1112高中数学 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 课件 新人教B版必修1.ppt

3 2 3指数函数与对数函数的关系 问题提出 设a 0 且a 1为常数 若以t为自变量可得指数函数y ax 若以s为自变量可得对数函数y logax 这两个函数之间的关系如何进一步进行数学解释 两个函数中的自变量与因变量对调位置 1 1 y 2x与y log2x图象 反函数的概念 当一个函数是一一映射时 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量 我们称这两个函数互称为反函数 反函数的表示 二 指 对数函数的比较分析 2 下面对指数函数和对数函数的图像和性质列表进行比较 r r 当x 0时y 1 当x 0时0 y 1 当x 0时y 1 在r上是增函数 当x 1时y 0 当0 x 1时y 0 当x 1时y 0 在r上是减函数 求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成 1 求出原函数的值域 这就是反函数的定义域 由反函数定义可知 反函数的定义域是原函数的值域 并不一定是使反函数有意义的所有x的集合 2 从y f x 中解出x 3 x y互换并注明反函数定义域 1 写出下列函数的反函数 解析 1 y lgx x 0 的底数为10 它的反函数为指数函数y 10 x x r 已知函数f x ax k的图象过点 1 3 其反函数y f 1 x 的图象过 2 0 点 则f x 的表达式为 思路点拨 根据互为反函数的两函数的自变量与因变量之间的对应法则 可求得a k的值 从而求得f x 的表达式 解析 y f 1 x 的图象过点 2 0 y f x 的图象过点 0 2 2 a0 k k 1 f x ax 1 又 y f x 的图象过点 1 3 3 a1 1 a 2 f x 2x 1 答案 f x 2x 1 由互为反函数的图象关于直线y x对称可知 若点 a b 在y f x 的图象上 则点 b a 必在y f 1 x 的图象上 已知a 0且a 1 函数y ax与y loga x 的图象可能是 解析 由y loga x 的定义域为 0 知 图象应在y轴左侧 可排除a d选项 当a 1时 y ax应为增函数 y loga x 应为减函数 可知b项真 而对c项 由图象知y ax递减 0 a 1 y loga x 应为增函数 与c图不符 答案 b 方程a x logax a 0 a 1 的实数解的个数为 a 0b 1c 2d 3 思路点拨 可用数形结合法画出y a x与y logax的图象 观察交点个数 要注意对a分a 1与0 a 1两种情况讨论 解析 当a 1时 在同一坐标系中画出y1 logax的图象和y2 a x的图象如图 1 由图象知两函数图象只有一个交点 同理 当0 a 1时 由图象 2 知 两图象也只有一个交点 因此 不论何种情况 方程只有一个实数解 答案 b 一般判断方程解的情况 可转化为判断两函数图象交点的情况 用数形结合法来解决 3 已知x1是方程x lgx 3的一个根 x2是方程x 10 x 3的一个根 那么x1 x2的值是 a 6b 3c 2d 1 解析 将已知的两个方程变形后得lgx 3 x 10 x 3 x 令f x lgx g x 10 x h x 3 x 在同一坐标系内画出这三个函数的图象 如右图所示 因为f x lgx与g x 10 x互为反函数 图象关于直线y x对称 因此 a b两点也关于y x对称 函数h x 3 x与y x图象交点的