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中国教育培训行业十大领军品牌相似三角形考点一 相似三角形的定义 如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似考点二 相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.运用相似三角形的性质要特别注意“对应”，并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比，而只有对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比才等于相似比.考点三 相似三角形的判定 1平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似3两角对应相等的两个三角形相似4三边对应成比例的两个三角形相似直角三角形相似的条件：(1)两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(2)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；(3)有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(4)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.考点一相似三角形的性质例1(2013湘西)如图，在ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则EDF与BCF的周长之比是()A12 B13 C14 D15【点拨】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC.点E是AD的中点，DEADBC.DEBC，EDFBCF，EDF的周长BCF的周长DEBC12.故选A.方法总结相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.考点二相似三角形的判定例2(2013淄博)如图，直角梯形ABCD中，ABCD，C90，BDA90，ABa，BDb，CDc，BCd，ADe，则下列等式成立的是()Ab2ac Bb2ce Cbeac Dbdae【点拨】ABCD，BDCABD.又CBDA90，BCDADB，即.由可得bead；由可得b2ac；由可得bdce.故选A.方法总结判定两个三角形相似的方法有多种，要结合题目给出的条件和图形中隐含的条件，确定合适的方法.常用的方法有：(1)两个角对应相等；(2)平行线法.1如图所示，在ABC中，AEDB，则下列等式成立的是(C)A. B. C. D.解析：AEDB，AA，ADEACB.且边AD与AC对应，AE与AB对应，DE与BC对应.故选C.2如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是(B)解析：由图知，AB，BC2，AC.A图中三边长依次为，3；B图中三边长依次为1，；C图中三边长依次为1，2；D图中三边长依次为2，.容易得出，B图中的三角形和ABC相似故选B.3如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA1.52米，OB4米，OM5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM 3.42米解析：AONM，BOABMN.，解得NM3.42(米)4如图，12，添加一个条件使得ADEACB, BE(或DC或).解析：12，1BAE2BAE，即DAECAB，要使三角形相似，如根据两角对应相等，两三角形相似，则可知BE或DC；若根据两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似，则可添加，故答案可以是BE或DC或.5如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么 .解析：，ADBC，.BCAD，BFEDFA.6如图，已知四边形ABCD是平行四边形(1)求证：MEF MBA；(2)若AF，BE分别是DAB，CBA的平分线，求证：DFEC.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，CDAB.MEF MBA.(2)在ABCD中，CDAB，DFAFAB.又AF是DAB的平分线，DAFFAB.DAFDFA.ADDF.同理可得ECBC.又ADBC.DFEC.考点训练一、选择题(每小题4分，共44分)1(2013重庆)已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为34，则ABC与DEF的面积之比为(D)A43 B34 C169 D9162下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)解析：根据勾股定理得，AB2，BC，AC，所以ABC的三边之比为212.A中三角形的三边分别为2，3，三边之比为233，故A不符合；B中三角形的三边分别为2,4，2，三边之比为24212，故B符合；C中三角形的三边分别为2,3，三边之比为23，故C不符合；D中三角形的三边分别为，4，三边之比为4，故D不符合故选B.3(2013温州)如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC.已知AE6，则EC的长是(B)A4.5 B8 C10.5 D14解析：DEBC，.AE6，EC8.故选B.4如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，则图中相似三角形共有(C)A1对 B2对 C3对 D4对解析：ACB90，CDAB，ABCACD，ACDCBD，ABCCBD，共有三对相似三角形故选C.5(2013北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBC，CDBC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上若测得BE20 m，EC10 m，CD20 m，则河的宽度AB等于(B)A60 m B40 m C30 m D20 m解析：根据题意，知ABEDCE，即，AB40(m)故选B.6(2013上海)如图，已知在ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DEBC，EFAB，且ADDB 35，那么CFCB等于(A)A58 B38 C35 D25解析：DEBC，ADDB 35，AEECADDB 35.ECAE53，ECAC58.EFAB，CFCBECAC58.故选A.7(2013聊城)如图，点D是ABC的边BC上任一点，已知AB4，AD2，DACB.若ABD的面积为a，则ACD的面积为(C)Aa B. a C. a D. a解析：DACB，CADCBA.AB4，AD2，.BC2AC，AC2CD，BC4CD，BD3CD.ABD的面积为a，ACD的面积为a.故选C.8(2013柳州)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)A10米 B12米 C15米 D22.5米解析：由太阳光是平行光线，可得ACDBAE，即，解得BE10(米)故选A.9(2013宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(1,1)，(4,1)，(6,1)，以C，D，E为顶点的三角形与ABC相似，则点E的坐标不可能是(B)A(6,0) B(6,3) C(6,5) D(4,2)解析：观察图形可知，AB6，BC3，CD2，若点E的坐标为(6,3)，则DE2.2，1，以C，D，E为顶点的三角形与ABC不相似，即点E的坐标不可能是(6,3)故选B.10如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且FCBC.图中相似的三角形共有( C )A1对 B2对 C3对 D4对11 如图，在钝角三角形ABC中，AB6 cm，AC12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1 cm/ s，点E运动的速度为2 cm / s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是(A)A3 s或4.8 s B3 s C4.5 s D4.5 s或4.8 s解析：根据题意，设当以点A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是x s，若ADEABC，则，解得x3；若ADEACB，则，解得x4.8.当以点A，D，E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s故选A.二、填空题(每小题3分，共18分)12已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_91_.13如图，在ABCD中，AD10 cm，CD6 cm.E为AD上一点，且BEBC，CECD，则DE3.6cm.解析：由题意，知BEBC10 cm，CECD6 cm，BECBCE，CDECED.ADBC，CEDBCE，BECCDE，BCECED，DE3.6(cm)14(2013安徽)如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，PEF，PDC，PAB的面积分别为S，S1，S2，若S2，则S1S2= 8 .解析：E，F分别为PB，PC的中点，EF是PBC的中位线，EFBC，EFBC.PEFPBC，且.S2，SPBC8.S1S2SPBC8.15(2013齐齐哈尔)如图，要使ABC与DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 ADBCAB(或BADC或)(填一个即可)解析：B是ABC与DBA的公共角，添加ADBCAB或BADC都可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得证；也可添加，根据“两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似”得证16(2013淄博)在ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线如图，A36，ABAC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的ABC的相似线最多有 3 条解析：如图，过点P作PDBC，则APDABC；连接PC并延长，则CPBABC；过点P作PEAC，则PBEABC，所以符合题意的相似线最多有3条17(2013潍坊)如图，直角三角形ABC中，ACB90，AB10，BC6，在线段AB上取一点D，作DFAB交AC于点F，现将ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1.若E1FA1E1BF，则AD .解析：在RtABC中，ACB90，AB10，BC6，AC8.设ADA1D4x，则DF3x，AFA1F5x，AEEDDE1A1E12x，E1B106x.E1FA1E1BF，E1F2E1A1E1B.在RtDFE1中，E1F2DF2E1D2，DF2E1D2E1A1E1B，即(3x)2(2x)22x(106x)，解得x10(舍去)，x2，AD4x.18(9分)(2013泰安)如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADCACB90，E为AB的中点(1)求证：AC2ABAD；(2)求证：CEAD；(3)若AD