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第二章例题剖析1求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解 一维谐振子的波函数为式中 为厄密多项式。对于第一激发态故 处在第一激发态的几率正比于欲求其最大值，必须满足即有 讨论：在处有极值，这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看是很清楚的，当及时，几率，故和几率的关系大致如图示。假如过渡到经典情况，相当于，这时。这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点势能最低。2设在时，粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。解 方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数的模方表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照求平均值。在时，动量有一定值的波函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取，而 ，粒子动量的平均值为A可由归一化条件确定故 粒子动能的平均值为。方法二：直接积分法根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有而 则有 及 。讨论：由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。IIII3 一粒子在一维势阱运动，求束缚态（）的能级所满足的方程解 因与时间无关，体系的波函数满足定态Schrdinger方程：即 令 在 的情况下，均为实数。以上方程可简写成 方程的解为：由波函数及其一阶微商，在，处连续，即：（1）： （2）：（3）：（4）由（1）、（3）两式，可得（5）由（2）、（4）两式，可得（6）比较（5）式和（6）式， 将 分别代入（5）式（或（6）式） （7） （8）将、值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程（9）（10）由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10）解出，它们可以用如下图解法求解，令（11）（12）能级，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组： 或 在，区域内的交点，如下图所示y=xtgxy=-xctgxy=xctgxy=-xctgxy=xtgxy=-xctgxy=xtgxy=-xctgx从图可以看到，束缚态的数目随园的半径增加而增加，即随乘积（“势阱参量”）的增加而增加，如果是有限的，则束缚态的数目也是有限的。如果，则束缚态的数目是个附 求对应的本征波函数，为此将代入（1）、（2）式，有所以得到一组解（13）同理，将代入（1）、（2）式，有，于是得到另一组解（14）第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场所导致的必然结果。奇宇称解（13
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