高考数学一轮总复习名师精讲 第49讲两个计数原理课件.ppt

第十章排列 组合和二项式定理 2012高考调研考纲要求1 掌握分类计数原理与分步计数原理 并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2 理解排列与组合的意义 掌握排列数与组合数的计算公式 掌握组合数的两个性质 并能用它们解决一些简单的应用问题 3 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单的问题 考情分析纵观近几年的高考 排列 组合及二项式定理的问题 一般是两个小题 分值在10分左右 重点考查的有分类计数原理 分步计数原理 排列数和组合数计算公式及其二项式定理的基本知识和基本方法 题目类型有以下特点 1 排列 组合常考的有 数字问题 人或物的排列问题 几何问题 选代表或选样品的问题 集合的子集个数问题 2 有附加条件的排列 组合问题 排列与组合混合问题 元素相邻与不相邻的问题 3 求展开式中二项式系数问题 二项式的某一项为字母 求这个字母取值的问题 第四十九讲 第五十讲 文 两个计数原理 回归课本1 分类计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 m1 m2 mn种不同的方法 2 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有m1 m2 mn种不同的方法 3 两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的计数方法 它们的区别在于 分类计数原理与 分类 有关 各种方法相互独立 用任何一种方法都可以独立完成这件事 分步计数原理与 分步 有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 考点陪练1 用6种不同的颜色把图中a b c d四块区域分开 允许同一色涂不同的区域 但相邻的区域不能涂同一色 则不同的涂法共有 a 400种b 460种c 480种d 496种 解析 当区域a与d涂同一色时 有6 5 4 120 种 涂法 当区域a与d涂不同颜色时 有6 5 4 3 360 种 涂法 于是总共的涂法有120 360 480 种 答案 c点评 本题是一道排列组合的应用题 考查计数原理的应用 在运用计数原理时 务必要分清是分类还是分步 是用乘法还是用加法 体现了解题时的分类讨论与程序化的思想 2 有a b c d四人经常通电话交流信息 已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条信息 那么第一个电话是a打出的情况共有 a 6种b 12种c 18种d 36种解析 第一次电话从a打出 打给b c d之一有c31种可能 打第二次电话时 可能从已知信息的两人之一打出有c21种可能 此时接收电话者是剩余二人中的一个有c21种可能 显然通知最后一个人时有c31种方法 故共有c31 c21 c21 c31 36 种 答案 d 3 有a b c d e f六人依次站在正六边形的六个顶点上传球 从a开始 每次可随意传给相邻的两人之一 若在5次之内传到d 则停止传球 若5次之内传不到d 则传完5次也停止传球 那么从开始到停止 可能出现的不同传法种数是 a 24b 26c 30d 28 解析 如图 按题意从a到d只有两种情况 3次到d 5次到d 从a出发传5次所有的情况有25 32 种 从a到d传3次后再传2次的情况有2 22 8 种 32 8 2 26即为所求 答案 b 4 在五棱锥的各棱所在的10条直线中 异面直线共有 对 解析 只有侧棱与底面上和该侧棱不共点的三条底边为异面直线 因此共有3 5 15对异面直线 答案 15 5 若把英语单词 book 的字母顺序写错了 则可能出现的错误共有 种 答案 11 类型一分类计数原理解题准备 运用分类计数原理时 首先要根据问题的特点 确定分类标准 分类应满足 完成一件事的任何一种方法必属于某一类而且仅属于某一类 即 类 与 类 间的确定性与并列性 做到 不重不漏 典例1 所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 解析 该问题与计数有关 可考虑选用两个基本原理来计算 完成这件事 只要考虑安排十位上的数字的情况进行分类 解法一 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别有1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 则依分类计数原理共有1 2 3 4 5 6 7 8 36个 解法二 按十位数字是1 2 3 4 5 6 7 8分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别有8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 依分类计数原理可得共有8 7 6 5 4 3 2 1 36个 探究1 三边长均为整数 且最大边长为11的三角形的个数是多少 类型二分步计数原理解题准备 完成这件事需要分成若干个步骤 只有每个步骤都完成了 才算完成这件事 缺少哪一步 这件事都不可能完成 典例2 现安排一份5天的工作值班表 每天有一个人值班 共有5个人 每个人都可以值多天班或不值班 但相邻两天不准由同一个人值班 问此值班表共有多少种不同的排法 解析 该问题中 完成一件事是安排值日表 因而需一天一天地排 用分步计数原理 分步进行 先排第一天 可排5人中的任一人 有5种排法 再排第二天 此时不能排第一天已排的人 有4种排法 再排第三天 此时不能排第二天已排的人 仍有4种排法 同理 第四 第五天均各有4种排法 由分步计数原理可得值班表共有不同排法为5 4 4 4 4 1280 种 点评 应用分步计数原理时 要理清思路 按事件发生的过程合理地分步 并且也要确定分步的标准 分步必须满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 各个步骤都完成了 这件事才算完成 探究2 如图所示 用5种不同的颜色给图中a b c d四个区域涂色 规定每个区域只涂一种颜色 相邻区域的颜色都不同 求共有多少种不同的涂色方法 解析 分四步来完成涂色这件事 a有5种涂法 b有4种涂法 c有3种涂法 d有3种涂法 可以使用a涂过的颜色 根据分步计数原理 共有5 4 3 3 180 种 涂色方法 类型三两个计数原理的综合应用解题准备 在解决实际问题中 并不一定是单一的分类或分步 而是可能同时应用两个计数原理 即分类时 每类的方法可能要运用分步完成 而分步时 每步的方法数可能会采取分类的方法求 另外 具体问题是先分类后分步 还是先分步后分类 应视问题的特点而定 解题时经常是两个原理交叉在一起使用 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 典例3 如图 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 解析 解法一 可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用乘法原理即可得出结论 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染2 则d可染3或4或5 有3种染法 若c染4 则d可染3或5 有2种染法 若c染5 则d可染3或4 有2种染法 可见 当s a b已染好时 c d还有7种染法 故不同的染色方法有60 7 420 种 解法二 以s a b c d顺序分步染色 第一步 s点染色 有5种方法 第二步 a点染色 与s在同一条棱上 有4种方法 第三步 b点染色 与s a分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 c点染色 也有3种方法 但考虑到d点与s a c相邻 需要针对a与c是否同色进行分类 当a与c同色时 d点有3种染色方法 当a与c不同色时 因为c与s b也不同色 所以c点有2种染色方法 d点也有2种染色方法 由分步计数原理 分类计数原理 得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420 种 不同的方法 解法三 按所用颜色种数分类 第一类 5种颜色全用 共有a55种不同的方法 第二类 只用4种颜色 则必有某两个顶点同色 a与c 或b与d 共有2 a54种不同的方法 第三类 只用3种颜色 则a与c b与d必定同色 共有a53种不同的方法 由分类计数原理 得不同的染色方法总数为a55 2 a54 a53 420 种 点评 涂色问题大致有两种解题方案 一是选择正确的涂色顺序 按步逐一涂色 这时用分步计数原理进行计数 二是根据涂色时用颜色的多少 进行分类处理 这时用分类计数原理进行计数 在分步涂色时 要注意尽量让相邻区域多的区域先涂 如本样题 a b c d各与3个点相邻 而s与4个点 a b c d 相邻 第一步给s点涂色是上策 在分类涂色时 要注意不相邻区域的涂色可以相同也可以不同 这是所用颜色多少的依据 如本样题 a与c不相邻 b与