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第二章例题剖析1求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解 一维谐振子的波函数为式中 为厄密多项式。对于第一激发态故 处在第一激发态的几率正比于欲求其最大值,必须满足即有 讨论:在处有极值,这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故,这从物理上看是很清楚的,当及时,几率,故和几率的关系大致如图示。假如过渡到经典情况,相当于,这时。这在经典力学看来是完全合理的,因为从经典的观点来看,谐振子处在原点几率最大,因为处在原点势能最低。2设在时,粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。解 方法一:根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和,即,展开式的系数的模方表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后,就可按照求平均值。在时,动量有一定值的波函数,即单色德布罗意平面波为,与的展开式比较可知,处在状态的粒子动量可以取,而 ,粒子动量的平均值为A可由归一化条件确定故 粒子动能的平均值为。方法二:直接积分法根据函数的性质,只有当函数的宗量等于零时,函数方不为零,故的可能值有而 则有 及 。讨论:由于单色德布罗意平面波当时不趋于零,因此的归一化积分是发散的,故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。本题的不是平方可积的函数,因此不能作傅氏积分展开,只能作傅氏级数展开,即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱,因此计算积分,得到函数。IIII3 一粒子在一维势阱运动,求束缚态()的能级所满足的方程解 因与时间无关,体系的波函数满足定态Schrdinger方程:即 令 在 的情况下,均为实数。以上方程可简写成 方程的解为:由波函数及其一阶微商,在,处连续,即:(1): (2):(3):(4)由(1)、(3)两式,可得(5)由(2)、(4)两式,可得(6)比较(5)式和(6)式, 将 分别代入(5)式(或(6)式) (7) (8)将、值代入(7)式和(8)式,则得到能量所满足的方程(9)(10)由此可见,体系的能量值由超越方程(7)和(8)(或(9)和(10)解出,它们可以用如下图解法求解,令(11)(12)能级,就可以由以下曲线交点(如果有的话)获得,即分别求曲线方程组: 或 在,区域内的交点,如下图所示y=xtgxy=-xctgxy=xctgxy=-xctgxy=xtgxy=-xctgxy=xtgxy=-xctgx从图可以看到,束缚态的数目随园的半径增加而增加,即随乘积(“势阱参量”)的增加而增加,如果是有限的,则束缚态的数目也是有限的。如果,则束缚态的数目是个附 求对应的本征波函数,为此将代入(1)、(2)式,有所以得到一组解(13)同理,将代入(1)、(2)式,有,于是得到另一组解(14)第一组解是奇函数,第二组解是偶函数,因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场所导致的必然结果。奇宇称解(13
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