8.3 简单几何体的表面积与体积 课件（内嵌视频）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3简单几何体的表面积与体积预备知识——平面图形的面积1.多面体的表面积公式多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。如：棱长为2的正四面体的表面积祖暅原理“幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。前后体积不变底面积和高都相等的棱柱，体积相等。2.多面体的体积公式(S,h分别为棱柱的底面积和高)(1)棱柱的体积：(2)圆/棱锥的体积：(S,h分别为棱锥的底面积和高)圆柱体积：(r,h分别为圆柱的底面半径和圆柱的高)祖暅原理——推导棱锥体积公式底面积和高都相等的棱锥，体积相等。两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。将三棱柱分割成3个小三棱锥，由等底等高易证得V1=V2=V32.多面体的体积公式(S,h分别为棱柱的底面积和高)(1)棱柱的体积：(2)棱锥的体积：(S,h分别为棱锥的底面积和高)(3)棱台的体积：(S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高)推广：圆台体积(r',r分别为上/下底半径，h为圆台的高)棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差，得到棱台的体积公式．推导棱台体积公式根据面积比=相似比的平方，得S为底面面积，h为柱体高S’S分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小柱体、椎体、台体体积公式的关系小结(S,h分别为棱/圆柱的底面积和高)(1)柱体体积：(2)锥体体积：(S,h分别为棱/圆锥的底面积和高)(3)棱台体积：(S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高)圆台体积：(r',r分别为上/下底半径，h为圆台的高)探索新知例2如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是1.5m，公共面ABCD是边长为2m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？分割法P116-3.广场的石凳：棱长为50cm的正方体石块截去八个相同的四面体，求表面积or体积(割补法)变式练习.“鲁班锁”玩具：每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为（

）鲁班锁可看成是1个棱长为_______的正方体截去了8个底面边长为___，侧棱为___的正三棱锥所余下来的几何体.22鲁班锁可看成由6个边长为__的正六边形和8个边长为__的正三角形围成的多面体.4.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF⊥面FBC，则该多面体的体积为_________.(分割法)[变式]如图，多面体ABCDEF中，面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，则该多面体的体积为_____.(分割法+换底法)[变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_________,体积为_______.P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____.

P120-3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，水面高为多少？解：设底面ABC的面积为S，

底面ABC水平放置时，水面高为h.3.如图，棱长为1的正方体的8个顶点中，有4个为正四面体的顶点，(1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_________.(2)三棱锥B-ACB1的体积为_________.(3)正四面体B1-ACD1的体积为_________.(换底法)(割补法)求三棱锥体积通常可用换底法(也叫等积法).P119-2.如图，将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比.[变式]设长方体的长宽高分别为4,3,5，求棱锥B'-A'C'B的体积.(换底法)绿优-5.如图，正方体棱长为1，E,F分别为棱AA1,B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积.(换底法)(割补法)新知：旋转体的表面积公式(1)圆柱的表面积：O(l为圆柱的母线长)(2)圆锥的表面积：(l为圆锥的母线长，S锥侧=πrl)(3)圆台的表面积：扇环面积=大圆锥侧-小圆锥侧(l为圆台的母线长，S台侧=π(r+r')l)参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么

．圆台的侧面展开图是扇环圆台的展开图P119-1.已知圆锥的表面积为am2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径.rl2πr解：[变式]若圆锥的表面积为14π，且其侧面展开图的圆心角为60°，求这个圆锥体积.解：3.球的表面积和体积公式新知：球的表面积和体积公式(1)球的表面积：(2)球的体积：体积公式推导法1(祖暅法)祖暅原理：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。3.球的表面积和体积公式(1)球的表面积：(2)球的体积：体积公式推导法2(极限法)OABCD把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”.当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R.O例3.如右图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)解：一个浮标的表面积为S表=2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2)∴给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为0.8478×1000×0.5=423.9(kg).公式运用公式运用P119例4.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，(1)求球与圆柱的体积之比.(2)求球与圆柱的表面积之比.OR解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.即球与圆柱的体积和表面积之比均为2:3！这是我生平最得意的定理！圆柱容球P119-2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？解：由S球=V球，得解