安徽省舒城中学高三数学 寒假作业专题（四）空间向量在立体几何中的应用.doc

安徽省舒城中学高三年级20132014学年寒假作业数学部分专题（四）空间向量在立体几何中的应用1 利用空间向量求空间角和距离（一)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)例19如图，在长方体abcda1b1c1d1中，已知ab4， ad3，aa12.e、f分别是线段ab、bc上的点，且ebfb1.求直线ec1与fd1所成角的余弦值解：以a为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则d(0,3,0)、d1(0,3,2)、e(3,0,0)、 f(4,1,0)、c1(4,3,2)，于是ec1(1,3,2)，fd1(4,2,2)设ec1与fd1所成的角为，则cos .变式训练43,直三棱柱abcabc中，acbcaa，acb90，d、e分别为ab、bb的中点（1）求证：cead；（2）求异面直线ce与ac所成角的余弦值变式训练44,已知在几何体abced中，acb90，ce平面abc，平面bced为梯形，且accebc4，db1.（1）求异面直线de与ab所成角的余弦值；（2）试探究在de上是否存在点q，使得aqbq，并说明理由（二）直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有sin |cos |.例20如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，求与平面所成角的大小解：以c为坐标原点，射线cd为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz。 设d（1，0，0），则a（2，2，0）、b（0，2，0）。 又设 ，由得故x=1。由又由即所以 设平面sbc的法向量，则又 故取p=2得。故ab与平面sbc所成的角为变式训练45,在直三棱柱abca1b1c1中，abac1，bac90.（1）若异面直线a1b与b1c1所成的角为60，求棱柱的高；（2）设d是bb1的中点，dc1与平面a1bc1所成的角为，当棱柱的高变化时，求sin 的最大值变式训练46,如图4，在正三棱柱中， ，d是的中点，点e在上，且。（1）证明平面平面（2）求直线和平面所成角的正弦值。 变式训练47已知点h在正方体的对角线上，hda=（1）求dh与所成角的大小；（2）求dh与平面所成角的大小（三）求二面角的大小（1）如图，ab、cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，（2）如图，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小，(或,)例21 如图所示，直三棱柱abca1b1c1中，acbcaa1， d是棱aa1的中点，dc1bd.。求二面角a1bdc1的大小解：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点， 故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc， 所以dc1dc. 而dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd.bc平面bcd，故dc1bc.又bccc1，故bc平面acc1，所以ca，cb，cc1两两相互垂直以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.由题意知a1(1,0,2)，b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设(x，y，z)是平面a1b1bd的法向量，则即可取(1,1,0)同理，设是平面c1bd的法向量，则可取(1,2,1)从而cos，.故二面角a1bdc1的大小为30.变式训练48,如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad，pd底面abcd.（1）证明：pabd；（2）设pdad，求二面角apbc的余弦值变式训练49, 如图，棱柱abcda1b1c1d1的所有棱长都等于2，abc60，平面aa1c1c面abcd，a1ac60.（1）证明：bdaa1；（2）求二面角da1ac的平面角的余弦值；（3）在直线cc1上是否存在点p，使bp平面da1g？若存在，求出p的位置，若不存在，说明理由（四）利用向量法求点到平面的距离如图，设ab为平面的一条斜线段，为平面的法向量， 则点b到平面的距离d例22在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sasc2，m、n分别为ab、sb的中点，如图所示，求点b到平面cmn的距离解：取ac的中点o，连接os、ob.sasc，abbc， acso，acbo.平面sac平面abc，平面sac平面abcac，so平面abc，又bo平面abc，sobo.如图所示，建立空间直角坐标系oxyz，则b(0,2，0)，c(2,0,0)，s(0,0,2)，m(1，0)，n(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)设(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，则取z1，则x，y，(，1)点b到平面cmn的距离d.变式训练50,如图，pabcd是正四棱锥，是正方体，其中 （1）求证：；（2）求平面pad与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）求到平面pad的距离变式训练51,如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd， ab2.（1）求点a到平面mbc的距离；（2）求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值二用向量法证明空间平行或垂直（一）向量法证明空间平行的方法（1）线线平行：证明两直线的方向向量共线 线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；或证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行：.证明两平面的法向量为共线向量；或转化为线面平行、线线平行问题 例23在长方体abcda1b1c1d1中，aa12ab2bc，e、f、e1分别是棱aa1，bb1，a1b1的中点 求证：ce平面c1e1f；解：以d为原点，da，dc，dd1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设bc1，则c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e1.（1）设平面c1e1f的法向量n(x，y，z) ，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n.又ce平面c1e1f，ce平面c1e1f.变式训练52,如图，直棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别是ab， bb1的中点， aa1=ac=cb=ab.a1c11（1）证明：bc1/平面a1cd,b1（2）求二面角d-a1c-e的正弦值eacdb变式训练53, 如图，在四面体abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2.m是ad的中点，p是bm的中点，点q在线段ac上，且aq3qc.（1）证明：pq平面bcd；（2）若二面角cbmd的大小为60，求bdc的大小（二）.向量法证明空间垂直的方法线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 例24如图，已知ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab，f为cd的中点（1）求证：af平面bce；（2）求证：平面bce平面cde.解：设adde2ab2a，建立如图所示的坐标系axyz，则a(0,0,0)，c(2a,0,0)，b(0,0，a)，d(a，a,0)，e(a，a,2a)f为cd的中点， f.（1）证明：，(a，a，a)，(2a，0，a)，()，af平面bce，af平面bce.（2）证明：，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0， ，.又cdded， 平面cde， 即af平面cde.又af平面bce， 平面bcd平面cde.变式训练54,如图，已知abcda1b1c1d1是棱长为3的正方体，点e在aa1上，点f在cc1上， 且aefc11.（1）求证：e，b，f，d1四点共面；(2)若点g在bc上，bg，点m在bb1上，gmbf，垂足为h，求证：em面bcc1b1. 变式训练55,如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60， paabbc，e是pc的中点证明：（1）aecd； （2）pd平面abe.数学部分变式训练43解：(1)设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0bc，cba.c2b20.，即cead.(2)ac，bc，|a|，|a|.(ac)(bc)c2|a|2，cos，.即异面直线ce与ac所成角的余弦值为.变式训练44解：(1)由题知，ca，cb，ce两两垂直，以c为原点，以ca，cb，ce所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则a(4,0,0)，b(0,4,0)，d(0,4,1)，e(0,0,4)，(0，4,3)，(4,4,0)， cos，异面直线de与ab所成角的余弦值为.（2）设满足题设的点q存在，其坐标为(0，m，n)， 则a(4，m，n)， b(0，m4，n)， e(0，m，n4)，q(0,4m,1n)aqbq，m(m4)n20，点q在ed上，存在r(0)使得，(0，m，n4)(0,4m,1n)，m， n. 由得()2， 28160，解得4. m，n. 满足题设的点q存在，其坐标为(0，)变式训练45解：建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设aa1h(h0)，则有b(1,0,0)，b1(1,0，h)，c1(0,1，h)，a1(0,0，h)，(1,1,0)，(0,1,0)，(1,0，h)(1)因为异面直线a1b与b1c1所成的角为60，所以cos 60，即，得，解得h1.(2) 由d是bb1的中点，得d， 于是.设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)，于是由n，n可得即可取n(h,0,1)，故sin |cos，n|，而|cos，n|. 令f(h)，因为h2929，当且仅当h2，即h时，等号成立所以f(h)，故当h时，sin 的最大值为.变式训练46 解 （1） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面又de平面abc，所以deaa.而deae。aaae=a 所以de平面ac ca，又de平面ade，故平面ade平面ac ca。（2）如图所示，设o使ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系，不妨设a a=，则ab=2，相关各点的坐标分别是a(0,-1,0)，b（，0，0）， c（0，1，）， d（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，） 设平面abc的法向量为n=（x，y，z）,则有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n)=。由此即知，直线ad和平面ab c所成角的正弦值为。变式训练47abcdxyzh解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系设则，连结，设，由已知，由,可得解得，所以（1）因为， 所以即dh与所成的角为（2）平面的一个法向量是 因为， 所以变式训练48解：(1)证明：因为dab60，ab2ad，由余弦定理得bdad.从而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.所以bd平面pad.故pabd.（2）如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面pab的法向量为n(x，y，z)，则 即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m(x1，y1，z1)，则 可取m(0，1，)，cosm，n.故二面角apbc的余弦值为.变式训练49解：连接bd交ac于o，则bdac，连接a1o，在aa1o中，aa12，ao1，a1ao60，a1o2aaao22a1aaocos 603.ao2a1o2a1a2，aoa1o，由于平面aa1c1c平面abcd，a1o平面abcd.以ob，oc，oa所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则a(0，1,0)，b(，0,0)，c(0,1,0)，d(，0,0)，a1(0,0，)(1) 由(2，0,0)，(0,1，)， 则0(2)1000，bdaa1，(2)由ob面aa1c1c，平面aa1c1c的法向量n1(1,0,0)，设n2面aa1d，则设n2(x，y，z)，得到取n2(1，1)， cosn1，n2.二面角da1ac的平面角的余弦值是.(3)假设在直线cc1上存在点p，使bp面da1c1，设，p(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)得p(0,1，)，(，1，)设n3面da1c1，则设n3(x3，y3，z3)， 得到 不妨取n3(1,0，1)又面da1c1， n30， 0，1. 点p在c1c的延长线上且使c1ccp.变式训练50解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系（1） 证明 设e是bd的中点，pabcd是正四棱锥，（2） 又， ， 即。（2）解 设平面pad的法向量是， 取得，又平面的法向量是 ， 。（3） 解 到平面pad的距离 。变式训练51 解取cd中点o，连ob，om，则obcd，omcd.又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd.取o为原点，直线oc、bo、om为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图 obom，则各点坐标分别为c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)， a(0，2)（1）设n(x，y，z)是平面mbc的法向量，则(1，0)， (0，)，由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，(0,0,2)，则d(2)(1,0，)，(1，2)设平面acm的法向量为n1(x，y，z)，由n1，n1得解得xz，yz，取n1(，1,1)又平面bcd的法向量为n2(0,0,1)所以cosn1，n2. 设所求二面角为，则sin .来源:学&科&网z&x&x&k变式训练52解（1）连接，交于点f，连结，则f为的中点，因为d为ab的中点，所以df/，又因为，所以.（2）由aa，可设：ab2a,则 则所以，又因为abc-a1b1c1为直三棱柱，所以以点c为坐标原点，分别以直线ca、cb、cc为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图.则c（0,0,0）、，设平面的法向量为则且可解得令得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，所以所以二面角的正弦值为变式训练53 解：(1)如图，取bd的中点o，以o为原点，od、op所在射线 为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.由题意知a(0，2)，b(0，0)，d(0，0)设点c的坐标为(x0，y0,0)因为，所以q(x0，y0，)因为m为ad的中点，故m(0，1)又p为bm的中点，故p(0,0，)，所以