任意一点对于任意一点任意一点任意一点（图形内或图形外）（图形内或图形外）（图形内或图形外）都（图形内或图形外）都都都有主轴有主轴有主轴有主轴，通过形心的主轴称为通过形心的主轴称为通过形心的主轴称为形心主惯性轴通过形心的主轴称为形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴，图，图，图，图形对形心主轴的惯性矩称为形对形心主轴的惯性矩称为形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性形心主惯性形心主惯性矩矩矩矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心工程计算中有意义的是形心主轴与形心工程计算中有意义的是形心主轴与形心工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。主矩。主矩。主矩。y yC Cz zC CC Cy yC C0 0z zC C0 0 0 0 0 0有对称轴截面的惯性主轴有对称轴截面的惯性主轴II.4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩z zy yC Cd dA Ad dA Ay yy yz z- -z zI Iyzyz= = ( (y yi iz zi id dA A- - y yi iz zi id dA A)=0)=0当图形有一根对称当图形有一根对称当图形有一根对称当图形有一根对称轴时，对称轴及与之轴时，对称轴及与之轴时，对称轴及与之轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过垂直的任意轴即为过垂直的任意轴即为过垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。二者交点的主轴。二者交点的主轴。二者交点的主轴。因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。几何性质以及移轴和转轴定理。几何性质以及移轴和转轴定理。几何性质以及移轴和转轴定理。确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法工程计算中应用最广泛的是组合图形工程计算中应用最广泛的是组合图形工程计算中应用最广泛的是组合图形工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心主轴之惯性矩。为此，心主轴之惯性矩。为此，心主轴之惯性矩。为此，必须首先确定心主轴之惯性矩。为此，必须首先确定必须首先确定必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置图形的形心以及形心主轴的位置图形的形心以及形心主轴的位置图形的形心以及形心主轴的位置。II.4.3 组合图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩组合图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法? 将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形的形心位将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形的形心位将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形的形心位将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形的形心位置。置。置。置。? 以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设OyzOyz坐标系坐标系坐标系坐标系y y、z z 轴轴轴轴 一般与简单图形的一般与简单图形的一般与简单图形的一般与简单图形的形心主轴平行。确定简形心主轴平行。确定简形心主轴平行。确定简形心主轴平行。确定简 单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴轴轴轴 定理（必要时用转轴定理）确定各个简单定理（必要时用转轴定理）确定各个简单定理（必要时用转轴定理）确定各个简单定理（必要时用转轴定理）确定各个简单 图形对图形对图形对图形对y y、z z轴的惯轴的惯轴的惯轴的惯性矩，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的性矩，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的性矩，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的性矩，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的I Iy y、I Iz z。?计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩I Iy yC C和和和和I Iz zC C。?确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与 z z 轴的夹角。轴的夹角。轴的夹角。轴的夹角。II.4.3 组合图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩组合图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩例题例题例题例题II.3II.3II.3例 求图示截面对II.3例 求图示截面对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。Rz) 1 (R)2(zaaz)3(zaa)4(864)2(2144RRIz=1682144RRIz=422431212aaaaIz=+=4441631163aaaIz=)5(aa z y124aIIzy=412zaI = =z例题例题例题例题II.4II.4II.4II.4图形尺寸如图所示，求：图形的形心主矩图形尺寸如图所示，求：图形的形心主矩解: 1)将所给图形分解为简单图形的组合解: 1)将所给图形分解为简单图形的组合yz2)2)2)2)建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置yC()333313333310270 1050 10150 10m=90mm300 1030 10270 1050 10iCiiCiiA yyA=+=+例题例题例题例题II.4II.4II.4II.4解: 1)将所给图形分解为简单图形的组合解: 1)将所给图形分解为简单图形的组合2)2)2)2)建立初始坐标，确建立初始坐标，确建立初始坐标，确建立初始坐标，确定形心位置定形心位置定形心位置定形心位置313190 m miC iiCiiA yyA=yzyCy0z0I Iy y0 0= =I Iy y0 0( ()+)+I Iy y0 0( () ) 4-93-3-93-3m1210501027012103001030+=4745mm10037m10037=.3) 3) 3) 3) 求形心主惯性矩求形心主惯性矩求形心主惯性矩求形心主惯性矩Iz0=Iz0()+Iz0() =12103010300-93-312100721050-93-3+4844mm10042m10042=.()-3-3621030103001090+()26-3-346010270 1050 10m+例题例题例题例题II.4II.4II.4II.4第第第第1313章章章章?内容内容13.1 弯13.1 弯曲的基本概念曲的基本概念13.2 载荷集度、剪力与弯矩的微分关系及梁的平衡微分方程13.2 载荷集度、剪力与弯矩的微分关系及梁的平衡微分方程13.3 利用载荷集度与剪力和弯矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图，13.3 利用载荷集度与剪力和弯矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图，平面图形的几何性质平面图形的几何性质13.4 纯弯曲时梁横截面上的应力及弯曲正应力公式13.4 纯弯曲时梁横截面上的应力及弯曲正应力公式13.513.5剪切剪切弯曲时梁横截面上的应力、弯曲切应力公式弯曲时梁横截面上的应力、弯曲切应力公式13.6 弯曲中心13.6 弯曲中心13.7 弯曲强度条件13.7 弯曲强度条件13.8 梁的强度计算13.8 梁的强度计算13.9 梁的挠曲线近似微分方程13.9 梁的挠曲线近似微分方程13.10 计算梁的位移的积分法13.10 计算梁的位移的积分法13.11 叠加原理及其在梁的位移计算中的应用13.11 叠加原理及其在梁的位移计算中的应用13.12 提高梁的强度和刚度的主要措施13.12 提高梁的强度和刚度的主要措施13.13 梁的塑性弯曲13.13 梁的塑性弯曲问题的提出问题的提出? 如何设计车轮轴的横截面如何设计车轮轴的横截面? 如何计算火车车轮轴内的应力如何计算火车车轮轴内的应力? 如何简化出火车车轮轴的计算模型如何简化出火车车轮轴的计算模型?概述概述第第13.1节节以弯曲变形为主的杆件称为梁。当作用于梁上的外力系为平面力系，且变形后的轴线为该平面的平面曲线，这样的弯曲称为以弯曲变形为主的杆件称为梁。当作用于梁上的外力系为平面力系，且变形后的轴线为该平面的平面曲线，这样的弯曲称为平面弯曲平面弯曲。通常梁的横截面内有一对称轴，对称轴与轴线构成纵向对称面。当外力系为该平面的平面力系，这样的平面弯曲称为。通常梁的横截面内有一对称轴，对称轴与轴线构成纵向对称面。当外力系为该平面的平面力系，这样的平面弯曲称为对称弯曲。对称弯曲。xFqMeF1弯曲的认识弯曲的认识13.1 弯曲的基本概念弯曲的基本概念返回1)纯弯曲：梁截面上没有剪力，而只有弯矩。2)横力弯曲：梁截面上既有剪力，又有弯矩 。3)典型的梁1)纯弯曲：梁截面上没有剪力，而只有弯矩。2)横力弯曲：梁截面上既有剪力，又有弯矩 。3)典型的梁q简支梁简支梁F外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁Me(FS)FF-+(M)Fa+aaFFABCD纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲13.1 弯曲的基本概念弯曲的基本概念弯曲的认识弯曲的认识返回13.1 弯曲的基本概念纯弯曲弯曲的基本概念纯弯曲纯弯曲纯弯曲 弯矩为常量，剪力为零弯矩为常量，剪力为零（如图中AB 段 ） PD A C Bx Q ?P横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲既有弯矩，又有剪力既有弯矩，又有剪力（如图中AC 段和BD 段 ）平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲ABPaPaDCP P PaA C D Bx M ?第第9.5节节3、剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图?剪力、弯矩的正负号规定剪力、弯矩的正负号规定剪力、弯矩的正负号规定剪力、弯矩的正负号规定。sFsF或或剪力Fs弯矩MMMFsFsMM9.5.2 一般杆件的内力方程和内力图一般杆件的内力方程和内力图3、剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图?剪力、弯矩剪力、弯矩剪力、弯矩剪力、弯矩的计算的计算的计算的计算 。去外去外去外右外)()()()()()(S=CiiyyMxMFFFxF剪力剪力剪力剪力F FS S( (x x) =) =去掉部分所有外力去掉部分所有外力去掉部分所有外力去掉部分所有外力 在横截面上投影的代数和在横截面上投影的代数和在横截面上投影的代数和在横截面上投影的代数和弯矩弯矩弯矩弯矩MM( (x x) =) =去掉部分所有外力去掉部分所有外力去掉部分所有外力去掉部分所有外力 对过横截面形心之矩的代数和对过横截面形心之矩的代数和对过横截面形心之矩的代数和对过横截面形心之矩的代数和每一项符号由去掉部分对留下部分的作用而定。每一项符号由去掉部分对留下部分的作用而定。每一项符号由去掉部分对留下部分的作用而定。每一项符号由去掉部分对留下部分的作用而定。FSIMx左外）（=yyFxFF)(, 0S左外）（=CCMxMM)(, 0C平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲内力方程：内力方程：内力方程：内力方程：I留下部分留下部分留下部分留下部分去掉部分去掉部分去掉部分去掉部分9.5.2 一般杆件的内力方程和内力图一般杆件的内力方程和内力图4、载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系( )SddFqxx=( )SddMFxx=( )( )2S2ddddFMqxxx=(1)(1)(1)(1)若若若若q q( (x x) )=0=0 ：，F FS S图为平行于轴线的直线图为平行于轴线的直线图为平行于轴线的直线图为平行于轴线的直线；MM( (x x) )为为为为x x的一次函数的一次函数的一次函数的一次函数，MM图为一斜直线图为一斜直线图为一斜直线图为一斜直线( )constS=xF(2)(2)(2)(2)若若若若：F FS S( (x x) ) 为为为为x x的一次函数，的一次函数，的一次函数，的一次函数，F FS S图为一斜直线图为一斜直线图为一斜直线图为一斜直线，(:q 图图MxMqMxMq,0dd,;,0dd,2222( ( ) )const0q x =( ( ) )const0q x =(3)(3)(3)(3)若若若若，MM在在在在x x0 0 0 0截面处截面处截面处截面处有极值有极值有极值有极值。(4)(4)(4)(4)集中集中集中集中P P力作用处力作用处力作用处力作用处：剪力图突变，突变值剪力图突变，突变值剪力图突变，突变值剪力图突变，突变值= = = =P P, , , ,弯矩图尖点弯矩图尖点弯矩图尖点弯矩图尖点；集中力集中力集中力集中力MM偶作用处偶作用处偶作用处偶作用处，剪力图不变，弯矩图突变剪力图不变，弯矩图突变剪力图不变，弯矩图突变剪力图不变，弯矩图突变, , , ,突变值突变值突变值突变值= = = =MM。( () )S00Fx= =9.5.2 一般杆件的内力方程和内力图一般杆件的内力方程和内力图Fs图图: ;:q Fs图图: )( (F FS S0000MM图图图图: ;: ;F FS S0000MM图图图图: ): )；MM( (x x) ) 为为为为x x的二次函数，的二次函数，的二次函数，的二次函数，MM图为图为图为图为一抛物线一抛物线一抛物线一抛物线例题例题例题例题9.149.149.149.144 m1kN/mq= =e12kN mM = = 例例例例9.14 9.14 9.14 9.14 试利用微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。试利用微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。试利用微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。试利用微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。7kNAF = =5kNBF = =(M)kNm(FS)7kN2kN165m2020.5F2=2kNF1=2kN4 m4 m4 mAB3kN1kN3kN48尖点尖点尖点尖点: : : :弯矩弯矩弯矩弯矩=4=4=4=4 7 7 7 7- - - -1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 2 2M 5 7 2 1 1 5 2.5= = Mmax= =第第13.4节节?平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程?平面假定与变形协调方程?应变分布与应力分布应变分布与应力分布应变分布与应力分布?应变分布与应力分布?应用静力学力系等效确定待定常数应用静力学力系等效确定待定常数应用静力学力系等效确定待定常数?应用静力学力系等效确定待定常数?正应力表达式正应力表达式正应力表达式正应力表达式13.4 纯弯曲时梁横截面上的应力及弯曲正应力公式纯弯曲时梁横截面上的应力及弯曲正应力公式平面假定平面假定平面假定平面假定变变变变形形形形物物物物理理理理关关关关系系系系静力学关系静力学关系静力学关系静力学关系?横截面上的应力分析方法横截面上的应力分析方法横截面上的应力分析方法横截面上的应力分析方法应变分布应变分布应变分布应变分布应力分布应力分布应力分布应力分布应力公式应力公式应力公式应力公式几何关系几何关系几何关系几何关系本章作业本章作业本章作业本章作业第一次第一次第一次第一次 P P P P331331: : : :IIII3 3，IIII4 4， IIII7 7第第第第1414章章章章?内容内容14.1 组合变形的概念与分析方法14.1 组合变形的概念与分析方法14.2 强度理论概念14.2 强度理论概念14.3 常用的强度理论14.3 常用的强度理论14.4 斜弯曲14.4 斜弯曲14.5 拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）14.5 拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）14.6 弯扭组合14.6 弯扭组合14.7 组合变形的普遍情形14.7 组合变形的普遍情形引言引言知识导入：经过对材料力学前几章的学习，我们已经掌握了构件的四种基本变形，即：轴向拉（压）、剪切、扭转和弯曲。工程上多数构件的变形并不仅仅是这四种基本变形中的某一种，常常是几种基本变形的组合，即组合变形。第第14.1节节14.1 组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法组合变形组合变形构件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基本变形，且均不可忽略的情况。构件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基本变形，且均不可忽略的情况。组合变形的概念组合变形的概念1、拉（压）与弯曲组合、拉（压）与弯曲组合2、弯曲与扭转组合、弯曲与扭转组合3、拉（压）与扭转组合、拉（压）与扭转组合4、拉（压）、扭转与弯曲组合等、拉（压）、扭转与弯曲组合等组合变形强度条件危险点危险截面内力外力强度校核截面设计确定许可外载选择材料目的和意义目的和意义14.1 组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法厂房边柱厂房边柱厂房边柱厂房边柱压（拉）弯组合F FN NMM实例实例14.1 14.1 组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法矩 形 截 面 梁 斜 弯 曲矩 形 截 面 梁 斜 弯 曲实例实例14.1 组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法实例实例坡屋顶上的横梁坡屋顶上的横梁坡屋顶上的横梁坡屋顶上的横梁斜弯曲14.1 组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法实例实例弯 扭 组 合 变 形弯 扭 组 合 变 形14.1 14.1 组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法组合变形的概念与分析方法应用叠加原理，采取先分解、应用叠加原理，采取先分解、应用叠加原理，采取先分解、应用叠加原理，采取先分解、 后综合的方法后综合的方法后综合的方法后综合的方法（在在线弹性范围（在在线弹性范围,且小变形下可认为各载荷引起的变形、应力等互不影响）且小变形下可认为各载荷引起的变形、应力等互不影响）1)先将作用在构件上的载荷分解，并分组，使构件在每组载荷作用下只产生一种基本变形先将作用在构件上的载荷分解，并分组，使构件在每组载荷作用下只产生一种基本变形；2)分别计算构件在每种基本变形时的内力、应力等；分别计算构件在每种基本变形时的内力、应力等；3)将计算结果叠加，得到构件在组合变形下的应力，将计算结果叠加，得到构件在组合变形下的应力，4) 强度计算。强度计算。分析方法分析方法正应力：代数值叠加切应力：矢量叠加正应力：代数值叠加切应力：矢量叠加第第14.2节节14.2 14.2 强度理论概念强度理论概念强度理论概念强度理论概念1）脆性断裂脆性断裂：突然，无明显的塑性变形。原因：突然，无明显的塑性变形。原因：被拉坏。：被拉坏。2）塑性屈服塑性屈服（流动破坏）：发生屈服，有明显的塑性变形。原因（流动破坏）：发生屈服，有明显的塑性变形。原因：被剪坏。：被剪坏。? 两种强度失效形式两种强度失效形式两种强度失效形式两种强度失效形式强度理论强度理论 材料失效的假说材料失效的假说14.2 14.2 强度理论概念强度理论概念强度理论概念强度理论概念强度理论强度理论 材料失效的假说材料失效的假说注意：强度注意：强度注意：强度注意：强度失效不仅取