常微分方程解的存在唯一性定理教学研究.doc

常微分方程解的存在唯一性定理教学研究第25卷第6期2009年12月大学数学C()LLEGEMATHEMATICSVo1.25,No.6Dec.2009常微分方程解的存在唯一性定理教学研究鲜大权(西南科技大学理学院,四川绵阳621002)摘要探讨了常微分方程初值问题解的存在唯一性定理教学策略.为便于教学和有利于学生理解并掌握其思想方法,对定理证明过程的表述作了命题化处理,给出了Picard逐步逼近法的应用实例,提出了教学讨论与知识拓展的一些有益内容.关键词常微分方程;Cauchy问题;存在唯一性定理;Picard逐步逼近法;教学策略中图分类号O241.8文献标识码C文章编号16721454(2009)060197061引言常微分方程是一门在数学,物理,天文和工程技术等领域有着广泛应用的重要学科,是数学理论通向实际应用的桥梁之一,因此成为高等学校数学及许多工程技术专业学生必学重要内容.学好该门课程,对提高学生科学素养意义重大.而一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础,也是常微分方程得以广泛应用的基石.它因此是教学的重点,同时又是教师感觉难教,学生普遍感觉难学的难点.究其原因,一是定理证明涉及的数学知识相对较多,二是证明过程涉及全新的逐次逼近法,三是教材只有理论而没有实际例子.这些问题受到许多学者关注,如何解决这些问题,文献59先后从不同侧面进行了有益探索.本文为解决这些问题,从数学教育改革的角度作了讨论uj,对教学内容的组织及其教学方法进行了改革尝试.2定理与证明步骤1.一阶常微分方程初值问题解的局部存在唯一性定理(Picard)描述l1.对一阶微分方程一(,)的Cauchy问题J一,),(1)l(Xo)=yo,若函数f(x,)在矩形闭域R一(,)lo4lX-X.1a,Iol6,nO,60)满足(i)f(x,)在R上连续;,(ii)在R上关于满足Lipschitz条件(简称Lip条件),即存在常数L>O(称为Lip常数),使得对V(,y),(,y.)R,恒有ff(x,Y)-f(x,Y)fLfY一成立,则初值问题(1)在区间-z.,.+hi上存在唯一解(),(.)一.).,其中minfa,b,M一l厂(z,)I?2.逐次逼近法证明步骤.第1步:证明初值问题(1)的解Y一(z)与积分方程收稿日期20070508198大学数学第25卷第2步:构造Picard逐次逼近函数序列rY.一(.).()()=.+i_厂(,1()d,XO.+,JTl1并证明函数序列()在区间zo,.+有定义且连续.(2)(3)第3步:iiEN函数序列()在区间,.+矗一致收敛.第4步:证明()一limcp()是积分方程(2)的解.,l.xI第5步:利用Iip条件和同一性证明解的唯一性.以上证明过程是现今许多教材上的流行思路,其过程复杂,教学难度较大.为分化难点,本文作如下命题化处理.3定理证明过程的命题化1.证明过程命题化的意义.1)命题化后的五个命题虽在过程或形式上和五个步骤具有一致性,但命题化后的教学对强调其各步的理论意义具有不可忽视的优势.它更能彰显定理内涵的逻辑层次,同时更有利于分散教学难点,对适应学生的认知规律而进一步提高教学效果具有积极作用.2)证明该定理的灵魂是对微分方程发展具有划时代影响的Picard逐次逼近法,其迭代序列的构造及收敛性证明有力地推动了人们对各种方程的求解探索,典型的思想方法对后继的其它数学分支的产生和发展起了重要的催化作用.教学中加强对该思想方法的教学,对培养数学专业学生的数学素养具有重要意义.对定理证明步骤的命题化处理,则有利于突出Picard迭代思想的地位与作用.2.五个命题及简洁证明.命题1Cauchy问题(1)与积分方程(2)等价.证=cz是的解等等等蕃取32.到3-的积分=:一两边对微分f()一(z,(),1(o)一yo(z)一.+r厂(,()d-y()是(2)的解.0命题2对V,序列(3)()在.,.+有定义,连续,且I()-y.I6.证1)当一1时,(z)一.+r厂(,.)在z.,z.+上有定义,连续,且(),d)dM(.7g-2C0)6,命题成立.2)假设n=k时命题成立,即()在z.,o+上有定义,连续,且l()一y.l6,则(z)一.+:厂(,()在320320+上有定义,连续,且(x)-yoi一,dJdM(x-xo)6,命题成立.据数学归纳法由1),2)得,对任意的自然数命题2成立.命题3Picard函数序列(z)在斯,.+矗上一致收敛.证考虑函数项级数.(z)+()一一(),.一z.+矗.(4)显然,(4)的部分和为()一()+()一(z),于是()在.,z.+上的一致收dz厂r+一等解续连的J_j1J+如rL在第6期鲜大权:常微分方程解的存在唯一性定理教学研究199敛性问题化为级数(4)在.,z.+矗上的一致收敛问题.因为1()一.()I一rjll/(,.()dIJ0l厂(,o()dM(x-x.),lrlrIz()一()llJ厂(,()一_厂(,()dll-厂(,()一(,()fdl0lLl()一()ldL:lM(z.)d一ML(g/?-5C0),lrlrI()z()llJ(,z()一_厂(,()dlIl厂(,.()一-厂(e,()Idlnl)ldML(X-5170($-xLIIz()一()ldLl.)一().,JnJn:L):设对正整数,有l()一()l箸二(z一.),则对正整数+1,有l+()一()lI-厂(,()一(,(亭)dll厂(,()一厂(,()IdIrlrol(X-0.由数学归纳法得,对所有的正整数,有l()一()【(15-.7150)+1.(5)所以,当.z.4-h时,I一-()一()l与+1.又,一/hn)一Lh一,由DA1embert比值审敛法得正项级数孚收敛.再由weierstrass判别法得级数(4)一致收敛,从而(z)一致收敛.n=I命题4()一一lim.cp()是积分方程(2)在z.,.+上的连续解.证由Lip条件,有f(x,()_厂(,(z)lLI()一(z)I.而(z)在.,z.+一致收敛于(),则序列(z)三f(x,()在.,.+一致收敛于f(x,().对(3)两边取极限,得lim9()一Y.+liraIf(8,()dY.+llim(,()d.一一JjnA-即()一.y.+j:_厂(,()d是积分方程(2)的连续解.命题5设(z)是(2)的定义于o,.+上的连续解,贝0()三三三(z),o,zo+矗.证由假设,得-c一c-一lj:.c,c,d一:.c,c)dself.cc,c,一厂c,c,dJfrrlI厂(,()一_厂(,()ldLll()一()ld.(6nTn而在o,o+上I(z)-9(x)l连续,则存在M,使得I()一()ILIMd=LM(x-x.).(7)J将(7)代入(6)式.得ji,J200大学数学第25卷j()()jL.Mf(-Xo:=(X-g8o将(8)代入(6)式,得】()一(Lr(一(.r-0)_|.将(9)再代入(6)式,依此递推并由数学归纳法,得l(Lr)ML(由级数k=lML1_-,z矗收敛得一liraML!h0,从而()().5Picard逐次逼近法应用实例(8)(9)上述逐次逼近法既是定理证明过程的核心内容,也是求Cauchy问题近似解的理论基础和实用方法.但教材内容却只有理论证明,而忽略了实际例子的选用.教学中适当补充实例则有利于突破教学难点和强化重点.例求微zddy,=一2xy-4x的过点(0,1)fig.解法1Picard逐次逼近法.f(x,)一一2xyq74x.L犬1为所求解过(O,1)点,故可取.()=1,()一1+I(一2()+4)d,一1,2,.第1次近似解()一l+l,(一2+4)l+x.;第2次近似解z()一1+j(2(1+)+4)一l+x一专;第3次近似解()一1+(一2芋(+一专)+4)d一1+2一+吉6;第次近似解()一l+2一专+6一+z.易见一()()(:1,2,).由Picard逼近法知一2一e是方程筹一一2xyq-4x的过点(0,1)的解.解法2_dy一一2xy+4对应齐次方程为:一2x.所以dx0一一2d(v0).y两边积分,得齐次通解为=Ce.由常数变易法设非齐次通解为一c()e.代入一一2my+4x,得C():4er:C()一2e+C,故得非齐次通解为一2+Ce.由(0)=1C一1得原Cauchy问题的解为一2一e.与Picard逼近法所求结果相同.注在解法1中,若以任意满足条件g(.)一.的连续函数g(,27)作为初始逼近函数()一g(g-),将得到完全相同的解.5讨论与知识拓展初值问题(1)解的局部存在性证明除以上的Picard逼近法外,还有利用不动点原理的证明法.后者第6期鲜大权:常微分方程解的存在唯一性定理教学研究201因其涉及较深的理论知识而不被一般教材采用.但唯一性问题的常见证明则是多法并举各具特色.具代表性的常见证法有四种.文1为证()兰()采用了先证()也是(z)的一致收敛极限函数,再根据收敛序列的极限唯一性获证.文2采用的反证法中充分借助了几何直观.而利用CronwallBellman不等式和比较原理的证明方法则具较好理论意义,但要先引人并证明该不等式则显得任务繁重.作者教学中采用的是递推的证明思路.这四种方法以及其它证法,它们在内涵上都是基于同一的逻辑思想.关于初值问题(1)解的唯一性问题至今仍为一个研究课题,其存在条件比Lip条件更弱的.基于知识拓展的需要,本文对定理的条件与结论作以下简单讨论.1.对于一n.0,或一n.a的情形,可有相应的定理.2.Picard定理对于微分方程组的初值问题也成立,即若.,(),f(x,)是维矢量时,证明类似,只需将证明中的绝对值改为矢量的模l(z)=max(-z)l即可.i3.若去掉Picard定理中的Lip条件,则定理中解的存在性的结论仍成立,相应定理称为Peano存在性定理.其证明可用Euler折线法或Schauder不动点定理完成.Euler折线法基本思想是在xOy坐标系中,从(z.,Y.)出发连接以下点画一条折线(.,Y.)-(l,Y2)(z3,Y3),其中.<z<.<<.+矗是的严格递增序列,O%x一<,连接点(,Y)与点(H.,Y+)的线段的方向取为方向场在点(,y)的方向1,f(x,y).该折线所表示的函数是(1)的近似解,取一一O时,得近似解的序列Y().它在.,.217.+hi上一致有界连续.由AseoliArzela引理,从y(z)中可选出一致收敛的函数子列,其极限函数y(x)连续,可以证明y(z)就是相应积分方程的解,从而是(1)的解.虽然欧拉折线法用于计算机求初值问题近似解并不实用,但其思想却是计算方法的理论基础:导数乘以步长近似于函数的相应增量.4.若将Picard定理中f(x,)的Lip条件改为f(x,)在内关于Y单调不增,则(1)的右行解(即解的存在区间为>.)存在且唯一.唯一性证明:设y1(),y2(z)为初始问题(1)的任意两个解,令y(cr)一(z()一Y(z),则y(zo)=0.J.uy一一2(2()一y1()(f(x,y2()一f(x,yl()0,U正从而当x>0时,三O,即Y1()三三三2().5.若将定理条件加强为-厂(z,Y)在带形域ab中连续,且关于满足Iip条件,则只要用lf(x,Y.)I在n,6上的上界M代替L就可类似证明在(1)中n,6上的解存在唯一.6结论本文将定理证明过程拆分为五个命题,有利于突出定理内涵的逻辑层次和分散教学难点.教学中充实Picard逐步逼近法的应用实例,对突出Picard迭代思想的地位与作用具有积极意义,符合学生认知规律.对学生用迭代思想解决后继数学课程中的复杂问题有重要的潜移默化功能.本文选用的唯一性证明方法在其过程的简洁明了上好于它法,在教学中学生较易接受和理解.提出的教学讨论与知识拓展内容,实践表明是有益的.参考文献1王柔怀,伍卓群.常微分方程讲义(第二版)M.北京:人民教育出版社,1963.2中山大学数学力学系.常微分方程(第一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