王建军定积分的概念

学科 高中数学 题目 定积分的概念 作者 王建军 单位 江西樟树三中 邮编 331200 电话应用说明 1 本作品运用了powerpoint本作品在Win2003或WinXP下运行2 本课件高中数学北师大版2 2的第四章的第一节的第一课时使用 定积分的概念 第一课时 樟树三中王建军 一 引进定积分概念的两个例子 1 曲边梯形的面积 曲边梯形 在直角坐标系下 由闭区间 a b 上的连续曲线y f x 0 直线x a x b与x轴围成的平面图形AabB 基于这种想法 可以用一组平行于y轴的直线 把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形 只要分割得较细 每个小曲边梯形很窄 则其高f x 的变化就很小 这样 可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底 底上某点函数值为高的矩形 曲线y f x 是连续的 所以 当点x在区间 a b 上某处变化很小时 则相应的高f x 也就变化不大 显然 分割越细 近似程度就越高 当无限细分时 则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值 用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积 进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积 1 分割 在区间 a b 内任意插入n 1个分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn b 把区间 a b 分成n个小区间 x0 x1 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn 这些小区间的长度分别记为 xi xi xi 1 i 1 2 n 过每一分点作平行于y轴的直线 它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形 根据以上分析 可按下面四步计算曲边梯形面积 a x0 x1 xi 1 xn b xi 2 近似代替 在每个小区间 xi 1 xi i 1 2 n 上取一点xi xi 1 xi xi 以f xi 为高 xi为底作小矩形 用小矩形面积f xi xi近似代替相应的小曲边梯形面积 Ai 即 Ai f xi xi i 1 2 n x1 x2 xi xn 4 取极限 当分点个数n无限增加 即 3 求和 把n个小矩形面积加起来 它就是曲边梯形面积的近似值 即 且小区间长度的最大值 即 max xi 趋近于0时 上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值 A A1 A2 An 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积A近似为 以直代曲 无限逼近 如何求曲边梯形的面积 2 变速直线运动的路程 设一物体作直线运动 已知速度v v t 是时间t的连续函数 求在时间间隔 T1 T2 上物体所经过的路程s 1 分割 在时间间隔 T1 T2 内任意插入n 1个分点 T1 t0 t1 t2 ti 1 ti tn 1 tn T2 把 T1 T2 分成n个小区间 t0 t1 t1 t2 ti 1 ti tn 1 tn 这些小区间的长度分别为 ti ti ti 1 i 1 2 n 相应的路程s被分为n段小路程 si i 1 2 n 2 近似代替 在每个小区间上任意取一点xi ti 1 xi ti 用xi点的速度v xi 近似代替物体在小区间上的速度 用乘积v xi ti 近似代替物体在小区间 ti 1 ti 上所经过的路程 si 即 si v xi ti i 1 2 n 3 求和 4 取极限 二 定积分的定义 定义设函数f x 在区间 a b 上有定义 任意取分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn b 把区间 a b 分成n个小区间 xi 1 xi 称为子区间 其长度记为 xi xi xi 1 i 1 2 n 在每个子区间 xi 1 xi 上 任取一点xi xi 1 xi xi 得相应的函数值f xi 作乘积 f xi xi i 1 2 n 把所有乘积加起来 得和式 当n无限增大 且子区间的最大长度l 即l max xi 趋于零时 如果上述和式的极限存在 则称函数f x 在区间 a b 上可积 并将此极限值称为函数f x 在 a b 上的定积分 记作 即 定积分的定义 定积分的相关名称 叫做积分号 f x 叫做被积函数 f x dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 符号 读作函数f x 从a到b的定积分 积分下限 积分上限 关于定积分定义的几点说明 1 所谓和式极限 即函数f x 可积 是指无论对区间 a b 怎样分法 也不论对点xi i 1 2 n 怎样取法 极限都存在且有相同的极限值 2 可以证明 闭区间上连续函数或只有有 3 因为定积分是和式极限 它是由函数f x 与区间 a b 所确定的 因此 它与积分变量的记号无关 即 限个第一类间断点的函数是可积的 4 该定义是在积分下限a小于积分上限b的 此时 只要把插入分点的顺序反过来写 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn 1 xn b 由于xi 1 xi xi xi xi 1 0 于是有 特殊地 当a b时 情况下给出的 如果a b 同样可给出定积分 即可 根据定积分的定义 上面两个例子都可以表示为定积分 1 曲边梯形面积A是曲边函数f x 在区间 a b 上的定积分 即 2 变速直线运动的路程s是速度函数v x 在时间间隔 T1 T2 上的定积分 即 例1用定义计算 解被积函数f x ex 在区间 0 1 上连续 所以e x在 0 1 上可积 为了计算方便起见 把区间 0 1 等分成n份 分点为 当l max xi 0 时 即n 有 于是有 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 三 定积分的几何意义 当f x 0时 由y f x x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 S 上述曲边梯形面积的负值 定积分的几何意义 S 探究 根据定积分的几何意义 如何用定积分表示图中阴影部分的面积 四 定积分的基本性质 性质1 性质2 四 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性 性质3 思考 从定积分的几何