线性代数临考复习讲义.doc

目录第一章行列式 3第二章矩阵 24第三章n 维向量和线性方程组 41第四章向量空间 73第五章特征值、特征向量，实对称阵的对角化 82第六章二次型 93第一章行列式一、基本要求:1.理解 n 阶行列式的概念2.掌握行列式的性质,会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理熟练计算 3、4 阶行列式,会计算较简单的 n 阶行列式。二、基本概念与要点揭示1、行列式概念 (i) n 阶行列式a11D = a21a12a22a1na2 nan1an 2ann等于 n!项的代数和,每项都是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积; a1 p , a2 p12, an p ,这n里 p1 , p2 , pn 是 1,2,n 的一个 n 元排列,当 p1 p2 pn 为偶排列时,该项带正号;当p1 p2 pn 为奇排列时,该项带负号,记为1 p1D = (1) ( p1 p2 pn ) aa2 p2 anp np1 p2 pn其中 表示对 1,2, ,n 的 n!个全排列求和,上式右端称为 n 阶行列式的展开式。p1 p2 pn(ii)转置行列式:若记a11D = a21a12a22a1na2 n, D Ta11= a12a21a22an1an 2an1an 2anna1na2 nann则称行列式 D T 为行列式 D 的转置行列式。(iii) 代数余子式: 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来i + j的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记作 M ij 。余子式 M ij 连同符号 (1)i + j的乘积Aij= (1)M ij称为元素 aij 的代数余子式。元素 aij 的代数余子式 Aij 与 aij 的位置有关,而与 aij 本身数值无关。2.行列式的性质(i)行列式与它的转置行列式相等。(ii) 互换行列式的任意两行(列),行列式变号。(iii)行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外,或者说,用一个数乘行列 式等于用该数乘行列式的某一行(列)。(iV) 若行列式中的某两行(列)对应元素成比例,或有一行(列)元素全为零,行列式的 值为零。(V) 若行列式的某一行(列)元素都是两个数之和,则此行列式等于两个行列式之和,即a11a12a1na11a12a1na11a12a1nai1 + bi1ai 2 + bi 2 ain + bin= ai1ai 2ain+ bi1bi 2binan1an 2annan1an 2 annan1an 2 ann(vi) 将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行 列式的值不变。3. 行列式按行(列)展开(i) n 阶行列式 D 中的任意一行(列)的各元素 aij 与其对应的代数余子式 Aij 的乘积之和 等于 D 的值;而任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即nD, i = j ;ai1 A j1 + ai 2 A j 2 +ain A jn = aik A jk= D ij= , i j(1)k =1n0D, i = j ;或a1i A1 j + a2i A2 j +ani Anj= aki Akjk =1= D ij= 0, i j(2)1,i = j;其中 ij= 0,i 称(1)式为按行展开,(2)式为按列展开。j(ii)* 行列式的拉普拉斯(Laplace)展开k 阶子式定义: n 阶行列式 D 中,任取 k 行 k 列 (1 k n) ,位于这些行和列的交点上 k 2个元素按原来次序所构成的 k 阶行列式 N,称为 n 阶行列式 D 的一个 k 阶子式。k 阶子式的代数余子式定义:在 n 阶行列式 D 中划去某 k 阶子式 N 所在的 k 行 k 列后剩 下的元素按原来次序所构成的 n-k 阶行列式 M,称为 k 阶子式 N 的余子式。假如 k 阶子式 N所 在 行 的 序 号 是 i1 ,i2 ,ik, 所 在 列 的 序 号 是j1 , j2 , jk, 那 么(1) i1 +i2 + ik + j1 + j2 + jk M = A ,称为 k 阶子式 N 的代数余子式。拉普拉斯(Laplace)定理: 设在 n 阶行列式 D 中任意取定了 k 个行 (1 k n 1) ,由这 k 个行元素所构成的一切 k 阶子式与它们所对应的代数余子式乘积的和等于行列式 D 的值。即若在 D 中取定 k 行后得到的一切 k 阶子式为 N1 , N 2 , N t ,它们所对应的代数余 子式依次为 A1 , A2 , At ,则D = N1 A1 + N 2 A2 + N t Att= N i Aii =1n其中t = C k= n(n 1)(n k + 1) =k !n!k !(n k )!拉普拉斯展开的两个特殊情况:a11a1n00a11a1nb11b1man1c11annc1n0b110b1m= ,an1annbm1 bmmcm100 b11 bm1cmn 0 0 b1mbmmbm1 a11 an1c11cm1 bmm a1n annc1ncmna11= (1) mn an1a1n annb11 bm1b1m 。bmm4.一些特殊行列式(i)a110a12a 22a1na 2 n= a a a11 22 nn0 0 a nn注主对角线以上元素全为零的行列式结论同上。a11a12a1n(ii)a21a220= (1)n ( n 1)2a1n a2 ,n 1an1an100注次对角线以上元素全为零的行列式结论同上。(iii) 范德蒙 (Vandermonde)行列式111a1a222a1a2an2aan= (ai a j )1 j 2 时,= (a1 a2 )(b2 b1 )a1D = a2a1 + b2a2 + b2a1 + bna2 + bnb1+ b1a1 + b2a2 + b2a1 + bna2 + bnanan + b2an + bnb1an + b2an + bna1a1a1 + b3a1 + bna1b2a1 + b3a1 + bnaaa + ba + baba + ba + b=22232n+22232nan an b1 a1 b1a2an + b3a1 + b3a2 + b3an + bnanb2a1 + bnb1b2a2 + bn + b1b2an + b3a1 + b3a2 + b3an + bna1 + bna2 + bn b1anan + b3an + bnb1b2an + b3an + bna111a111a11aa1a= = bb b2+ b22 = 023n 1 an1011an, n 2;an综合上述,所求行列式 D = (a1 a2 )(b2 b1 ), n = 2;a1 + b1, n = 1注: 此题也可不用分裂法,而利用行列式性质(vi)化简。计算将会更简单。例 9计算a1 + 1a2 + 1a3 + 11b + 1b + 1b + 11D =123c1 + 1c2 + 1c3 + 11bbba解将最后一列改写为两项之和,即a1 + 1a2 + 1a3 + 10 + 1b + 1b + 1b + 10 + 1D =123c1 + 1c2 + 1c3 + 10 + 1bbb再将最后一列分裂为两个行列式之和,得(a b) + ba1 + 1a2 + 1a3 + 10a1 + 1a2 + 1a3 + 11b + 1b + 1b + 10b + 1b + 1b + 11D =123+123c1 + 1c2 + 1c3 + 10c1 + 1c2 + 1c3 + 11bbba bbbbba1 + 1a2 + 1a3 + 1a1 + 1b + 1a2 + 1b + 1a3 + 1 1b + 1 1= (a b) b1 + 1c1 + 1b2 + 1c2 + 1b3 + 1 + bc3 + 11c1 + 112c2 + 113c3 + 1 11第一个三阶行列式再继续折成行列式之和; 而第二个四阶行列式第四行乘以-1 分别加到第 一、二、三行上,得 aaa1aaa1aaa1 aaa 123231312123D = (a b) b1b2b3 + 1b2b3 + b11b3+ b1b21 + b b1b2b32 c1c2c31c2c3c11c3c1c21 c1c2c3a1 a 2a3 1 a 2a3a1 1 a 3a1 a 21 = a b b b+ (a b) 0b a b a+ b a0 b a+ b a b a 0123223311331122c1 c2 c3 0 c2 a2c3 a3c1 a10 c3 a3c1 a1c2 a 20 a1b1c1 b ab ab ab ab ab a = a a2b2ca3b3c2 + (a b)c 232 a233c3 a3 11c1 a133c3 a3+ 11c1 a122 c2 a2 = a(a1b2 c3 + a2 b3 c1 + a3b1c2 a3b2 c1 a2 b1c3 a1b3 c2 ) + (a b)(b2 a2 )(c3 a3 )(b3 a3 )(c2 a2 ) (b1 a1 )(c3 a3 ) + (b3 a3 )(c1 a1 ) + (b1 a1 )(c2 a2 )(b2 a2 )(c1 a1 ) 。5. 利用范德蒙行列式计算1xx 2x 3例 10解方程1248= 01392715251251112354925827125解将行列式转置便知它是一个 4 阶范德蒙行列式。即1xx 2x 311248x=13 927x 21525125x 3= (2 x)(3 x)(5 x)(3 2)(5 2)(5 + 3) = 0(方程的解为 x = 2, x = 3, x = 5 )。a na n 1ba b n 1 b n1111 11a na n 1ba b n 1 b n例 11计算 D =2222 22ann +1n 1abn +1 n +1n 1abn +1 n +1nbn +1解将行列式的第 1、2、n+1 行分别提取 a n , a n ,a n 得b b12n 1n +1n b 1 1 a1 1