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试题录入天津市武清区大良中学杨凤国二OO四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）（9月17日上午9：0011：00）一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分）（1）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）（2）已知，若，则与的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）不确定（3）已知一条直线与双曲线（）的两支分别相交于、两点，为原点，当时，双曲线的中心到直线的距离等于（ ）（A）（B）（C）（D）（4）已知为四面体的侧面内的一个动点，且点与顶点的距离等于点到底面的距离，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（ ）（A）圆或椭圆 （B）椭圆或双曲线 （C）双曲线或抛物线 （D）抛物线或椭圆（5）已知集合是集合的子集，且对任意，都有，则集合中的元素最多有（ ）（A）67个（B）68个（C）69个（D）70个二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）（6）已知椭圆（），长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围是 （7）在中，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是 （8）已知集合，且，则集合、所有可能的情况有 种（9）已知，是平面上三个不同的点，且满足关系式，则实数的取值范围是 （10）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 （11）已知都是偶数，且，若成等差数列，成等比数列，则的值等于 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（12）已知数列满足，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小（13）已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数（）求的值；（）对任意的正数、，求证：（14）将，这个数未填入如图所示的正方形中的小方格内，每个小方格内填一个数，使每一行，每一列的各数之和各不相等且均能被正整数（）整除（）求的所有可能的值；（）给出一种符合题意的具体填法（此填法适用于的所有可能值）二00四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分）（1）D（2）A（3）A（4）D（5）A二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）（6） （7）（8）500（9） （10）（11）194三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（12）【解】令，由题设，有，且5分于是，即（）10分又，则当的值最小时，应有，且即， 15分由（）式，得由于，且，解得，当时，的值最小 20分（13）【解】（）由书籍，根据韦达容不得有， 5分（）已知函数，而且对，于是，函数在上是增函数10分注意到对于任意的正数、，即，同理15分，于是，而，20分（14）【解】（）设，（）分别是第行，第列各数的和，由题意得，其中，是8个彼此不同的正整数，因为，所以得1
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